q差多項式

組合せ 数学において、q差分多項式またはq調和多項式は、 q微分によって定義される多項式列です。これらはブレンケ多項式の一般化されたタイプであり、アペル多項式を一般化したものです。シェファー列も参照してください。

q差多項式は次の関係を満たす。

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}p_{n}(z)={\frac {p_{n}(qz)-p_{n}(z)}{qz-z}}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}p_{n-1}(z)=[n]_{q}p_{n-1}(z)}$

ここで、左側の微分記号はq微分です。 の極限では、これはAppell多項式の定義になります。 ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}p_{n}(z)=np_{n-1}(z).}$

これらの多項式の一般化された生成関数は、ブレンケ多項式の生成関数と同じ型であり、すなわち

${\displaystyle A(w)e_{q}(zw)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(z)}{[n]_{q}!} }w^{n}}$

ここでq指数は次のようになります。 ${\displaystyle e_{q}(t)}$

${\displaystyle e_{q}(t)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$

ここで、はq階乗であり、 ${\displaystyle [n]_{q}!}$

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

はq-ポッホハマー記号である。関数は任意であるが、展開を持つと仮定される。 ${\displaystyle A(w)}$

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}{\mbox{ ただし }}a_{0}\neq 0.}$

このようなものはいずれもq 差分多項式のシーケンスを与えます。 ${\displaystyle A(w)}$

• A. Sharma と AM Chak、「多項式のクラスの基本的な類似物」、Riv. Mat. Univ. Parma、5 (1954) 325–337。
• Ralph P. Boas, Jr. および R. Creighton Buck、「解析関数の多項式展開 (第 2 刷訂正版)」、(1964) Academic Press Inc.、Publishers New York、Springer-Verlag、ベルリン。米国議会図書館カード番号 63-23263。(収束について非常に簡潔に説明しています。)