ランバートシリーズ

数学において、ランベルト級数（ランベルトしゅうすい、英: Lambert series）は、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトにちなんで名付けられた、次の形式をとる 級数である。

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}$

分母を展開することで 正式に要約することができます。

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

ここで、新しい級数の係数は定数関数1( n )= _1によるnのディリクレ畳み込みによって与えられる。

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}$

この級数はメビウスの反転公式によって反転することができ、メビウス変換の一例である。

この最後の和は典型的な数論的和なので、ほとんどすべての自然な乗法関数はランバート級数で正確に合計できる。したがって、例えば、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

ここで、 は数 nの正の約数の個数です。 ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$

高次の約数和関数については、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

は任意の複素数であり、 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

は除数関数である。特に、 に対して、得られるランバート級数は ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}$

これは、分割数に対する通常の生成関数の対数微分（ の係数まで）である。${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}$

前述の恒等式に関連する追加のランベルト級数には、 以下に示すメビウス関数の変種に対するものが含まれる。${\displaystyle \mu (n)}$

^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

メビウス関数上の関連するランベルト級数には、任意の素数に対する次の恒等式が含まれます。 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}=q-2q^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.}$ ^[要出典]

上記の最初の恒等式の証明は、次の形式のこれらのランバート級数生成関数の多区分（または二区分）恒等式から導かれます。ここで、 は 算術関数fのランバート級数生成関数であると示します。 ${\displaystyle L_{f}(q):=q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}}$

オイラーのトーティエント関数 の場合: ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

フォン・マンゴルト関数 の場合: ${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}$

リウヴィル関数 の場合: ${\displaystyle \lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}$

右側の合計はラマヌジャンのシータ関数、またはヤコビのシータ関数に似ています。a n_が三角関数であるランバート級数、たとえばa _n = sin(2 n x ) は、ヤコビのシータ関数の対数導関数のさまざまな組み合わせによって評価できることに注意してください。 ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ 

一般的に言えば、正の自然数に対するべき乗の特性関数 を で表し、一般化されたm-リウヴィルのラムダ関数 を を満たす算術関数 と定義することで、前述の生成関数の展開を拡張することができます。 のこの定義は であることを明確に意味し、それは次のことを示しています。 ${\displaystyle \chi _{m}(n)}$${\displaystyle m^{th}}$${\displaystyle n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle m>2}$${\displaystyle \chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)}$${\displaystyle \lambda _{m}(n)}$${\displaystyle \lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.}$

また、もう少し一般化されたランバート級数展開は、次の形式の 平方和関数を生成する ^。[3]${\displaystyle r_{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}$

一般に、算術関数を生成するランバート級数を と書くと、次の関数のペアは、そのランバート級数生成関数によって表現される他のよく知られた畳み込みに対応する。 ${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle g(m)=(f\ast 1)(m)}$

${\displaystyle (f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),}$

ここで、はディリクレ畳み込みの乗法恒等関数、はべき乗の恒等関数、は平方の特性関数を表し、の異なる素因数の個数を数えます(素数オメガ関数を参照)、はジョルダンのトーティエント関数、 は除数関数です(ディリクレ畳み込み を参照)。 ${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$${\displaystyle k^{th}}$${\displaystyle \chi _{\operatorname {sq} }}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J_{t}}$${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}$

和において文字qを慣例的に使用する方法は歴史的なもので、楕円曲線とシータ関数の理論におけるその起源をnomeとして参照しています。

1つを代入すると、この数列の別の一般的な形式が得られる。 ${\displaystyle q=e^{-z}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

どこ

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,}$

前と同じです。 を伴うこの形式のランベルト級数の例は、奇数の整数値に対するリーマンゼータ関数の式に現れます。詳細についてはゼータ定数を参照してください。 ${\displaystyle z=2\pi }$

文献では、ランバート級数がさまざまな和に適用されていることが分かる。例えば、は多重対数関数なので、次の形式の和を参照することができる。 ${\displaystyle q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}}$

パラメータが適切に制限されていると仮定すると、ランバート級数として表される。

${\displaystyle 12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),}$

単位円上にないすべての複素数qに対して成り立つこの等式は、ランバート級数の恒等式と見なされます。この恒等式は、インドの数学者S. ラマヌジャンによって発表されたいくつかの恒等式から直接導かれます。ラマヌジャンの著作の非常に徹底した研究は、ブルース・ベルントの著作で見つけることができます。

2017年から2018年にかけて最近発表されたやや新しい構成は、いわゆるランバート級数分解定理に関するもので、次のような形式となっている^[4]。

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},}$

ここで、 は、を偶数個（それぞれ奇数個）の異なる部分に分割した場合のの数を表す制限分割関数のそれぞれの和または差です。 は、最初のいくつかの値が下の表に示されている可逆な下三角列を表します。 ${\displaystyle s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=[q^{n}](\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}}$${\displaystyle s_{e/o}(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}}$

ランバート級数分解定理展開のもう一つの特徴的な形は^{[5]で与えられる。}

${\displaystyle L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}$

ここで、 は（無限）q-ポッホハマー記号である。前の式の右辺の可逆行列積は、その下三角要素が分割関数とメビウス関数の約数 和で与えられる逆行列積に対応する。${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

次の表は、これらの対応する逆行列の最初の数行を示しています。^[6]

を五角数列とすると、五角数定理は次の形に展開される。 ${\displaystyle G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil }$

${\displaystyle (q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.}$

すると、の列を生成する任意のランバート級数に対して、上で拡張された因数分解定理の対応する逆関係が^{[7]で与えられる。}${\displaystyle L_{f}(q)}$${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).}$

ランバート級数分解定理に関するこの研究は、^[8]でより一般的な展開に 拡張され、

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},}$

ここで、は任意の（分割関連の）逆数生成関数、は任意の算術関数、そして、修正された係数は次のように展開される。 ${\displaystyle C(q)}$${\displaystyle \gamma (n)}$

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).}$

上記の展開における対応する逆行列は、

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}[q^{d-k}]{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),}$

すると、上記のランベルト因数分解定理の最初の変形と同様に、次の式の右辺の係数について反転関係が得られる。

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times [q^{k}]\left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).}$

このセクションでは、自然数に対して次の関数を定義します。 ${\displaystyle n,x\geq 1}$

${\displaystyle g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).}$

また、前節の表記法を採用し、

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$

ここで は無限のq-ポッホハマー記号です。すると、これらの関数と^[7]で証明された五角数を含む次の再帰関係が得られます。${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).}$

ランバート級数の微分は、級数を について項ごとに微分することで得られる。任意のランバート級数の項ごとの微分に対して、次の恒等式が成り立つ^{[9] [10]}${\displaystyle q}$${\displaystyle s^{th}}$${\displaystyle s\geq 1}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{r=0}^{s}\left[\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},}$

ここで、前の式における括弧で囲まれた三角係数は、第1種および第2種のスターリング数を表します。また、前の展開に暗黙的に含まれる項の個々の係数を抽出するための次の恒等式も得られます。

${\displaystyle [q^{n}]\left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.}$

ここで、任意の関数を次のように定義すると 、${\displaystyle A_{t}(n)}$${\displaystyle n,t\geq 1}$

${\displaystyle A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left[{\begin{matrix}t\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left[t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{r+1}}\right\rfloor \right]_{\delta },}$

ここで、はアイバーソンの慣性を表す。ランバート級数の微分係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle [\cdot ]_{\delta }}$${\displaystyle t^{th}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{t}(n)&=[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)\\&=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

もちろん、形式的な冪級数上の演算のみによる典型的な議論によれば、

${\displaystyle [q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq 1}{\frac {f(i)q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).}$

• エルデシュ・ボルヴァイン定数
• 算術関数
• ディリクレ畳み込み

• ベリー、マイケル V. (2010)。数論の関数。ケンブリッジ大学出版局。pp. 637–641。ISBN 978-0-521-19225-5。
• ランバート、プレストン A. (1904)。「特異点における代数関数の展開」。Proc . Am. Philos. Soc . 43 (176): 164–172. JSTOR  983503。
• アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• 「ランバート級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「ランバート・シリーズ」。マスワールド。
• Schmidt, Maxie Dion (2020-04-06). 「興味深く有用なランバート級数恒等式のカタログ」. arXiv : 2004.02976 [math.NT].