カイラルノット

数学の結び目理論の分野では、キラル結び目とは、その鏡像と等しくない結び目（反転して同一である場合）である。その鏡像と等価な有向結び目は、両性結び目であり、アキラル結び目とも呼ばれる。結び目のキラリティーは、結び目の不変量である。結び目のキラリティーは、可逆かどうかによってさらに分類できる。

結び目の対称性には、キラリティーと可逆性によって示される5つのタイプしかありません。完全キラリティー、可逆、正の両極性非可逆、負の両極性非可逆、完全の両極性可逆です。^[1]

背景

特定の結び目のキラリティーの可能性は、1847 年にヨハン・リスティングが三つ葉結び目がキラリであると主張して以来疑われており、^[2]これは1914 年にマックス・デーンによって証明されました。PG テイトは、交差数が 10 までのすべての両生類結び目を発見し、すべての両生類結び目の交差数が偶数であると予想しました。メアリー・ガートルード・ヘイズマンは、 1910 年代後半に、交差数が 12 の両生類結び目をすべて、また交差数が 14 の両生類結び目を多数発見しました。^[3]^[4]しかし、テイトの予想に対する反例である交差数が 15 の両生類結び目が、1998 年にジム・ホステ、モーウェン・シスルウェイト、ジェフ・ウィークスによって発見されました。 ^{[5]しかし、テイトの予想は、}素数で交互の結び目については正しいことが証明されました。^[6]

どちらも可能な三つ葉結び目。
左巻きの三つ葉結び。
右巻きの三つ葉結び。

最も単純なカイラル結び目は三葉結び目で_{、マックス・デーンによってカイラルであることが示されました。すべての非自明なトーラス結び目はカイラルです。アレクサンダー多項式は結び目をその鏡像と区別できませんが、ジョーンズ多項式は場合によっては区別できます。V k} ( q ) ≠ V k ( q −1 ) の場合、結び目はカイラルです_が、その^逆は当てはまりません。HOMFLY多項式はカイラリティの検出にさらに優れていますが、カイラリティを完全に検出できる多項式結び目不変量は知られていません。 ^[7]

可逆結び目

反対方向に滑らかに変形できるキラル結び目は可逆結び目として分類される。^[8]例としては三つ葉結び目がある。

完全キラル結び目

結び目がその逆結び目や鏡像と等しくない場合、それは完全なキラル結び目であり、例えば9 32結び目などである。 ^[8]

両眼結び目

両生類結び目は、3次元球面αの向きが反転する自己同相を持ち、結び目を集合的に固定する結び目である。すべての両生類交代結び目は交差数が偶数である。交差数が奇数の最初の両生類結び目は、Hosteら^{[6]によって発見された15交差の結び目である。}

完全に両生類

結び目がその逆と鏡像の両方と同位体である場合、それは完全に両性結び目です。この特性を持つ最も単純な結び目は、8の字結び目です。

陽性両生類

自己同相αが結び目の向きを保存する場合、それは正両生類であるという。これは結び目がその鏡像と同位体であることと同等である。交差数が12未満の結び目は正両生類で非可逆ではない。^[8]

否定的な両生類

自己同相 α が結び目の向きを反転させる場合、結び目は負の両生類であるという。これは結び目がその鏡像の反転と同位体であることと同等である。この性質を持ち交差が最も少ない非可逆結び目は結び目8 ₁₇である。^[8]

参考文献

^ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998)、「最初の 1,701,936 ノット」(PDF)、The Mathematical Intelligencer、20 (4): 33–48、doi :10.1007/BF03025227、MR 1646740、S2CID 18027155、2013-12-15のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
^ Przytycki, Józef H. (1998). 「結び目理論の古典的根源」.カオス、ソリトン、フラクタル. 9 (4/5): 531–45. Bibcode :1998CSF.....9..531P. doi :10.1016/S0960-0779(97)00107-0.
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^ ハセマン、メアリー・ガートルード（1920）。「XXIII.—Amphicheiral Knots」。Trans . R. Soc. Edinb . 52（3）：597–602。doi ： 10.1017 / S0080456800004476。S2CID 124014620 。
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[2] Przytycki, Józef H. (1998). 「結び目理論の古典的根源」.カオス、ソリトン、フラクタル. 9 (4/5): 531–45. Bibcode :1998CSF.....9..531P. doi :10.1016/S0960-0779(97)00107-0.

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[5] Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998). 「最初の 1,701,936 ノット」. Math. Intell . 20 (4): 33–48. doi :10.1007/BF03025227. S2CID 18027155.

[Mathworld-6] ワイスタイン、エリック W.「アンフィキラルノット」。マスワールド。アクセス日: 2013 年 5 月 5 日。

[7] ラマデヴィ、P.;ゴビンダラジャン、TR;英国カウル (1994)。「ノット 9 ₄₂および 10 ₇₁のキラリティーとチャーン・サイモンズ理論」". Mod. Phys. Lett. A. 9 ( 34): 3205–18. arXiv : hep-th/9401095 . Bibcode :1994MPLA....9.3205R. doi :10.1142/S0217732394003026. S2CID 119143024.

[Atlas-8] 「3次元不変量」、The Knot Atlas。