パーティション関数（数学）

確率論、情報理論、力学系で用いられる分配関数あるいは配置積分は、統計力学における分配関数の定義を一般化したものである。これは、ボルツマン分布に対する確率論における正規化定数の特殊なケースである。分配関数は、自然対称性がある状況では、それに関連する確率測度であるギブス測度がマルコフ特性を持つため、確率論の多くの問題で出現する。つまり、分配関数は、並進対称性を持つ物理系だけでなく、ニューラルネットワーク（ホップフィールドネットワーク）や、マルコフネットワークやマルコフ論理ネットワークを用いるゲノミクス、コーパス言語学、人工知能などの応用分野など、さまざまな設定でも出現する。ギブス測度は、エネルギーの固定期待値に対してエントロピーを最大化する特性を持つ唯一の測度でもある。これが、最大エントロピー法やそこから派生したアルゴリズム における分配関数の出現の根底にある。

分割関数は、多くの異なる概念を結び付け、多くの異なる種類の量を計算できる一般的なフレームワークを提供します。特に、期待値とグリーン関数を計算する方法を示し、フレドホルム理論への架け橋を形成します。また、情報理論に対する情報幾何学的アプローチの自然な設定も提供します。情報幾何学では、フィッシャー情報計量は分割関数から導出された相関関数として理解でき、リーマン多様体を定義します。

ランダム変数の設定が、フビニ・スタディ計量で幾何化された複素射影空間または射影ヒルベルト空間上にある場合、量子力学の理論、より一般的には量子場の理論が成り立ちます。これらの理論では、経路積分定式化で分割関数が多用され、大きな成功を収めており、ここで検討したものとほぼ同じ式が多数得られています。ただし、基礎となる測度空間は、確率論の実数値単体とは異なり複素数値であるため、多くの式でiという余分な因子が出現します。この因子を追跡するのは面倒なため、ここでは行いません。この記事では、確率の合計が 1 になる古典的な確率論に主に焦点を当てています。

値をとるランダム変数 の集合と、ある種のポテンシャル関数またはハミルトニアンが与えられた場合、分配関数は次のように定義される。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots )}$

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}$

関数H は状態空間上の実数値関数であると理解され、一方 は実数値自由パラメータ（慣例的には温度の逆数）である。 の合計は、各ランダム変数が取り得るすべての可能な値の合計であると理解される。したがって、 が離散的ではなく連続的である 場合、合計は積分に置き換えられる。したがって、次のように書くことができる。${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\cdots \}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle Z(\beta )=\int \exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)\,dx_{1}\,dx_{2}\cdots }$

連続的に変化するケースの場合。 ${\displaystyle X_{i}}$

Hが有限次元行列や無限次元ヒルベルト空間演算子、 Cスター代数の要素などの観測可能なものである場合、その和をトレースとして表すのが一般的であり、

${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {tr} \left(\exp \left(-\beta H\right)\right)}$

Hが無限次元の場合、上記の表記法が有効であるためには、引数はトレースクラス、つまり和が存在し、かつ有界であるような形式でなければなりません。

変数の数は可算である必要はなく、その場合、和は関数積分に置き換えられます。関数積分には多くの表記法がありますが、一般的なものは次のとおりです。 ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-\beta H[\varphi ]\right)}$

量子場理論における分配関数もその例です。

パーティション関数に対する一般的な有用な変更は、補助関数を導入することです。これにより、たとえば、パーティション関数を相関関数の生成関数として使用できるようになります。これについては、以下で詳しく説明します。

パラメータの役割や意味は、さまざまな方法で理解できます。古典的な熱力学では、これは温度の逆数です。より一般的には、これはランダム変数の何らかの（任意の）関数に共役な変数であると言えます。ここでの共役という言葉は、ラグランジュ力学における共役な一般化座標の意味で使用されているため、正確にはラグランジュ乗数です。これは、一般化された力と呼ばれることも珍しくありません。これらすべての概念に共通するのは、1つの値は固定しておくべきであり、複雑な方法で相互接続された他の値は変化してもよいという考え方です。現在のケースでは、固定しておくべき値は の期待値であり、多くの異なる確率分布がまったく同じ（固定された）値を生じる 可能性があるにもかかわらずです。${\displaystyle \beta}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle H}$

一般的なケースでは、それぞれがランダム変数に依存する関数のセットを検討します。これらの関数は、何らかの理由で期待値を一定に保ちたい場合に選択されます。このように期待値を制限するには、ラグランジュ乗数法を適用します。一般的なケースでは、最大エントロピー法によってこれが実行される方法が示されます。 ${\displaystyle \{H_{k}(x_{1},\cdots )\}}$${\displaystyle X_{i}}$

具体的な例をいくつか挙げます。基本的な熱力学の問題では、正準集団 を使用する場合、パラメータを 1 つだけ使用することは、一定に保たれなければならない期待値が 1 つだけあるという事実を反映しています。それは、自由エネルギーです (エネルギー 保存則による)。化学反応を含む化学の問題では、グランド カノニカル集団 が適切な基礎を提供し、2 つのラグランジュ乗数があります。1 つはエネルギーを一定に保つためのもので、もう 1 つはフガシティ で、粒子数を一定に保つためのものです (化学反応では一定数の原子が再結合するため)。 ${\displaystyle \beta}$

一般的なケースでは、

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\sum _{k}\beta _{k}H_{k}(x_{i})\right)}$

空間内の点 。${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\beta _{2},\cdots )}$

観測可能な集合については次のように書く。 ${\displaystyle H_{k}}$

${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {tr} \left[\,\exp \left(-\sum _{k}\beta _{k}H_{k}\right)\right]}$

これまでと同様に、tr の引数はトレース クラスであると想定されます。

対応するギブス測度は、それぞれの期待値が固定値となるような確率分布を与える。より正確には、 ${\displaystyle H_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \beta _{k}}}\left(-\log Z\right)=\langle H_{k}\rangle =\mathrm {E} \left[H_{k}\right]}$

ここで、山括弧はの期待値を表し、 は一般的な代替表記法です。この期待値の正確な定義を以下に示します。 ${\displaystyle \langle H_{k}\rangle }$${\displaystyle H_{k}}$${\displaystyle \mathrm {E} [\;]}$

の値は一般に実数とみなされますが、一般には実数である必要はありません。これについては、以下の「正規化」のセクションで説明します。 の値は、空間内の点の座標として理解できます。この空間は、実際には、以下に示すように多様体です。これらの空間を多様体として研究することが、情報幾何学の分野を構成します。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$

ポテンシャル関数自体は、一般的に合計の形をとります。

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots )=\sum _{s}V(s)\,}$

ここで、 s上の和は、集合 のべき集合 P ( X )の何らかの部分集合上の和です。たとえば、統計力学、たとえばイジングモデルでは、和は最近傍のペア上の和です。確率論、たとえばマルコフネットワークでは、和はグラフのクリーク上の和である可能性があります。したがって、イジングモデルやその他の格子モデルでは、最大クリークはエッジです。 ${\displaystyle X=\lbrace x_{1},x_{2},\dots \rbrace }$

ポテンシャル関数が和​​として表せるという事実は、通常、並進不変性などの群対称性の作用下で不変であるという事実を反映しています。このような対称性は離散的または連続的であり、ランダム変数の相関関数で実現されます（以下で説明します）。したがって、ハミルトニアンの対称性は相関関数の対称性になります（逆も同様です）。

この対称性は確率論において極めて重要な解釈を持ちます。つまり、ギブス測度がマルコフ特性を持つことを意味します。つまり、ギブス測度は特定の方法でランダム変数から独立している、または同等に、測度は対称性の同値類上で同一です。これにより、ホップフィールドネットワークなどのマルコフ特性を持つ問題でパーティション関数が広く使用されるようになります。

表現の価値

${\displaystyle \exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}$

は、システム内で特定の値の構成が発生する可能性として解釈できます。したがって、特定の構成が与えられた場合、 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}$

は、システムで発生する構成の確率であり、 、およびすべての構成の合計が 1 になるように適切に正規化されています。このように、分割関数は、確率空間上の測度(確率測度)を提供すると理解できます。正式には、ギブス測度と呼ばれます。これは、統計力学における グランドカノニカルアンサンブルとカノニカルアンサンブルのより狭い概念を一般化します。${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$${\displaystyle 0\leq P(x_{1},x_{2},\dots )\leq 1}$

確率が最大となる構成が少なくとも 1 つ存在します。この構成は慣例的に基底状態と呼ばれます。構成が一意である場合、基底状態は非退化 であるとされ、システムはエルゴード的であると言われます。それ以外の場合、基底状態は退化です。基底状態は、対称性の生成元と交換する場合も交換しない場合もあります。交換する場合は、不変測度であると言われます。交換しない場合は、対称性が自発的に破れていると言われます。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$

基底状態が存在し、それが唯一である条件は、カルシュ・キューン・タッカー条件によって与えられます。これらの条件は、最大エントロピー問題におけるギブス測度の使用を正当化するためによく使用されます。^[要出典]

が取る値は、ランダム フィールドが変化する数学的空間に依存します。したがって、実数値のランダム フィールドは単体上の値を取ります。これは、確率の合計が 1 になる必要があることを幾何学的に表したものです。量子力学では、ランダム変数は複素射影空間(または複素数値の射影ヒルベルト空間) 上の値を取り、ここでランダム変数は確率振幅として解釈されます。ここでは、振幅が 1 に正規化されているため、射影という語に重点が置かれています。ポテンシャル関数の正規化は、適切な数学的空間のヤコビアンです。通常の確率の場合は 1、ヒルベルト空間の場合はiです。したがって、量子場の理論では、ではなく指数関数 で が見られます。分配関数は、量子場の理論の経路積分定式化で非常に頻繁に利用され、大きな効果を上げています。この違いと、通常は一般的な方法ではなく 4 次元時空で定式化されるという事実を除けば、そこでの理論はここで提示されている理論とほぼ同一です。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle itH}$${\displaystyle \beta H}$

分配関数は、ランダム変数のさまざまな関数の期待値を生成する確率関数としてよく使用されます。たとえば、調整可能なパラメータとして をとると 、 の導関数は${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \log(Z(\beta ))}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \mathbf {E} [H]=\langle H\rangle =-{\frac {\partial \log(Z(\beta ))}{\partial \beta }}}$

Hの平均（期待値）を与えます。物理学では、これはシステムの 平均エネルギーと呼ばれます。

上記の確率測度の定義から、確率変数Xの任意の関数fの期待値は、予想どおりに記述できる。つまり、離散値Xについては、次のように記述できる 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\rangle &=\sum _{x_{i}}f(x_{1},x_{2},\dots )P(x_{1},x_{2},\dots )\\&={\frac {1}{Z(\beta )}}\sum _{x_{i}}f(x_{1},x_{2},\dots )\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)\end{aligned}}}$

上記の表記は、有限個の離散ランダム変数に対しては厳密に正しいが、連続変数に対してはいくぶん「非公式」であるとみなすべきである。適切には、上記の合計は、確率空間を定義するために使用される基礎となるシグマ代数の表記法に置き換えられるべきである。そうは言っても、測度空間上で適切に定式化されると、恒等式は引き続き保持される。

例えば、エントロピーは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=-k_{B}\langle \ln P\rangle \\&=-k_{B}\sum _{x_{i}}P(x_{1},x_{2},\dots )\ln P(x_{1},x_{2},\dots )\\&=k_{B}(\beta \langle H\rangle +\log Z(\beta ))\end{aligned}}}$

ギブス測度は、エネルギーの固定期待値に対してエントロピーを最大化する唯一の統計分布であり、これが最大エントロピー法での使用の基礎となっています。

点は空間、具体的には多様体を形成すると理解できます。したがって、この多様体の構造について尋ねるのは合理的であり、これが情報幾何学の課題です。 ${\displaystyle \beta }$

ラグランジュ乗数に関する多重導関数は、半正定値の共分散行列を生じる。

${\displaystyle g_{ij}(\beta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{i}\partial \beta ^{j}}}\left(-\log Z(\beta )\right)=\langle \left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\rangle \right)\rangle }$

この行列は半正定値であり、計量テンソル、具体的にはリーマン計量として解釈できます。このようにラグランジュ乗数空間に計量を備えると、リーマン多様体 になります。^{[1]このような多様体の研究は}情報幾何学 と呼ばれ、上記の計量はフィッシャー情報計量です。ここで、 は多様体上の座標として機能します。上記の定義を、その元となったより単純なフィッシャー情報と比較すると興味深いものです。 ${\displaystyle \beta }$

上記がフィッシャー情報測定基準を定義していることは、期待値を明示的に代入することで容易にわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}(\beta )&=\langle \left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\rangle \right)\rangle \\&=\sum _{x}P(x)\left(H_{i}-\langle H_{i}\rangle \right)\left(H_{j}-\langle H_{j}\rangle \right)\\&=\sum _{x}P(x)\left(H_{i}+{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta _{i}}}\right)\left(H_{j}+{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta _{j}}}\right)\\&=\sum _{x}P(x){\frac {\partial \log P(x)}{\partial \beta ^{i}}}{\frac {\partial \log P(x)}{\partial \beta ^{j}}}\\\end{aligned}}}$

ここで、について書き、その和はすべてのランダム変数のすべての値について行われるものと理解されています。連続値ランダム変数の場合、もちろん、和は積分に置き換えられます。 ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots )}$${\displaystyle X_{k}}$

興味深いことに、フィッシャー情報計量も、変数を適切に変更すれば、フラットスペースユークリッド計量として理解することができます。これは、フィッシャー情報計量に関する主要記事で説明されています。が複素数値の場合、結果として得られる計量はフビニ・スタディ計量です。純粋状態ではなく混合状態の観点から記述された場合、それはビュール計量として知られています。 ${\displaystyle \beta }$

分割関数に人工的な補助関数を導入することで、ランダム変数の期待値を得ることができます。例えば、次のように書くと、 ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,J)&=Z(\beta ,J_{1},J_{2},\dots )\\&=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )+\sum _{n}J_{n}x_{n}\right)\end{aligned}}}$

すると

${\displaystyle \mathbf {E} [x_{k}]=\langle x_{k}\rangle =\left.{\frac {\partial }{\partial J_{k}}}\log Z(\beta ,J)\right|_{J=0}}$

の期待値として。量子場の理論の経路積分定式化では、これらの補助関数は一般にソースフィールドと呼ばれます。 ${\displaystyle x_{k}}$

多重微分により、ランダム変数の相関関数が結びつきます。したがって、変数との間の相関関数は次のように表されます。 ${\displaystyle C(x_{j},x_{k})}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle C(x_{j},x_{k})=\left.{\frac {\partial }{\partial J_{j}}}{\frac {\partial }{\partial J_{k}}}\log Z(\beta ,J)\right|_{J=0}}$

Hが微分演算子を含む2次形式として書ける場合、つまり、

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{n}x_{n}Dx_{n}}$

すると、分配関数はガウス分布の和または積分として理解できます。相関関数は微分演算子のグリーン関数として理解できます(一般にフレドホルム理論を生じます)。量子場理論の設定では、このような関数はプロパゲーターと呼ばれます。高次の相関関数は n 点関数と呼ばれ、これらを操作することで理論の 有効作用が定義されます。${\displaystyle C(x_{j},x_{k})}$

ランダム変数が反可換グラスマン数である場合、分割関数は演算子Dの行列式として表現できます。これは、ベレジン積分（グラスマン積分とも呼ばれる） として記述することによって行われます。

分割関数は、臨界スケーリング、普遍性について議論するために使用され、繰り込み群の対象となります。

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