約数の和の恒等式

このページの目的は、数論的約数和、つまり自然数の約数に対する算術関数の和、または同等に算術関数と約数のディリクレ畳み込みに関連する、新しくて興味深く有用な恒等式をカタログ化することです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f(n)}$

${\displaystyle g(n):=\sum _{d\mid n}f(d).}$

これらの恒等式には、 の真正な素約数のみに対する算術関数の和への適用が含まれる。また、最大公約数関数に関するこれらの約数和の周期的変形を次の形式で 定義する。${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{m}(n):=\sum _{d\mid (m,n)}f(d),\ 1\leq m\leq n}$

関数を で表せるようにするよく知られた反転関係は、メビウスの反転公式によって与えられます。当然、そのような恒等式の最も興味深い例のいくつかは、別の算術関数 の約数和として定義される算術関数上の平均位数総和関数を考えるときになります。特殊な算術関数や算術関数の特殊なディリクレ畳み込みを含む約数和の特定の例は、次のページにあります: ここ、ここ、ここ、ここ、ここ、ここ。 ${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle g(n)}$${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle g(n)}$

以下の恒等式は、このトピックページを作成する主な動機です。これらの恒等式は、あまり知られていないか、少なくとも十分に文書化されていないようですが、いくつかのアプリケーションで手元にあると非常に便利なツールです。以下では、 が任意の指定された算術関数であり、 がの加算関数を表すとします。以下の最初の加算のより一般的な特殊なケースは、ここで参照されています。^[1]${\displaystyle f,g,h,u,v:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$${\textstyle G(x):=\sum _{n\leq x}g(n)}$${\displaystyle g(n)}$

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}v(n)\sum _{d\mid n}h(d)u\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{n=1}^{x}h(n)\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor }u(k)v(nk)}$
2. ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{x}\sum _{d\mid n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)&=\sum _{n=1}^{x}f(n)G\left(\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \right)=\sum _{i=1}^{x}\left(\sum _{\left\lceil {\frac {x+1}{i+1}}\right\rceil \leq n\leq \left\lfloor {\frac {x-1}{i}}\right\rfloor }f(n)\right)G(i)+\sum _{d\mid x}G(d)f\left({\frac {x}{d}}\right)\end{aligned}}}$
3. ${\displaystyle \sum _{d=1}^{x}f(d)\left(\sum _{r\mid (d,x)}g(r)h\left({\frac {d}{r}}\right)\right)=\sum _{r\mid x}g(r)\left(\sum _{1\leq d\leq x/r}h(d)f(rd)\right)}$
4. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\cdot {\frac {x}{d}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)t^{m}=(t^{x}-1)\cdot \sum _{d\mid x}{\frac {t^{d}f(d)}{t^{d}-1}}g\left({\frac {x}{d}}\right)}$

一般に、これらの恒等式は、定評のある解析的数論のノートや技法、および寄稿者の論文や研究のいわゆる「珍しいものや珍しいもの」から集められています。恒等式自体は証明するのが難しくなく、級数の反転や約数の和の標準的な操作の練習になります。したがって、ここでは証明を省略します。

畳み込み法は、次の形式の平均次数和を推定する一般的な手法である。

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\qquad {\text{ or }}\qquad \sum _{\stackrel {q\leq x}{q{\text{ squarefree}}}}f(q),}$

ここで、乗法関数f は、適切なアプリケーション定義の算術関数gとhの形式の畳み込みとして記述できます。この方法の簡単な概要については、こちらをご覧ください。 ${\displaystyle f(n)=(g\ast h)(n)}$

関連する技術として、次の式を使用する。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{xy=k}^{}g(x)h(y)=\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{n/x}g(x)h(y)+\sum _{y=1}^{b}\sum _{x=1}^{n/y}g(x)h(y)-\sum _{x=1}^{a}\sum _{y=1}^{b}g(x)h(y);}$

これはディリクレ双曲線法として知られています。

算術関数は周期的 (mod k)、またはすべての に対してである場合はk周期的である。k周期数論関数の特定の例としては、 kを法とするディリクレ指標と最大公約数関数がある。すべてのk周期算術関数は、次の形式の 有限離散フーリエ級数として表現できることが知られている。${\displaystyle f(n+k)=f(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)=\chi (n)}$${\displaystyle f(n)=(n,k)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right),}$

ここで、次の式で定義されるフーリエ係数も k周期的です。 ${\displaystyle a_{k}(m)}$

${\displaystyle a_{k}(m)={\frac {1}{k}}\sum _{n=1}^{k}f(n)e\left(-{\frac {mn}{k}}\right).}$

私たちが興味を持っているのは、次のk周期の約数の合計です。

${\displaystyle s_{k}(n):=\sum _{d\mid (n,k)}f(d)g\left({\frac {k}{d}}\right)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right).}$

これらの約数和の変種のフーリエ係数は式^{[2]で与えられることは事実である。}

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}.}$

また、上の式のフーリエ係数は、任意の関数hを入力としてフーリエ変換することで、次の結果を使って表すこともできる。ここで、はラマヌジャン和である（トーティエント関数のフーリエ変換を参照）。^[3]${\displaystyle \operatorname {gcd} (n,k)}$${\displaystyle c_{q}(n)}$

${\displaystyle F_{h}(m,n)=\sum _{k=1}^{n}h((k,n))e\left(-{\frac {km}{n}}\right)=(h\ast c_{\bullet }(m))(n).}$

したがって、上記の結果を組み合わせると、

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}=\sum _{d\mid k}\sum _{r\mid d}f(r)g(d)c_{\frac {d}{r}}(m).}$

関数を素数の特性関数、すなわちが素数である場合にのみを表し、そうでない場合は がゼロ値であるとする。すると、上記の和の恒等式の交換の項の式(1)の最初の恒等式の特別なケースとして、平均次数和を表すことができる。 ${\displaystyle a(n)}$${\displaystyle a(n)=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}f(p)=\sum _{p=1}^{x}a(p)f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor =\sum _{\stackrel {p=1}{p{\text{ prime}}}}^{x}f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor .}$

また、アーベル和に基づく積分公式は、次の形式^{[4]の和に対しても成り立つ。}

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p=1}{p{\text{ prime}}}}^{x}f(p)=\pi (x)f(x)-\int _{2}^{x}\pi (t)f^{\prime }(t)dt\approx {\frac {xf(x)}{\log x}}-\int _{2}^{x}{\frac {t}{\log t}}f^{\prime }(t)dt,}$

ここで、 は素数関数を表します。ここでは通常、関数f は連続かつ微分可能であると仮定します。 ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}}$

任意の算術関数fと完全に乗法的なg に対して、次の除数和の公式が成り立ちます。ここで、はオイラーのトーティエント関数、はメビウス関数です。^{[5] [6]}${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \mu (n)}$

1. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)\varphi \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))}$
2. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}(1-f(p))}$
3. ${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}g(d)f\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).}$
4. fが完全に乗法である場合、ディリクレ畳み込みによる点ごとの乗算は になります。${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle f\cdot (g\ast h)=(f\cdot g)\ast (f\cdot h)}$
5. ${\displaystyle \sum _{d^{k}\mid n}\mu (d)={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}0,&{\text{ if }}m^{k}\mid n{\text{ for some }}m>1;\\1,&{\text{otherwise.}}\end{array}}}$
6. かつnにm個以上の異なる素因数がある場合、${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)\log ^{m}(d)=0.}$

ディリクレ畳み込みの乗法的恒等式を表す記法を採用し、任意の算術関数fおよびに対して が成り立つ。関数fのディリクレ逆関数は、すべての に対して が成り立つ。関数fのディリクレ逆関数を計算するためのよく知られた再帰畳み込み公式は、 ^[7]の形式で帰納的に与えられる。${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$${\displaystyle (\varepsilon \ast f)(n)=(f\ast \varepsilon )(n)=f(n)}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle (f\ast f^{-1})(n)=(f^{-1}\ast f)(n)=\varepsilon (n)}$${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle f^{-1}(n)}$

${\displaystyle f^{-1}(n)={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{f(1)}},&{\text{ if }}n=1;\\-{\frac {1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)f^{-1}\left({\frac {n}{d}}\right),&{\text{ if }}n>1.\end{array}}}$

固定された関数fに対して、関数${\displaystyle f_{\pm }(n):=(-1)^{\delta _{n,1}}f(n)={\Biggl \{}{\begin{matrix}-f(1),&{\text{ if }}n=1;\\f(n),&{\text{ if }}n>1\end{matrix}}}$

次に、任意の固定算術関数fに対して、次の 2 つの多重またはネストされた畳み込みバリアントを定義します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{j,f}(n)&:=\underbrace {\left(f_{\pm }\ast f\ast \cdots \ast f\right)} _{j{\text{ times}}}(n)\\\operatorname {ds} _{j,f}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}f_{\pm }(n),&{\text{ if }}j=1;\\\sum \limits _{\stackrel {d\mid n}{d>1}}f(d)\operatorname {ds} _{j-1,f}(n/d),&{\text{ if }}j>1.\end{array}}\end{aligned}}}$

次の式の等価な和公式のペアによる関数は、任意の関数fのディリクレ逆関数と密接に関係している。^[8]${\displaystyle D_{f}(n)}$

${\displaystyle D_{f}(n):=\sum _{j=1}^{n}\operatorname {ds} _{2j,f}(n)=\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\sum _{i=0}^{2m-1}{\binom {2m-1}{i}}(-1)^{i+1}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{i+1,f}(n)}$

特に、^{[9]を証明することができます。}

${\displaystyle f^{-1}(n)=\left(D+{\frac {\varepsilon }{f(1)}}\right)(n).}$

のの値の表を以下に示します。この表は、関数fとそれ自身との可能なすべての多重k畳み込みの符号付き和としてのこの関数の意図された意味と解釈を明確に示しています。 ${\displaystyle D_{f}(n)}$${\displaystyle 2\leq n\leq 16}$

ここでpは分割関数（数論）である。すると、ディリクレ逆関数の別の表現は、上記の関数とq-ポッホハマー記号の係数で与えられ、^[8]で与えられる。${\displaystyle p_{k}(n):=p(n-k)}$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\left[(p_{k}\ast \mu )(n)+(p_{k}\ast D_{f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty }}{1-q}}.}$

• 要約
• ベルシリーズ
• 数学シリーズの一覧

• アポストル、T. (1976)。解析的数論入門。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-90163-9。
• 数学関数のデジタルライブラリ (DLMF)。NIST。2018年。 2018年4月24日閲覧。
• Tao, Terrence. 「ディリクレ畳み込み: 何が新しいのか?」