興味

20世紀後半には、イスラム法を金融機関や経済に適用する動きである、無利子のイスラム銀行および金融が台頭しました。イラン、スーダン、パキスタンなどの一部の国は、金融システムから利子を根絶するための措置を講じています。 ^{[ 14 ]}無利子の貸し手は、利子を徴収する代わりに、利益損失分配スキームのパートナーとして投資することでリスクを共有します。これは、利子として事前に定められたローン返済が禁止されていること、またお金からお金を得ることが容認されないためです。すべての金融取引は資産担保でなければならず、貸付サービスに対して利子や手数料を徴収してはなりません。

ヤコブ・ベルヌーイは複利に関する問題を研究することで数学定数eを発見したと考えられている。^{[ 15 ]}彼は、1.00ドルから始まり、年間100%の利息が支払われる口座の場合、年末には2.00ドルになるが、利息が1年で2回計算されて加算されると、1ドルは1.5倍され、1.00 × 1.5 ² = 2.25ドルになるということに気づいた。  

ベルヌーイは、複利計算の頻度を無制限に増やすと、この数列は次のようにモデル化できることに気づいた。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)^{n}=e,}$

ここで、 nは1年間に利息が複利計算される回数である。

単利は、元金、または元金のうち残った部分のみに対して計算されます。複利の効果は含まれません。単利は、1年以外の期間、例えば毎月にも適用できます。

単利は、以下の式に基づいて計算されます。

$${\displaystyle {\frac {r\cdot B\cdot m}{n}}}$$

どこ

rは単純年利率です

Bは初期残高です

mは経過した時間期間の数であり、

nは利息を適用する頻度です。

例えば、クレジットカードの未払い残高が2500ドルで、単純年利が年率12.99%で、毎月適用されるとします。つまり、利息が適用される頻度は年間12回です。1か月で、

$$\displaystyle {\frac {0.1299\times \$2500}{12}}=\$27.06}$$

利息が発生します（小数点以下第2位を四捨五入）。

3ヶ月にわたって適用される単純利息は

$$\displaystyle {\frac {0.1299\times \$2500\times 3}{12}}=\$81.19}$$

カード所有者が3か月ごとに利息のみを支払う場合、支払う利息の合計額は

$$\displaystyle {\frac {0.1299\times \$2500}{12}}\times 3=\$27.06{\text{ 月額 }\times 3{\text{ ヶ月 }=\$81.18}$$

これは、上記で計算した3ヶ月間の単利です。（1セントの差は、小数点以下第2位を四捨五入したことによるものです。）

複利には、以前に蓄積された利息に対して得られた利息も含まれます。

例えば、年6%の利率を半年ごとに支払う債券（つまり、年2回3%のクーポンを支払う債券）と、年1回6%の利率を支払う定期預金（GIC）を比較してみましょう。どちらの場合も、額面100ドルあたり6ドルの利息が支払われますが、半年ごとに支払う債券の保有者は、わずか6か月後に年間6ドルの半分を受け取るため（時間選好）、最初の6か月後に最初の3ドルのクーポン支払いを再投資して、追加の利息を得る機会があります。

例えば、投資家が額面1万ドルの米ドル建て債券を購入し、年2回クーポンが支払われ、その債券の単純年間クーポン利率が年6%だとします。これは、6か月ごとに発行体が債券保有者に対し、額面100ドルあたり3ドルのクーポンを支払うことを意味します。6か月後、発行体は保有者に以下の金額を支払います。

$${\displaystyle {\frac {r\cdot B\cdot m}{n}}={\frac {6\%\times \$10\,000\times 1}{2}}=\$300}$$

債券の市場価格が100、つまり額面価格で取引されていると仮定し、さらに、保有者がクーポンを直ちに再投資し、額面300ドルの別の債券を購入するとします。したがって、投資家は現在、合計で以下の債券を保有しています。

$${\displaystyle \$10\,000+\$300=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)\cdot B=\left(1+{\frac {6\%}{2}}\right)\times \$10\,000}$$

そして、次の6ヶ月の終わりにクーポンを獲得します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r\cdot B\cdot m}{n}}&={\frac {6\%\times \left(\$10\,000+\$300\right)}{2}}\\&={\frac {6\%\times \left(1+{\frac {6\%}{2}}\right)\times \$10\,000}{2}}\\&=\$309\end{aligned}}}$$

債券価格が額面価格のままだと仮定すると、投資家は12ヶ月後には以下の合計額を蓄積することになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\$10,000+\$300+\$309&=\$10\,000+{\frac {6\%\times \$10,000}{2}}+{\frac {6\%\times \left(1+{\frac {6\%}{2}}\right)\times \$10\,000}{2}}\\&=\$10\,000\times \left(1+{\frac {6\%}{2}}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

そして投資家は合計で以下の金額を稼いだ。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\$10\,000\times \left(1+{\frac {6\%}{2}}\right)^{2}-\$10\,000\\=\$10\,000\times \left(\left(1+{\frac {6\%}{2}}\right)^{2}-1\right)\end{aligned}}}$$

年率換算複利の計算式は以下のとおりです。

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}-1}$$

どこ

rは単純年利率です

nは利息を適用する頻度です

例えば、年率6%の単利の場合、年率換算複利は次のようになります。

$${\displaystyle \left(1+{\frac {6\%}{2}}\right)^{2}-1=1.03^{2}-1=6.09\%}$$

n回の定期支払い後のローン残高 Bnは_、各期間ごとに定期利息に応じた成長率で増加し、その後、各期間の終わりに支払われた金額pだけ減少します。

$${\displaystyle B_{n}={\big (}1+r{\big )}B_{n-1}-p,}$$

どこ

i = 単純な年利率（小数形式）（例：10% = 0.10。ローン利率は、支払額と残高の計算に使用される利率です。）

r = 期間金利（例：月払いの場合、 i / 12）

B _{0 = 初期残高、}元金に等しい

繰り返し代入すると、B _nの式が得られ、これはB ₀とpに線形的に比例し、等比級数の部分和の公式を使用すると、

$${\displaystyle B_{n}=(1+r)^{n}B_{0}-{\frac {(1+r)^{n}-1}{r}}p}$$

pに関するこの式の解は、B ₀とB _nを用いて次のように表されます。

$${\displaystyle p=r\left[{\frac {(1+r)^{n}B_{0}-B_{n}}{(1+r)^{n}-1}}\right]}$$

ローンをn 回の支払いで完済する場合の支払い額を求めるには、B _n = 0 と設定します。   

表計算ソフトにあるPMT関数は、ローンの月々の返済額を計算するために使用できます。

$${\displaystyle p=\mathrm {PMT} ({\text{rate}},{\text{num}},{\text{PV}},{\text{FV}},)=\mathrm {PMT} (r,n,-B_{0},B_{n},)}$$

現在の残高に対する利息のみの支払いは

$${\displaystyle p_{I}=rB.}$$

ローンに対して支払われる総利息I _Tは

$${\displaystyle I_{T}=np-B_{0}.}$$

定期積立プログラムの計算式も同様ですが、支払額は残高から差し引くのではなく加算され、支払額の計算式は上記の式の負の値になります。実際のローン残高は四捨五入の影響を受けるため、これらの計算式はあくまで概算です。ローンの最終支払額が不足しないように、支払額は小数点以下を切り上げて次のセント単位にする必要があります。

上記の問題のk期間に等しい新しい期間を持つ同様のローンを考えてみましょう。r kとp _{k が}新しい利率と支払額である場合、次のようになります_。

$${\displaystyle B_{k}=B'_{0}=(1+r_{k})B_{0}-p_{k}.}$$

_{これを上記の B k}の式と比較すると、次のことがわかります。

$${\displaystyle r_{k}=(1+r)^{k}-1}$$

そして

$${\displaystyle p_{k}={\frac {p}{r}}r_{k}.}$$

最後の式を用いることで、両方の問題に共通する定数を定義することができる。

$${\displaystyle B^{*}={\frac {p}{r}}={\frac {p_{k}}{r_{k}}}}$$

また、B _{k は}次のように書ける。

$${\displaystyle B_{k}=(1+r_{k})B_{0}-r_{k}B^{*}.}$$

r _kを解くと、既知の量と、k期間後の残高であるB _kを含むr _kの公式が得られます。

$${\displaystyle r_{k}={\frac {B_{0}-B_{k}}{B^{*}-B_{0}}}.}$$

B _{0 は}ローンの任意の残高になり得るため、この式はk期間離れた任意の 2 つの残高に適用でき、年利率の値を計算するために使用できます。

B * はスケール不変量である。なぜなら、周期の長さの変化によって変化しないからである。

B ^*の式を整理すると、変換係数（スケールファクター）が得られます。

$${\displaystyle \lambda _{k}={\frac {p_{k}}{p}}={\frac {r_{k}}{r}}={\frac {(1+r)^{k}-1}{r}}=k\left[1+{\frac {(k-1)r}{2}}+\cdots \right]}$$

（二項定理を参照）そして、 rとpが同じように変換されることがわかります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{k}&=\lambda _{k}r,\\p_{k}&=\lambda _{k}p.\\\end{aligned}}}$$

バランスの変化も同様に変化する。

$${\displaystyle \Delta B_{k}=B'-B=(\lambda _{k}rB-\lambda _{k}p)=\lambda _{k}\,\Delta B.}$$

これにより、上記の式に含まれる係数の意味が理解できます。年利率r ₁₂は、1 年に 1 回の支払いのみを想定しており、月払いの場合の「実効」利率ではありません。月払いの場合、毎月の利息は各支払いから支払われるため、複利計算されるべきではなく、年利率 12· rの方が理にかなっています。利息のみの支払いを行った場合、1 年間の支払額は 12· r · B ₀となります。

p _k = r _k B * をB _kの式に代入すると、

$${\displaystyle B_{k}=B_{0}-r_{k}(B^{*}-B_{0}).}$$

B _n = 0なので、 B * について解くことができます。

$${\displaystyle B^{*}=B_{0}\left({\frac {1}{r_{n}}}+1\right).}$$

B _kの式に代入し直すと、 B k はr _kの線形関数であり、したがってλ _kの線形関数であることがわかります。

$${\displaystyle B_{k}=B_{0}\left(1-{\frac {r_{k}}{r_{n}}}\right)=B_{0}\left(1-{\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{n}}}\right)}$$。

λ _kが既知の場合、これがバランスを推定する最も簡単な方法です。上記のB _kの最初の式に代入し、 λ _{k +1}について解くと、次の式が得られます。

$${\displaystyle \lambda _{k+1}=1+(1+r)\lambda _{k}}$$。

λ ₀とλ _{n は}、上記のλ _kの式を使用するか、 λ ₀ = 0からλ _nまで再帰的にλ _kを計算することによって求めることができます。

p  = rB *なので、支払いの式は次のように簡略化されます。 

$${\displaystyle p=\left(r+{\frac {1}{\lambda _{n}}}\right)B_{0}}$$

そして、融資期間中の平均金利は

$${\displaystyle r_{\text{loan}}={\frac {I_{T}}{nB_{0}}}=r+{\frac {1}{\lambda _{n}}}-{\frac {1}{n}},}$$

n > 1 の場合、これはrより小さい値となる。   

電子計算機が広く普及する以前の時代、アメリカ合衆国における定額消費者ローンは、「78の法則」、つまり「桁の合計」方式を用いて価格設定されていた。（1から12までの整数の合計は78である。）この手法は、簡単な計算だけで済むものであった。

ローン期間中、支払額は一定ですが、支払額のうち利息に充当される割合は徐々に小さくなっていきます。1年ローンの場合、最初の月にはローン期間中に支払うべき利息の 12/78、2 月目には 11/78 が支払われ、12 月目には利息の 1/78 だけが支払われます。78 の法則の実際的な効果は、タームローンの早期返済をより高額にすることです。1年ローンの場合、支払うべき利息の約 3/4 が 6 月目までに徴収され、その後元本を返済すると、実質金利は支払額の計算に使用される APR よりもはるかに高くなります。^{[ 18 ]}

1992年、米国は住宅ローンの借り換えや5年を超えるその他の消費者ローンに関連して「78の法則」の利息を使用することを違法とした。^{[ 19 ]}他のいくつかの法域では、特定の種類のローン、特に消費者ローンにおける78の法則の適用を違法としている。^{[ 18 ]}

一定の金利で元金が倍になるまでの期間、つまり複利で元金が倍以上になるまでの期間を概算するには、72を金利で割ります。例えば、年利6%で複利運用する場合、元金が倍になるまでには72÷6＝12年かかります。

このルールは、10%までの金利について良い目安となる。

金利が18%の場合、72の法則によれば、お金は72÷18＝4年後に倍になると予測されます。 $${\displaystyle 1.18^{4}=1.9388{\text{ (4 d.p.)}}}$$

金利が24パーセントの場合、この法則によれば、資金は72/24 = 3年後に倍になると予測される。 $${\displaystyle 1.24^{3}=1.9066{\text{ (4 d.p.)}}}$$

機会費用とは、その資金を他の用途に使うこと、例えば他者への貸付、他の投資、現金保有、支出などに使うことなど、あらゆる可能性を包含する費用である。

インフレ率と同額の金利を課すことは、貸し手の購買力を維持するものの、実質的な貨幣の時間価値を補償するものではない。貸し手は消費するよりも他の商品に投資することを好むかもしれない。競合する投資から得られるであろう収益は、貸し手が要求する金利を決定する要因となる。

貸し手は消費を延期しているため、最低限、インフレによる物価上昇分を回収したいと考えるだろう。将来のインフレ率は不明であるため、これを実現するには次の3つの方法が考えられる。

• X%の金利にインフレ率を加算した金利を課す。多くの政府は「実質利回り債」または「インフレ連動債」を発行している。元本または利払い額はインフレ率に応じて継続的に増加する。実質金利に関する議論を参照のこと。
• 「予想」インフレ率を決定する。しかし、この方法では、貸し手は依然として「予想外」のインフレリスクにさらされることになる。
• 金利を定期的に変更できるようにする。「固定金利」は債務の存続期間中ずっと一定だが、「変動金利」または「フローティング金利」は金利を定期的に変更できる。両者の間でヘッジやスワップを可能にするデリバティブ商品も存在する。

しかし、金利は市場によって決定されるため、インフレを補うには不十分な場合が頻繁に発生します。例えば、石油危機のような高インフレ時や、多くのインフレ連動型国債の実質利回りがマイナスとなった2011年などが挙げられます。

借り手が破産したり、逃亡したり、その他の理由でローンを履行できなくなるリスクは常に存在します。リスクプレミアムは、借り手の信用力、事業の成功リスク、担保として差し入れられた資産の安全性を測る指標です。例えば、発展途上国への融資は、信用力の差から、米国政府への融資よりもリスクプレミアムが高くなります。また、企業向けの運転資金枠は、住宅ローンよりも金利が高くなります。

企業の信用力は債券格付け機関によって、個人の信用スコアは信用情報機関によって評価されます。個々の債務のリスクは、可能性の標準偏差が大きい場合があります。貸し手は最大のリスクをカバーしたいと考えるかもしれませんが、債務ポートフォリオを持つ貸し手は、最も可能性の高い結果のみをカバーするようにリスクプレミアムを下げることができます。

経済学において、利子は信用に対する対価とみなされるため、インフレによる歪みの影響を受けやすい。インフレ調整前の価格を指す名目利子は、消費者が目にする利子（ローン契約書やクレジットカード明細書などに記載されている利子）である。名目利子は、実質利子にインフレ率などを加えたもので構成される。名目利子の概算式は以下のとおりである。

$${\displaystyle i=r+\pi }$$

どこ

iは名目金利です

rは実質金利です

そしてπはインフレ率を表す。

しかし、たとえインフレ率が同じであっても、すべての借り手と貸し手が同じ金利を利用できるわけではありません。さらに、将来のインフレ率に対する期待は様々であるため、将来を見据えた金利は、単一の実質金利と単一の予想インフレ率の組み合わせだけでは算出できません。

金利は信用力、つまり債務不履行のリスクにも左右される。政府は通常、非常に信頼できる債務者であり、国債の金利は通常、他の借り手が利用できる金利よりも低い。

方程式：

${\displaystyle i=r+\pi +c}$

インフレ率と信用リスクの予想を、ローンの期間全体にわたる名目金利と予想実質金利に関連付ける。

iは適用される名目金利です

rは期待される実質金利です

πは予想インフレ率であり、

cは、認識されている信用リスクに応じた利回りスプレッドである。

延滞利息とは、借主が融資契約上の重大な違反を犯した後、支払わなければならない利息率のことです。

延滞利息は、借り手の財務リスクの悪化を反映しているため、通常は当初の金利よりもはるかに高くなります。延滞利息は、貸し手が負う追加リスクに対する補償となります。

借り手の立場からすると、これは、1回または2回の返済期間にわたって通常の支払いを怠ったり、融資担保に対する税金や保険料を支払わなかったりすると、残りの融資期間全体にわたって大幅に高い利息が発生することを意味する。

銀行は、さまざまなシナリオを区別するために、融資契約に延滞利息を追加する傾向がある。

一部の法域では、デフォルト利息条項は公共政策に反するため、執行不能とされている。

短期債は、近い将来の見通しが立てやすいため、デフォルトリスクやインフレリスクが低い傾向があります。このような状況では、短期金利は長期金利よりも低くなります（イールドカーブは右肩上がりになります）。

金利は一般的に市場によって決定されますが、政府（通常は中央銀行）の介入は短期金利に大きな影響を与える可能性があり、金融​​政策の主要な手段の一つです。中央銀行は、自らが決定した金利で大量の資金を借り入れ（または貸し出し）します（これは、中央銀行が無から創造した、つまり印刷した資金である場合もあります）。この資金の供給と需要、ひいては市場金利に大きな影響を与えます。

連邦準備制度（FRB）は、主にフェデラルファンド金利を目標とすることで金融政策を実施します。フェデラルファンド金利とは、銀行がFRBに預けている準備金のことです。

公開市場操作は、連邦準備制度理事会（FRB）が短期金利を誘導するために実施する金融政策手段の一つです。ニューヨーク連邦準備銀行の公開市場デスクは、国債の売買権限を利用して、米国債を購入することで市場にドルを供給し、国のマネーサプライを増加させます。マネーサプライ、すなわち資金総供給量（ASF）が増加すると、銀行が準備金として余剰ドルを抱えることになるため、金利は低下します。余剰準備金はフェデラルファンド市場で他の銀行に貸し出され、金利をさらに押し下げることになります。

景気循環において、金利と信用リスクが密接に関連していることは、ますます認識されるようになってきている。ジャロー・ターンブル・モデルは、金利のランダム性をその中核に明示的に組み込んだ最初の信用リスク・モデルであった。ランド（2004）、ダレル・ダフィーとシングルトン（2003）、ファン・デヴェンターとイマイ（2003）は、利付証券の発行者が債務不履行に陥る可能性がある場合の金利について論じている。

ローンや債券は貨幣の特性の一部を備えており、広義の貨幣供給量に含まれる。

各国政府は（もちろん、自国通貨を維持していることを前提として）、金利、ひいては融資の需給に影響を与え、発行される融資と債券の総額を変化させることができる。一般的に言えば、実質金利の上昇は広義のマネーサプライを減少させる。

貨幣数量説によれば、貨幣供給量の増加はインフレにつながる。これは、金利が将来のインフレに影響を与える可能性があることを意味する。^{[ 20 ]}

流動性とは、資産を公正価値またはそれに近い価格で迅速に転売できる能力のことです。他の条件がすべて同じであれば、投資家はいつでも売却できるという選択肢の喪失を補うため、流動性の低い資産に対して流動性の高い資産よりも高いリターンを求めます。米国債は流動性が高く、活発な流通市場がありますが、他の債務の中には流動性の低いものもあります。住宅ローン市場では、証券化ローンとして転売できるローンに最も低い金利が設定されることがよくあります。売主融資のような非常に非伝統的なローンは、流動性が低いため、金利が高くなる傾向があります。

アリストテレスとスコラ学派は、自分の努力や犠牲に対する補償以外で支払いを請求するのは不当であり、お金はその性質上不毛であるため、一時的にお金から離れても損失はないと主張した。リスクや融資の手配の手間に対する補償は、これらの理由から必ずしも不当とはみなされなかった。^{[ 21 ]}

ニコラス・バルボン（1640年頃～1698年頃）は、利子が金銭的価値であるという見解を「誤り」と表現し、お金は通常資産（商品や在庫）を購入するために借り入れられるため、ローンに課される利子は一種の賃料、つまり「商品の使用に対する支払い」であると主張した。^{[ 22 ] [ 21 ] [ 23 ]}シュンペーターによれば、バルボンの理論は、 1750年にジョセフ・マッシーが同様の見解を提唱するまで忘れ去られていた。^{[注1 ]}

1752年、デイヴィッド・ヒュームはエッセイ「貨幣について」を発表し、利子を「借入需要」、「その需要を満たすために利用可能な富」、「商業から生じる利益」と関連付けた。シュンペーター^{[ 26 ]}はヒュームの理論をリカードやミルの理論よりも優れていると考えたが、利益への言及は産業よりも「商業」に驚くほど集中している。

収益理論は、フランスの経済学者で財務大臣のアンヌ・ロベール・ジャック・テュルゴーによって提唱された金利理論である。収益理論という用語は、テュルゴーを金利の科学的説明を試みようとした最初の経済学者とみなしたオイゲン・フォン・ベーム＝バヴェルクによるものである。^{[ 27 ]}

金利が通常ゼロより大きい理由について、1770年にテュルゴーは「実りの理論」を提唱した。彼は、貸付金利と農地の収益率を比較する機会費用論と、永久年金の価値を求める公式を農園に適用する数学的論拠を用いて、金利がゼロに近づくにつれて土地の価値は際限なく上昇すると主張した。土地の価値がプラスかつ有限であり続けるためには、金利をゼロより大きく保つ必要があるのである。

テュルゴーは利子理論を古典的な形に近づけた。

資金を提供する資本家と利益を分け合う（『考察』第71章）。後者に分配される割合は、他のすべての価格と同様に（第75章）、借り手と貸し手の間の需要と供給の相互作用によって決定されるため、分析は最初から価格の一般理論にしっかりと根ざしている。^{[注2 ]}

古典理論は、テュルゴー、リカード^{[注3 ]} 、マウントフォート・ロングフィールド^{[ 29 ]} 、 J.S.ミル、アーヴィング・フィッシャー^{[ 30} ]など、多くの著者の業績である。ケインズ^{[注4 ]}はこれを強く批判したが、^彼の発言はそれでもなお、この理論に肯定的な貢献をした。

ミルの理論は、彼の著書『政治経済学原理』の「利子率について」の章に述べられている。^{[注5 ]}彼は、利子率は貸付と借入の需要の均衡を維持するために調整されると述べている。^{[ 31 ]}個人は、消費を延期するため、あるいは利息によって後日より多くの量を消費できるようになるために貸し出す。彼らは消費を予測するために借入を行う（その相対的な望ましさは貨幣の時間価値に反映される）が、企業家は投資資金を調達するために借入を行い、政府は独自の理由で借入を行う。これら3つの需要源は、融資をめぐって競合する。^{[ 32 ]}

起業家の借入と貸出が均衡するためには、以下のことが必要です。

お金に対する利子は、資本の運用によって得られる利益率によって規制される。^{[ 33 ]}

リカードとミルの「利潤」は、資本の限界効率の概念によってより正確に定義される（この表現は概念ではなくケインズによるものである^{[注6 ]}）。これは、資本の追加増加によって得られる年間収益をそのコストに対する割合として定義することができる。したがって、均衡における利子率rは、資本の限界効率r 'に等しくなる。rとr 'を別々の変数として扱うのではなく、これらが等しいと仮定し、単一の変数rでそれらの共通の値を表すことができる。

投資スケジュールi ( r ) は、少なくともrの収益で可能な投資額を示しています。^{[注 7 ]}定常経済では、図の青い曲線に似ており、 r ̂ を超える収益で投資する機会はほぼ使い果たされている一方で、より低い収益で投資する余地がまだあるという仮定から階段状の形状が生じます。^{[ 34 ]}

貯蓄とは、予定消費額を繰り延べた額の超過分であり、その所得への依存性はケインズが説明したとおりである（『一般理論』を参照）。ただし、古典派理論では、貯蓄は明らかにrの増加関数である。（失業理論が発展する以前は、貯蓄の所得yへの依存性は古典派の関心事とは関係がなかった。）利子率は、実線の赤い貯蓄曲線と青い投資スケジュールの交点によって与えられる。しかし、投資スケジュールがほぼ垂直である限り、所得の変化（極端な場合には破線の赤い貯蓄曲線につながる）は利子率にほとんど影響を与えない。

場合によっては、分析はそれほど単純ではないでしょう。新しい技術の導入により、新しい形態の資本に対する需要が生じ、ステップは右にシフトし、傾斜が緩やかになります。^{[ 34 ]}あるいは、消費を先取りしたいという欲求が急激に高まると（おそらく戦時中の軍事支出を通じて）、利用可能な融資のほとんどが吸収され、金利が上昇し、投資はそれを上回る収益が得られる額まで減少します。^{[ 35 ]}これは、点線の赤い貯蓄曲線で示されています。

古典的な利子理論では、利子は資本家の事業利益の取り分として説明されるが、限界主義以前の著述家たちは、これらの利益を労働価値説と調和させることができなかった（本質的に限界主義者であったロングフィールドを除く）。彼らの反応はしばしば道徳的なトーンを帯びていた。リカードとマルクスは利益を搾取と見なし、マカロックの生産性理論は資本設備を蓄積された労働の具現化として描写することで利益を正当化した。^{[ 26 ]}利子は禁欲に対する支払いであるという理論はナッソー・シニアに帰せられ、シュンペーター^{[ 26 ]}によれば中立的な意図であったが、道徳的な主張をしていると容易に理解でき、マルクスとラサールによって厳しく批判された。

クヌート・ヴィクセルは1898年に『利子と物価』を出版し、自然利子と名目利子の区別に基づいた経済危機の包括的な理論を展開した。

ヴィクセルの貢献は実際には2つあった。まず、彼は貨幣金利を、物々交換経済における資本の需給均衡から生じるであろう仮説上の「自然」金利から分離し、貨幣の存在のみによって、実際の市場金利がこの理想的な金利と一致しない可能性があると仮定した。次に、彼は信用メカニズムを通じて金利が物価に影響を与え、貨幣金利が「自然」水準を上回ると物価が下落し、下回ると物価が上昇すると仮定した。しかし、ヴィクセルは、自然金利が貨幣金利と一致すれば物価の安定がもたらされると結論付けた。^{[ 37 ]}

1930年代には、ヴィクセルのアプローチはベルティル・オーリンとデニス・ロバートソンによって洗練され、貸付資金理論として知られるようになった。

オイゲン・ベーム・フォン・バヴェルクをはじめとするオーストリア学派のメンバーも、金利に関する注目すべき理論を提唱した。

オーストリア学派の重鎮であるマレー・ロスバードは、金利に関する一般的な分析を構成する貸付市場への重点は誤った見方であると考えている。彼の主要な経済学著作『人間、経済、国家』で説明しているように、市場金利は、将来の財よりも現在の財を好むという時間選好という自然現象の現れにすぎない。 ^{[ 38 ]}ロスバードによれば、

あまりにも多くの著者が、金利をローン市場におけるローンの価格のみとみなしている。実際には、金利はあらゆる時間市場に浸透しており、生産的なローン市場は厳密には派生的な重要性しか持たない補助的な時間市場である。^{[ 39 ]}

利子は人々の時間選好率によって説明できる。貸付市場を指摘するだけでは不十分である。むしろ、利子率は「生産段階」、つまり時間市場そのものの間で観察されるものであり、そこでは消費財を作るために使用される資本財が、消費が行われる経済の最終消費財段階からさらに時間的に離れたところで発注される。消費財が現在の財を、生産財が将来の財を表すこの（均一化に向かう​​傾向のある）様々な段階間のスプレッドにおいて、実質利子率が観察される。ロスバードは次のように述べている。

金利は、各段階における価格スプレッド率に等しい。^{[ 39 ]}

ロスバードはさらに、ケインズの利子概念を批判し、次のように述べている。

ケインズ主義の重大な根本的な誤りの1つは、金利を生産段階間の価格差ではなく、融資の契約金利とみなし続けることである。^{[ 40 ]}

パレートは次のように主張した。

金利は、均衡の一般システムを構成する多くの要素の一つであり、当然ながらそれらすべてと同時に決定されるため、金利を「引き起こす」特定の要素を探すことには全く意味がない。^{[注8 ]}

利子は、ケインズが1936年に著した『雇用・利子及び貨幣の一般理論』で展開された経済理論の主要な構成要素の一つである。流動性選好（貨幣需要）に関する彼の最初の説明では、この需要は利子率のみの関数であり、供給量が既知で均衡が仮定されているため、利子率は貨幣供給量によって決定される。彼は後に、利子は他の経済変数から切り離すことはできず、それらと合わせて分析する必要があると述べている。

ケインズは、ドイツ系アルゼンチン人の経済学者シルビオ・ゲゼルが、 1936年に『雇用・利子及び貨幣の一般理論』を出版する数十年前に、利子理論の先駆けとなる中心的な要素をいくつか開発していたことを認めた。 ^{[ 42 ]}ゲゼルは、ロビンソン・クルーソー経済の思考実験 を行い、利子は貨幣経済には存在するが物々交換経済には存在しない傾向があることを示した。^{[ 43 ]} ゲゼルは、利子は純粋に貨幣的な現象であると特定したが、^{[ 44 ]}ケインズは、ゲゼルが流動性の重要性を認識できなかったため、ゲゼルの理論は「半分の理論」に過ぎないと考えていた。 ^{[ 45 ]}ケインズは、貨幣が商品よりも流動性において優位性を持っていることを明確に認識することで、ゲゼルの利子理論を改良した。