二重対数

数学において、二重対数（またはスペンス関数）はLi ₂ ( z )と表記され、多重対数の特殊なケースです。2 つの関連する特殊関数は、スペンス関数、つまり二重対数と呼ばれます。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C} }$

およびその反射。| z | < 1の場合、無限級数も適用されます（積分定義は複素平面への解析的拡張を構成します）。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

あるいは、二重対数関数は次のように定義されることもある。

${\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).}$

双曲幾何学では、二重対数を使って理想的な単体の体積を計算することができる。具体的には、頂点の複比が zである単体は双曲的体積を持つ。

${\displaystyle D(z)=\オペレータ名 {Im} \オペレータ名 {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.}$

関数D ( z )はブロッホ・ウィグナー関数と呼ばれることもあります。^[1] ロバチェフスキー関数とクラウゼン関数は密接に関連した関数です。

ウィリアム・スペンスは、この分野の初期の著者によってこの関数に名前が付けられた、19世紀初頭に活動したスコットランドの数学者です。^[2]彼はジョン・ゴールトと同級生で、^[3]ゴールトは後にスペンスの伝記エッセイを執筆しました。

上記の前者の定義を使用すると、二重対数関数は、 を除く複素平面上のあらゆる場所で解析的になります。 では、二重対数関数は対数分岐点を持ちます。 分岐点の標準的な選択は、正の実軸 に沿っています。 ただし、関数は分岐点で連続であり、値 を取ります。 ${\displaystyle z=1}$${\displaystyle (1,\infty )}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}$

${\displaystyle \オペレーター名 {Li} _{2}(z)+\オペレーター名 {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\オペレーター名 {Li} _{2}( z^{2}).}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {(\ln z)^{2}}{2}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln z\cdot \ln(1-z).}$^[4]反射式。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1).}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {(\ln(-z))^{2}}{2}}.}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {L} (z)+\operatorname {L} (y)=\operatorname {L} (xy)+\operatorname {L} ({\frac {x(1-y)}{1-xy}})+\operatorname {L} ({\frac {y(1-x)}{1-xy}})}$^{[6] [7]}アーベルの関数方程式または5項関係式。ここで はロジャースのL関数である（同様の関係式は量子二重対数によっても満たされる）${\displaystyle \operatorname {L} (x)={\frac {\pi }{6}}[\operatorname {Li} _{2}(z)+{\frac {1}{2}}\ln(z)\ln(1-z)]}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{3}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\cdot \ln 3-2(\ln 2)^{2}-{\frac {2}{3}}(\ln 3)^{2}.}$ ^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {9}{8}}\right)^{2}.}$^[5]

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.}$傾きは1です。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},}$ここで、リーマンゼータ関数です。${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

スペンス関数は、素粒子物理学において放射補正を計算するときによく使用されます。この文脈では、関数は対数内の絶対値で定義されることがよくあります。

${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}}$

• マークシュタイン数

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• NIST 数学関数デジタルライブラリ: 二重対数
• ワイスタイン、エリック・W.「二対数」。マスワールド。