永久

支払いは各期間の終わりに行われ、最初の支払いは今から1期間後です。^{[ 2 ] [ 4 ]}

支払いは各期間の開始時に行われ、最初の支払いは直ちに行われます。各支払いは1期間早く受け取られるため、期首払い永久年金は、それ以外は同じ通常の永久年金よりも高い現在価値を持ちます。^{[ 2 ] [ 4 ]}

支払額は各期間一定です。標準的な計算式では、一定の割引率を仮定し、${\displaystyle r>0}$したがって、割引合計は有限値に収束する。^{[ 1 ] [ 4 ]}

支払額は一定の割合で増加する${\displaystyle g}$期間あたり。通常の閉形式評価は、次の場合にのみ適用されます。${\displaystyle r>g}$。 もし${\displaystyle r\leq g}$割引合計は有限値に収束しない。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

通常の永久年金契約（最初の支払いは今から１期間後）では、均等な永久年金が支払われます。${\displaystyle A}$各期間の現在価値は次のとおりです: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

$PV=\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {A}{(1+r)^{t}}}$

最初の項を展開すると、連続する項間の定数比が明らかになります。^{[ 1 ] [ 4 ]}

$PV={\frac {A}{1+r}}+{\frac {A}{(1+r)^{2}}}+{\frac {A}{(1+r)^{3}}}+\cdots$

最初の項を因数分解する： ${\displaystyle PV={\frac {A}{1+r}}\left(1+{\frac {1}{1+r}}+{\frac {1}{(1+r)^{2}}}+\cdots \right)}$括弧内の和は、比が等比級数である。${\displaystyle q={\frac {1}{1+r}}}$これは、${\displaystyle |q|<1}$。 のために${\displaystyle r>0}$この条件が満たされるため、合計を評価できます。^{[ 1 ] [ 4 ]}

$PV={\frac {A}{1+r}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{1+r}}}}={\frac {A}{r}}$

この結果は、定額永久年金の価値が支払額に正比例して上昇することを意味する。${\displaystyle A}$割引率が下がるにつれて${\displaystyle r}$増加（将来の支払いはより大きく割引される）。^{[ 1 ] [ 4 ]}

最初の支払いがすぐに行われる場合（期限付き永久年金）、現在価値は割引なしの支払い1回分だけ大きくなります。^{[ 2 ] [ 4 ]}

$PV_{\text{due}}=A+{\frac {A}{r}}$

この結果は、各支払いを1期間早く受け取ると、今日の価値がちょうど1回分増加することを意味します。なぜなら、通常の永久年金の価値は、${\displaystyle t=1}$[ ^{2 ] [ 4 ]​}

同様の方法で、増加する永久年金も導出されます。${\displaystyle CF_{1}}$次の期間の予想支払額とし、支払額は一定の割合で増加するものとする。${\displaystyle g}$、 それで${\displaystyle CF_{t}=CF_{1}(1+g)^{t-1}}$割引と合計により次のようになります。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

$PV=\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {CF_{1}(1+g)^{t-1}}{(1+r)^{t}}}={\frac {CF_{1}}{1+r}}\sum _{t=1}^{\infty }\left({\frac {1+g}{1+r}}\right)^{t-1}$

比率は${\displaystyle {\frac {1+g}{1+r}}}$、したがって、和は収束する${\displaystyle {\frac {1+g}{1+r}}<1}$これは、${\displaystyle r>g}$数列を評価すると次のようになります。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

$PV={\frac {CF_{1}}{1+r}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1+g}{1+r}}}}={\frac {CF_{1}}{r-g}}$

この結果は、次期のキャッシュフローとともに価値が増加することを意味する。${\displaystyle CF_{1}}$成長とともに増加する${\displaystyle g}$上昇するが、${\displaystyle r>g}$。 として${\displaystyle g}$アプローチ${\displaystyle r}$分母が縮小し、評価額が小さな変化に非常に敏感になる。${\displaystyle r}$または${\displaystyle g}$[ ^{1 ] [ 2 ] [ 4 ]​}