Loading article…
数学において、絡まりは一般的に次の2つの関連概念のいずれかを指す。
タングルの3つ目の、全く異なる使い方（こちらはグラフ理論的なもの）は、ニール・ロバートソンとポール・シーモア[ 1 ]によって導入され、彼らはグラフの分離を記述するためにこれを使用しています。この使い方はマトロイドに拡張されています。
この記事の残りの部分では、コンウェイの言う「絡み合い」について論じています。リンク理論における「絡み合い」の意味については、その記事を参照してください。
2 つのnタングルは、3 次元球の境界を固定したまま、一方のタングルから他方のタングルへの周囲の同位性が存在する場合に同等であるとみなされます。タングル理論は結び目理論に類似していると考えられますが、閉じたループの代わりに、端が固定された紐が使用されます。ブレイド理論も参照してください。
一般性を失うことなく、3球境界上のマークされた点が大円上にあると仮定します。タングルは、大円で囲まれた平面ディスクへの投影に対して一般の位置に配置されます。この投影によりタングル図が得られ、結び目図と同様に交差と交差を記します。
絡まりは、結び目図やリンク図の中で絡まり図として現れることが多く、リンク図の構成要素として使用できます（例：プレッツェルリンク）。
有理タングルとは、3球と2つの弧からなるペアの写像によって自明な2タングルと同相となる2タングルのことである。タングル図の境界円上の弧の4つの端点は、通常、北東、北西、南西、南東と表記され、これらの記号は方位を表す。
有理タングルの任意のタングル図は非常に複雑に見えるかもしれませんが、常に特定の単純な形式の図が存在します。まず、2つの水平（垂直）弧からなるタングル図から始めます。次に、北東端と南東端（南西端と南東端）を入れ替えることで、単一の交差、つまり「ねじれ」を追加します。その後、北東端と南東端、または南西端と南東端のいずれかを使用して、さらにねじれを追加していきます。各ねじれは、以前に作成された交差を含むディスク内の図を変更しないと想定できます。
このような図は、同じ端点の周りの連続したねじれによって与えられる数を考慮することで記述できます。たとえば、(2, 1, -3) は、2 つの水平弧から始まり、次に NE/SE 端点を使用して 2 回ねじり、次に SW/SE 端点を使用して 1 回ねじり、次に NE/SE 端点を使用して 3 回ねじりますが、以前とは逆方向にねじります。2 つの垂直弧から始めると、リストは 0 から始まります。2 つの水平弧を持つ図は (0) ですが、垂直弧を持つ図には (0, 0) を割り当てます。「正」または「負」のねじれを記述するための規則が必要です。多くの場合、「有理タングル」は、このように記述された単純な図を表す数のリストを指します。
有理絡み合いの分数は、連分数で与えられる数として定義されます。(0,0)で与えられる分数は次のように定義されます。コンウェイは、この分数が適切に定義され、タングルの等価性を除いて有理タングルを完全に決定することを証明した。[ 2 ]この事実の分かりやすい証明は、 [ 3 ]に示されている。コンウェイはまた、アレクサンダー多項式を使用して任意のタングルの分数も定義した。
タングルには、加算、乗算、および逆演算を含む「算術」が存在する。代数タングルは、有理タングルの加算と乗算によって得られる。
有理タングルの分子閉包は、「北」端点同士、および「南」端点同士をそれぞれ結んだリンクとして定義される。分母閉包も同様に、「東」端点と「西」端点をグループ化することで定義される。有理リンクは、このような有理タングルの閉包として定義される。
コンウェイが絡まりの研究を行った動機の一つは、表に見られるような従来の列挙法よりも体系的な結び目の表記法を提供することであった。
タングルはDNAトポロジーの研究に役立つことが示されている。特定の酵素の作用はタングル理論を用いて分析することができる。[ 4 ]
![{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b543333db3f8648a3d346a70d258e7af2de16c5)
![{\displaystyle [a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bcac6d680129ee8620ccf78b7e7c20f76fb020)
