確率生成関数

確率論において、離散確率変数の確率生成関数は、確率変数の確率質量関数のべき級数表現（生成関数）である。確率生成関数は、確率変数Xの確率質量関数における確率のシーケンス Pr( X = i )を簡潔に記述するため、および非負の係数を持つよく発達したべき級数理論を利用できるようにするためによく使用される。

Xが非負整数{ 0,1, ...}の値をとる離散確率変数である場合、Xの確率生成関数は次のように定義されます[ 1 ^]

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$

ここで、 はの確率質量関数です。下付き表記 および は、これらが特定のランダム変数およびその分布に関係することを強調するためによく使用されます。 べき級数は、を満たすすべての複素数に対して少なくとも絶対収束します。収束半径は、多くの場合、これよりも大きくなります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G_{X}}$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|<1}$

X = ( X ₁ ,..., X _d )がd次元非負整数格子{0,1, ...} ^dで値( x ₁ ,..., x _d )を取る離散確率変数である場合、Xの確率生成関数は次のように定義されます 。

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$

ここでpはXの確率質量関数である。冪級数は少なくともすべての複素ベクトルに対して絶対収束する。${\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}$${\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1.}$

確率生成関数は、非負の係数を持つべき級数の規則をすべて遵守します。特に、、ここで、x が より下から 1 に近づくと、確率の合計は 1 になるはずです。したがって、非負の係数を持つべき級数に対する アーベルの定理により、確率生成関数の収束半径は少なくとも 1 である必要があります。${\displaystyle G(1^{-})=1}$${\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}$

以下の特性により、 に関連するさまざまな基本量を導出できます。 ${\displaystyle X}$

1. の確率質量関数は、の導関数を取ることによって回復される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

   ${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$

2. 性質 1 から、ランダム変数と が等しい確率生成関数を持つ場合、となることがわかります。つまり、と が同一の確率生成関数を持つ場合、 と は同一の分布を持ちます。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G_{X}=G_{Y}}$${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
3. 確率質量関数の正規化は生成関数を用いて次のように表すことができる。

   ${\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1.}$

   の期待値は次のように与えられる。 ${\displaystyle X}$

   ${\displaystyle \operatorname {E} [X]=G'(1^{-}).}$

   より一般的には、の階乗モーメントは次のように与えられる。 ${\displaystyle k^{th}}$${\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\cdots (X-k+1)]}$${\displaystyle X}$

   ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(Xk)!}}\right]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}$

   したがって、の分散は次のように表される。 ${\displaystyle X}$

   ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.}$

   最後に、 Xの生のモーメントは次のように与えられる。 ${\displaystyle k^{th}}$

   ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}$

4. ${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$ここで、Xはランダム変数、は確率生成関数 ( )、はモーメント生成関数( )です。${\displaystyle G_{X}(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{X}(t)}$${\displaystyle X}$

確率生成関数は、独立したランダム変数の関数を扱う場合に特に便利です。例:

• が自然数値をとる独立した（必ずしも同一分布ではない）ランダム変数の列であり、${\displaystyle X_{i},i=1,2,\cdots,N}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}$

ここで、は定数の自然数であり、確率生成関数は次のように与えられる。${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}})}$。

• 特に、およびが独立した確率変数である場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(z)}$そして

${\displaystyle G_{XY}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(1/z)}$。

• 上記では、シーケンス内の独立したランダム変数の数は固定されています。は、 とは独立な非負整数上の値を取る離散ランダム変数であると仮定し、確率生成関数 を考えます。 が独立しているだけでなく、共通の確率生成関数 で同一に分布している場合、${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle G_{N}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle G_{X}=G_{X_{i}}}$

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}$

これは、総期待値の法則を使用すると次のようにわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).\end{aligned}}}$

この最後の事実は、ゴルトン・ワトソン過程と複合ポアソン過程の研究に役立ちます。

• が同一分布ではないと仮定した場合（ただし、独立であり、 から独立している）、${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{n\geq 1}f_{n}\prod _{i=1}^{n}G_{X_{i}}(z)}$、 どこ。${\displaystyle f_{n}=Pr(N=n)}$

同一分布のs の場合、これは前述の恒等式に簡略化されますが、一般的なケースでは、生成関数を使用して の分解を取得することが便利な場合があります。${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle S_{N}}$

• ほぼ確実に一定の確率変数、すなわちおよびの確率生成関数は、${\displaystyle Pr(X=c)=1}$${\displaystyle Pr(X\neq c)=0}$

${\displaystyle G(z)=z^{c}.}$

• 二項確率変数の確率生成関数、すなわち試行の成功回数と各試行の成功確率は、${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}$

注: これは、パラメータを持つベルヌーイ乱数変数の確率生成関数の -倍積です。${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

公平なコインの確率生成関数は、

${\displaystyle G(z)=1/2+z/2.}$

• 上の負の二項確率変数の確率生成関数は、各試行で成功する確率が である成功までの失敗回数であり、${\displaystyle \{0,1,2\cdots \}}$${\displaystyle r^{th]}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}}$となり、 に対して収束します。${\displaystyle |z|<{\frac {1}{1-p}}}$

これは、パラメータが の幾何ランダム変数の確率生成関数の 倍積であることに注意してください。${\displaystyle r}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle \{0,1,2,\cdots \}}$

• 速度パラメータを持つポアソン確率変数の確率生成関数は${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle G(z)=e^{\lambda (z-1)}.}$

確率生成関数は、数列の生成関数の一例です。形式的冪級数も参照してください。これは確率質量関数の z 変換と同等であり、そのように呼ばれることもあります。

ランダム変数の他の生成関数には、モーメント生成関数、特性関数、キュムラント生成関数などがあります。確率生成関数は、連続変数やその他のランダム変数についても考えることができる階乗モーメント生成関数と同等です。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[z^{X}\right]}$

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, AW (1993)単変量離散分布（第 2 版）。Wiley。ISBN 0-471-54897-9  (セクション 1.B9)