差分多項式

数学において、複素解析の分野では、一般差分多項式は多項式列であり、シェファー多項式の特定の部分クラスであり、ニュートン多項式、セルバーグ多項式、スターリング補間多項式は特殊な場合として含まれる。

一般差分多項式列は次のように表される。

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}$

どこ${\displaystyle {z \choose n}}$は二項係数です。${\displaystyle \beta =0}$生成された多項式${\displaystyle p_{n}(z)}$ニュートン多項式は

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.}$

のケース${\displaystyle \beta =1}$セルバーグの多項式を生成し、${\displaystyle \beta =-1/2}$スターリング補間多項式を生成します。

解析関数が与えられた場合${\displaystyle f(z)}$fの移動差分を次のように定義する。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

どこ${\displaystyle \Delta }$は前方差分演算子です。そして、 f がある総和条件を満たす場合、f はこれらの多項式を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}$

この数列の総和可能性（すなわち収束性）の条件はかなり複雑な問題です。一般に、必要条件としては解析関数が指数型未満であることが挙げられます。総和可能性の条件については、Boas & Buck で詳しく解説されています。

一般差分多項式の母関数は次のように与えられる。

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

この生成関数は、一般化されたアペル表現の形式に変換することができる。

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

設定することで${\displaystyle A(w)=1}$、$\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$、${\displaystyle g(w)=t}$そして${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$。

• カールソンの定理
• 第2種ベルヌーイ多項式

• ラルフ・P・ボアス・ジュニアおよびR・クレイトン・バック著、『解析関数の多項式展開（第2版、訂正版）』（1964年）、アカデミック・プレス社（ニューヨーク）、シュプリンガー・フェルラーク社（ベルリン）。米国議会図書館カード番号63-23263。