ベルシリーズ

数学において、ベル級数は算術関数の特性を研究するために使用される形式的な冪級数です。ベル級数はエリック・テンプル・ベルによって導入され、開発されました。

算術関数 と素数が与えられた場合、を法とするベル級数と呼ばれる正式な冪級数 を次のように定義します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

2 つの乗法関数は、そのベル級数がすべて等しい場合、同一であると示されます。これは一意性定理と呼ばれることもあります。乗法関数とが与えられた場合、 が成り立つのは、 の場合のみです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f=g}$

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$すべての素数に対して。${\displaystyle p}$

2 つの級数を掛け合わせることができます (乗法定理と呼ばれることもあります)。任意の 2 つの算術関数 と について、をそのディリクレ畳み込みとします。このとき、すべての素数 について、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h=f*g}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

特に、これにより、ディリクレ逆行列のベル級数を見つけることが簡単になります。

が完全に乗法である場合、正式には次のようになります。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

以下は、よく知られている算術関数のベル級数の表です。

• メビウス 関数は${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu_{p}(x)=1-x.}$
• メビウス関数の2乗は${\displaystyle \mu_{p}^{2}(x)=1+x.}$
• オイラーのトーティエント は${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• ディリクレ畳み込み の乗法恒等式は${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta_{p}(x)=1.}$
• リウヴィル 関数は${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• べき乗関数 Id _kは 、ここで、Id _kは完全な乗法関数です 。${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$
• 除数関数 は${\displaystyle \sigma_{k}}$${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{(1-p^{k}x)(1-x)}}.}$
• 値が 1 である定数関数は を満たします。つまり、 は等比級数です。${\displaystyle 1_{p}(x)=(1-x)^{-1}}$
• が素数オメガ関数のべき乗である場合、${\displaystyle f(n)=2^{\omega (n)}=\sum _{d|n}\mu ^{2}(d)}$${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1+x}{1-x}}.}$
• fが乗法関数で、gがすべての素数pとに対してを満たす算術関数であると仮定すると、${\displaystyle f(p^{n+1})=f(p)f(p^{n})-g(p)f(p^{n-1})}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle f_{p}(x)=\left(1-f(p)x+g(p)x^{2}\right)^{-1}.}$
• がk次のメビウス関数を表す場合、${\displaystyle \mu _{k}(n)=\sum _{d^{k}|n}\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d^{k}}}\right)\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d}}\right)}$${\displaystyle (\mu _{k})_{p}(x)={\frac {1-2x^{k}+x^{k+1}}{1-x}}.}$

• ベル番号

• アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001