生成関数変換

母関数の逆数のべき級数、${\displaystyle F(z)}$は、によって展開されます。

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}z^{3}+\cdots .}$

もし私たちが許せば${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$逆母関数の展開における係数を とすると、次の漸化式が得られる。

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

させて${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$固定されていると仮定すると、${\displaystyle f_{0}=1}$、および${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$すると、次の級数展開が得られます。${\displaystyle F(z)^{m}}$によって与えられた

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{1}f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

そして係数${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$次の形式の漸化式を満たす

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

係数の別の式、${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$はベル多項式によって次のように展開される。

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}{\big (}f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots ,f_{n-k+1}\cdot (n-k+1)!{\big )}\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

どこ${\displaystyle (r)_{n}}$はポッホハンマーのシンボルを表します。

もし私たちが許せば${\displaystyle f_{0}=1}$そして定義する${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$すると、合成生成関数のべき級数展開は次のようになる。

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}z+{\frac {2f_{2}-f_{1}^{2}}{2}}z^{2}+{\frac {3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}}{3}}z^{3}+\dots }$

ここで係数は、${\displaystyle q_{n}}$前述の展開では、次の漸化式を満たす。

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

そして、ベル多項式によって展開された対応する式は、次の生成関数のべき級数係数の形で表されます。

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

させて${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$シーケンスのEGFを表す。${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$そして、${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$はシーケンスのEGFであり、${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$。ファ・ディ・ブルーノの公式は、次の順序を意味します。${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$合成によって生成された${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$は、指数ベル多項式を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

以下の積分公式があります。${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$これは、に関して用語ごとに適用できます。${\displaystyle z}$いつ${\displaystyle z}$は任意の形式的べき級数変数とみなされる: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

これらの積分公式の最初と最後は、これらの積分が収束する場合に、数列のEGFからOGFへの変換、および数列のOGFからEGFへの変換に使用されることに注意してください。

最初の積分公式は、母関数のラプラス変換（または形式的なラプラス・ボレル変換）に対応し、次のように表される。${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$^{は[ 7 ]}で定義されています。前述の2番目の式のガンマ関数の他の積分表現も、もちろん同様の積分変換を構築するために使用できます。このセクションですぐ下に示されている二重階乗関数の例の場合、特定の式が得られます。最後の積分式は、逆ガンマ関数のハンケルのループ積分をべき級数に項ごとに適用したものと比較されます。${\displaystyle F(z)}$。

分数積分と分数微分（メイン記事を参照）は、数列のOGFに適用して変換された数列の対応するOGFを形成できる、積分と微分演算の別の一般化されたクラスを形成します。${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$分数積分演算子（次数）を定義します${\displaystyle \alpha }$）積分変換^{[ 9 ]によって}

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

これは、次式で与えられる（形式的な）べき級数に対応する。

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

固定の場合${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$定義すると${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$演算子${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$さらに、固定の場合${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$整数${\displaystyle n}$満足${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$分数階微分の概念は、以下の性質を満たすものとして定義できる。

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

そして

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$のために${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

ここで、半群の性質は次のようになります。${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$のどれも${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$整数値です。

固定の場合${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$^{（ [ 10 ]}で定義されたニールセン一般化多対数関数の積分公式の特殊な場合と比較すると）^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

設定すると、${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$生成関数に関する積分、${\displaystyle G(z)}$最後の式では${\displaystyle z\equiv 1}$ディリクレ生成関数、またはDGFに対応します。${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$のシーケンスの${\displaystyle \{f_{n}\}}$ただし、積分が収束することが条件である。この種の多対数関連の積分変換は、次節で定義される導関数に基づくゼータ級数変換と関連している。

固定された非ゼロの場合${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$そのため${\displaystyle |q|<1}$そして${\displaystyle |cz|<1}$数列に関連付けられたいわゆる二乗級数生成関数に対して、次の積分表現が得られます。${\displaystyle \{f_{n}\}}$これは、に関して項ごとに積分することができる。${\displaystyle z}$: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

この結果は、上記の例として挙げた第2種スターリング数に対する二重階乗関数変換積分の変形から導かれるものであり、参考文献で証明されている。特に、

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

次のセクションで定義される、第2種スターリング数を含む正の階微分に基づくOGF変換の変形を使用して、数列の母関数の積分公式を取得できます。${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$そして、合計を実行します。${\displaystyle j^{th}}$形式的OGFの派生形、${\displaystyle F(z)}$前述の式で結果を得るには、ここで扱う等差数列生成関数を次のように表します。

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

各固定値に対して${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$。

一般に、2つの有理母関数のアダマール積はそれ自体が有理関数である。^{[ 14 ]}これは、有理母関数の係数が次の形式の準多項式項を形成することに着目することでわかる。

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

逆根は、${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$、は固定スカラーであり、${\displaystyle p_{i}(n)}$は多項式である${\displaystyle n}$すべての人々のために${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$例えば、2つの生成関数のアダマール積

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

そして

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

は有理母関数式^{[ 15 ]によって与えられる。}

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

一般化階乗関数の通常の生成関数は、一般化上昇階乗積関数、またはポッホハマーk記号の特殊な場合として形成され、次のように定義されます。

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

どこ${\displaystyle R}$固定されています、${\displaystyle \alpha \neq 0}$、 そして${\displaystyle (x)_{n}}$は、ポッホハマー記号を表し、参照文献^{[ 16 ]}で確立されたヤコビ型J分数（または連分数の特殊な形式）によって（少なくとも形式的には）生成されます。${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$を示す${\displaystyle h^{\text{th}}}$これらの無限連分数に収束し、その成分収束関数はすべての整数に対して定義される。${\displaystyle h\geq 2}$による

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$は関連するラゲール多項式を表すので、${\displaystyle h^{th}}$収束関数、${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$、製品シーケンスを正確に列挙します。${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$すべての${\displaystyle 0\leq n<2h}$.各${\displaystyle h\geq 2}$、${\displaystyle h^{th}}$収束関数は、ラゲール多項式の対になった逆数のみを含む有限和として展開され、

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

さらに、単一の階乗関数は両方とも${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$そして${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$次数までの近似有理収束生成関数を使用して、単一の階乗関数項を生成できます。${\displaystyle 2h}$この観察結果は、前節の積分表現で通常与えられる厳密な（形式的な）ラプラス・ボレル変換を、アダマール積または対角係数生成関数によって近似するアプローチを示唆している。特に、任意のOGFが与えられた場合、${\displaystyle G(z)}$近似ラプラス変換を形成できます。${\displaystyle 2h}$-次数精度、上記の対角係数抽出式により、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}$

有理収束関数によって提供される数列階関数乗数から生じるこれらの対角係数生成関数によって列挙される数列の例には、

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle I_{0}(z)}$は修正ベッセル関数を表します。${\displaystyle !n}$は部分階乗関数を表します。${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$は交代階乗関数を表し、${\displaystyle P_{n}(x)}$はルジャンドル多項式です。この記事で紹介されている、これらの有理アダマール積生成関数の応用によって列挙される数列の他の例としては、バーンズG関数、二重階乗関数を含む組み合わせ和、べき乗数列の和、および二項式数列などがあります。

固定の場合${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$配列OGFの場合、${\displaystyle F(z)}$もっている${\displaystyle j^{th}}$すべての必要な注文の派生${\displaystyle 1\leq j\leq k}$正の次数ゼータ級数変換は^{[ 17 ]}で与えられる。

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

どこ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$は第2種スターリング数を表す。特に、次の特殊な場合の恒等式が成り立つ。${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$いつ${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$は、1 次オイラー数の三角形を表します。^{[ 18 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

また、負の次数ゼータ級数変換も、上記の展開と同様の手順で展開できます。${\displaystyle j^{th}}$いくつかのの 階微分${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$そして、逆向きの無限かつ非三角形の一般化スターリング数、またはこの文脈で定義される第2種の一般化スターリング数。

特に、整数の場合${\displaystyle k,j\geq 0}$これらの第2種スターリング数の一般化されたクラスを次の式で定義する。

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

それから${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$また、一部のOGFは処方され、${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$つまり、高次の${\displaystyle j^{th}}$の派生${\displaystyle F(z)}$すべての人々のために存在する${\displaystyle j\geq 0}$我々はそれを持っている

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

最初のいくつかのゼータ系列変換係数の表、${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$以下に示します。これらの重み付き調和数展開は、展開における重み付き調和数項の先頭の符号を除いて、第1種スターリング数の既知の公式とほぼ同一です。

上記で定義した負次数級数変換のさらなる一般化は、よりフルヴィッツゼータ型、またはレルヒ超越型のような生成関数に関連している。具体的には、さらに一般的な第2種パラメータ付きスターリング数を次のように定義する。

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$、

ゼロ以外の場合${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$そのため${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$、そしていくつかの固定${\displaystyle k\geq 1}$我々はそれを持っている

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

さらに、任意の整数に対して${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$前述の式で与えられる完全な無限級数の部分級数近似は、次のようになる。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$