解析的組合せ論（書籍）

『解析的組合せ論』は、生成関数と複素解析を使用して組合せオブジェクトの数の増加率を理解する、組合せ列挙の数学に関する本です。フィリップ・フラジョレとロバート・セジウィックによって書かれ、 2009年にケンブリッジ大学出版局から出版されました。2019年にルロイ・P・スティール賞を受賞しました。

本書の主要部分は 3 つの部分に分かれています。第 1 部は 3 つの章から成り、本書の約 4 分の 1 を占め、組合せ論における記号的手法について扱っています。この手法では、組合せオブジェクトのクラスがその構造を記述する式に関連付けられ、それらの式が再解釈されてクラスの生成関数または指数生成関数が生成されます^{[1] [2]} 。場合によっては、再解釈プロセスの一部としてラグランジュの反転定理などのツールが使用されます^[2] 。この部分の章では、ラベルなしオブジェクトの列挙、ラベル付きオブジェクトの列挙、および多変量生成関数に資料が分割されています^{[2] [3] 。}

本書の第 2 部の 5 つの章は、本文の約半分^[3]を占め、「本書の核心」^[1]であり、複素解析のツールを生成関数に適用して、組み合わせクラス内のオブジェクトの数の漸近性を理解することに関するものです。 ^[3]特に、十分に振る舞いの良い生成関数の場合、コーシーの積分公式を使用して、生成関数からべき級数の係数 (実際の研究対象) を復元でき、関数の特異点に関する知識を使用して、結果として得られる積分の正確な推定値を導き出すことができます。^{[1]導入章と、}有理関数と有理型関数の可能な動作の例を示す章の後、この部分の残りの章では、関数の特異点を使用してそのべき級数の漸近動作を分析する方法、この方法を多数の組み合わせ例に適用する方法、およびいくつかのより複雑な例を処理するための等高線積分の鞍点法について学習します。^{[1] [3]}

最後の部分では、同じツールボックスを使用して、構造の総数ではなく、ランダムな組み合わせ構造の挙動を調査します。興味のある組み合わせ量の期待値を超えて、これらの量の極限定理と大偏差理論も研究します。3つの付録では、複素解析と確率論における組み合わせ論と漸近論の背景を説明します。^[3]

本書で取り上げる組み合わせ構造は、シーケンス、形式言語、整数分割と合成、順列、グラフとグラフ内のパス、格子パスなど多岐にわたります。これらのトピックにより、本書の分析は、抽象代数、数論、アルゴリズムの分析など、他の分野への応用につながります。^{[2] [4]}

解析的組合せ論は、本来は教科書ではありません。例えば、演習はありません。^[4]それでも、上級学部の選択科目、^[5]大学院のコース、^[4]またはセミナー^[3]の教科書として使用できます。ただし、レビュー担当者のミクローシュ・ボナは、「3 学期分以上の十分な内容が含まれている」ため、ある程度の選択が必要であると書いています。^[2]また、この分野の研究者にとって参考書としても使用できます。^[3]

評論家のトゥフィク・マンスールは、この本を「包括的な理論的扱い」であるだけでなく「興味深い読み物」と評している。^[3]評論家のクリストファー・ハヌサは、「文章のスタイルは魅力的で、主題は現代的で魅力的」であり、「組合せ論を学んでいる人や組合せ論に取り組んでいる人」にこの本を勧めている。^[4]

解析的組合せ論は、 2019年にアメリカ数学会の数学解説に対するリロイ・P・スティール賞を受賞した（フラジョレの死後受賞）。受賞の辞典では、この本を「組合せ数学と古典解析学の深い接点を示す、権威があり非常に分かりやすい主題の概要」と評している。 ^[5]組合せ論における解析的手法の応用は、少なくともGHハーディとシュリニヴァーサ・ラマヌジャンの分配関数に関する研究にまで遡るが、^{[1]受賞の辞典では、ロビン・ペマントルによる「これは、}解析的組合せ論というサブフィールドの出現を示す書籍の1つである」という書評も引用されている。^{[1] [5]} 同様に、ボナは「解析的組合せ論は今や定義された。著者らはそれに関する本を書いた」と結論付けている。^[2]

• 解析的組合せ論の著者ウェブサイト（書籍の全文ダウンロード可能）