スターリング変換

組合せ 数学において、数列{ a _n  : n = 1, 2, 3, ... }のスターリング変換は、次式で与えられる数列{ b _n  : n = 1, 2, 3, ... }で ある。

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}a_{k}}$、

ここで、は第二種スターリング数であり、これはサイズの集合を部分に分割する数です。これは線形シーケンス変換です。 ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

逆変換は

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{nk}\left[{n \atop k}\right]b_{k}}$、

ここで、は第一種符号付きスターリング数であり、符号なし は循環を持つ要素上の順列の数として定義できます。 ${\textstyle (-1)^{nk}\left[{n \atop k}\right]}$${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Berstein と Sloane (下記引用) は、「a _nが、あるクラス内の点に 1、2、...、nのラベルが付けられたオブジェクトの数(すべてのラベルが別個、つまり通常のラベル付き構造) である場合、b _{n は}、点に 1、2、...、nのラベルが付けられたオブジェクトの数(繰り返しが許可される) である」と述べています。

もし

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}$

は形式的な冪級数であり、

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}$

上と同じa _nとb _nの場合、

${\displaystyle g(x)=f(e^{x}-1)}$。

同様に、逆変換により生成関数の恒等式 が得られる。

${\displaystyle f(x)=g(\log(1+x))}$。

• 二項変換
• 生成関数変換
• 階乗と二項式のトピックのリスト

• Bernstein, M.; Sloane, NJA (1995). 「整数のいくつかの標準シーケンス」.線形代数とその応用. 226/228: 57–72. arXiv : math/0205301 . doi :10.1016/0024-3795(94)00245-9. S2CID  14672360.。
• Khristo N. Boyadzhiev、「二項変換に関する注記、理論と表、およびスターリング変換の付録」 (2018)、World Scientific。