第一種スターリング数

第1種スターリング数は係数である${\displaystyle s(n,k)}$下降階乗の展開において

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$

変数のべき乗に${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k},}$

例えば、${\displaystyle (x)_{3}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x}$価値につながる${\displaystyle s(3,3)=1}$、${\displaystyle s(3,2)=-3}$、 そして${\displaystyle s(3,1)=2}$空製品の慣例により、${\displaystyle (x)_{0}=1}$そのため${\displaystyle s(0,0)=1}$。

符号なしスターリング数は、上昇階乗の係数として代数的に定義することもできます。

${\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)\cdots (x+n-1)=\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]x^{k}}$。

このページで使用されているスターリング数の表記は普遍的なものではなく、他の資料の表記と矛盾する場合があります。角括弧表記${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$はガウス係数の一般的な表記法でもある。^{[ 2 ]}

その後、絶対値が${\displaystyle |s(n,k)|}$これらの数のうち、特定の種類の順列の数に等しいものがあります。これらの絶対値は、第1種の符号なしスターリング数として知られており、しばしば次のように表記されます。${\displaystyle c(n,k)}$または${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$これらは、順列の数として直接定義できます。${\displaystyle n}$要素${\displaystyle k}$互いに素なサイクル。^{[ 1 ]}

例えば、${\displaystyle 3!=6}$3つの要素の順列のうち、3つのサイクルを持つ順列が1つあります（恒等順列、1行表記では次のようになります）。${\displaystyle 123}$またはサイクル表記では${\displaystyle (1)(2)(3)}$）、2つのサイクルを持つ3つの順列（${\displaystyle 132=(1)(23)}$、${\displaystyle 213=(12)(3)}$、 そして${\displaystyle 321=(13)(2)}$）と1サイクルの2つの順列（${\displaystyle 312=(132)}$そして${\displaystyle 231=(123)}$）。 したがって${\displaystyle \left[{3 \atop 3}\right]=1}$、${\displaystyle \left[{3 \atop 2}\right]=3,}$そして${\displaystyle \left[{3 \atop 1}\right]=2}$これらは、以前の代数計算と一致することがわかります。${\displaystyle s(n,k)}$のために${\displaystyle n=3}$。

別の例として、右の画像は、${\displaystyle \left[{4 \atop 2}\right]=11}$: 4 つのオブジェクト上の対称群には、次の形式の 3 つの順列があります。

${\displaystyle (\bullet \bullet )(\bullet \bullet )}$（2つの軌道を持ち、それぞれのサイズは2）

そして、次の形式の8つの順列

${\displaystyle (\bullet \bullet \bullet )(\bullet )}$（サイズ3の軌道が1つとサイズ1の軌道が1つある）。

これらの数値は、軌道を共役類とみなすことで計算できます。アルフレッド・レーニは、符号なし第一種スターリング数が ${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$サイズ順列の数もカウントします${\displaystyle n}$と${\displaystyle k}$左から右への最大値。^{[ 3 ]}

第一種符号付きスターリング数の符号は、n − kの偶奇性のみに依存します。

${\displaystyle s(n,k)=(-1)^{nk}\left[{n \atop k}\right].}$

クロネッカーデルタを用いると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{n \atop 0}\right]&=\delta _{n0}=\delta _{n}\\\left[{0 \atop k}\right]&=0,k>0;&&\left[{n \atop k}\right]=0,k>n\\\left[{n \atop 1}\right]&=(n-1)!\\\left[{n \atop n}\right]&=1\\\left[{n \atop n-1}\right]&={n \choose 2}\\\left[{n \atop n-2}\right]&={\frac {3n-1}{4}}{n \choose 3}\\\left[{n \atop n-3}\right]&={n \choose 2}{n \choose 4}\\\end{aligned}}}$$

スターリング数に関する同様の関係は、ベルヌーイ多項式にも当てはまります。スターリング数に関する多くの関係は、二項係数に関する同様の関係を暗示しています。これらの「暗示関係」の研究は、陰影計算と呼ばれ、シェファー数列の理論で頂点に達します。これらの三角形とスターリング畳み込み多項式の関係を通じて、両方の種類のスターリング数を任意の複素数値入力に一般化することができます。^{[ 4 ]}

上記の組み合わせ論的証明はすべて、二項式または多項式のいずれかを使用していることに注意してください。${\displaystyle n}$。

したがって、${\displaystyle p}$素数である場合、次のようになります。

${\displaystyle p\ |\left[{p \atop k}\right]}$のために${\displaystyle 1<k<p}$。

スターリング数は根が 0, 1, ..., n − 1である多項式の係数であるため、ヴィエタの公式により次の式が得られる。

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-k\end{matrix}}\right]=\sum _{0\leq i_{1}<\ldots <i_{k}<n}i_{1}i_{2}\cdots i_{k}.}$$

言い換えれば、第一種スターリング数は、0, 1, ..., n − 1で評価された基本対称多項式で与えられる。^{[ 5 ]} この形式では、上記の単純な恒等式は次の形式をとる。

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}i={\binom {n}{2}},}$$$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{i-1}ij={\frac {3n-1}{4}}{\binom {n}{3}},}$$$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{i-1}\sum _{k=0}^{j-1}ijk={\binom {n}{2}}{\binom {n}{4}},}$$ 等々。

代数的な操作を少し加えた同様のアプローチで、第一種スターリング数の別の形式を生成することができる。

$${\displaystyle (x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(n-1)!\cdot (x+1)\left({\frac {x}{2}}+1\right)\cdots \left({\frac {x}{n-1}}+1\right),}$$

ニュートンの公式から、第一種スターリング数を一般化調和数で展開できることがわかる。これにより、次のような恒等式が得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{n \atop 2}\right]&=(n-1)!\;H_{n-1}\\\left[{n \atop 3}\right]&={\frac {(n-1)!}{2}}\left(H_{n-1}^{2}-H_{n-1,2}\right)\\\left[{n \atop 4}\right]&={\frac {(n-1)!}{6}}\left(H_{n-1}\left(H_{n-1}^{2}-3H_{n-1,2}\right)+2H_{n-1,3}\right)\\\end{aligned}}}$$

ここで、H _nは調和数である。${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}$また、H _{n , m} = H _n ^{( m )}は一般化調和数である。 $${\displaystyle H_{n}^{(m)}=H_{n,m}={\frac {1}{1^{m}}}+{\frac {1}{2^{m}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{m}}}.}$$

これらの関係は一般化して、 $${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\left[{\begin{matrix}n\\k+1\end{matrix}}\right]=\sum _{i_{1}=1}^{n-1}\sum _{i_{2}=i_{1}+1}^{n-1}\cdots \sum _{i_{k}=i_{k-1}+1}^{n-1}{\frac {1}{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}={\frac {w(n,k)}{k!}}}$$ ここで、w ( n , m )は、一般化された調和数に関して再帰的に定義される。 $${\displaystyle w(n,m)=\delta _{m,0}+\sum _{k=0}^{m-1}(1-m)_{k}H_{n-1}^{(k+1)}w(n,m-1-k).}$$ （ここでδはクロネッカーデルタ関数であり、${\displaystyle (m)_{k}}$はポッホハンマー記号です。) ^{[ 6 ]}

固定の場合${\displaystyle n\geq 0}$これらの重み付き調和数展開は生成関数によって生成される。

$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=[x^{k}]\exp \left(\sum _{m\geq 1}{\frac {(-1)^{m-1}H_{n}^{(m)}}{m}}x^{m}\right),}$$

表記法${\displaystyle [x^{k}]}$係数の抽出を意味する${\displaystyle x^{k}}$以下の形式的冪級数から（非指数ベル多項式および^{[ 7 ]}のセクション3を参照）。

より一般的には、第一種スターリング数のこれらの重み付き調和数展開に関連する和は、生成関数の一般化ゼータ級数変換によって定義できる。^{[ 8 ] [ 9 ]}

また、これらのスターリング数の関係を「反転」させることもできます。${\displaystyle k}$-次数の調和数を、第1種スターリング数を含む項の重み付き和で表す。たとえば、${\displaystyle k=2,3}$2次および3次の高調波数は次のように与えられる。

$${\displaystyle (n!)^{2}\cdot H_{n}^{(2)}=\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]^{2}-2\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right]}$$

$${\displaystyle (n!)^{3}\cdot H_{n}^{(3)}=\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]^{3}-3\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right]+3\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]^{2}\left[{\begin{matrix}n+1\\4\end{matrix}}\right].}$$

より一般的には、スターリング数に関して展開されたベル多項式生成関数を逆算することができる。${\displaystyle m}$整数に対して調和数を求めるために調和数を順序付ける${\displaystyle m\geq 2}$

$${\displaystyle H_{n}^{(m)}=-m\times [x^{m}]\log \left(1+\sum _{k\geq 1}\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]{\frac {(-x)^{k}}{n!}}\right).}$$

順列はサイクルの数によって分割されるため、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!}$

アイデンティティ

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]u^{k}=n!{\binom {n+u-1}{u-1}},\,u>0}$

そして

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}{\left[{n \atop j}\right]{\binom {j}{k}}}=\left[{n+1 \atop k+1}\right]}$

スターリング数と指数生成関数#第一種のスターリング数と二項係数#通常の生成関数の手法によって証明できます 。

『Concrete Mathematics』の6.1節の表には、スターリング数を含む有限和の一般化された形式が多数掲載されている。この記事に関連するいくつかの特定の有限和には、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{n \atop m}\right]&=\sum _{k=m}^{n}\left[{n+1 \atop k+1}\right]{\binom {k}{m}}(-1)^{m-k}\\\left[{n+1 \atop m+1}\right]&=\sum _{k=m}^{n}\left[{k \atop m}\right]{\frac {n!}{k!}}\\\left[{m+n+1 \atop m}\right]&=\sum _{k=0}^{m}(n+k)\left[{n+k \atop k}\right]\\\left[{n \atop l+m}\right]{\binom {l+m}{l}}&=\sum _{k}\left[{k \atop l}\right]\left[{n-k \atop m}\right]{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

さらに、 2次オイラー数を三角形の漸化式^{[ 10 ]}で定義すると、

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle +(2n-1-k)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle \!\!\right\rangle ,}$

スターリング畳み込み多項式の形式に関連する以下の恒等式が得られ、これを用いてスターリング数三角形を任意の実数値または複素数値の入力値に一般化することができる。${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \left[{x \atop x-n}\right]=\sum _{k=0}^{n}\left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle {\binom {x+k}{2n}}.}$

前述の恒等式の特定の展開により、最初のいくつかの小さな値に対する第1種スターリング数を展開する次の恒等式が得られます。${\displaystyle n:=1,2,3}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}x\\x-1\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{2}}\\\left[{\begin{matrix}x\\x-2\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{4}}+2{\binom {x+1}{4}}\\\left[{\begin{matrix}x\\x-3\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{6}}+8{\binom {x+1}{6}}+6{\binom {x+2}{6}}.\end{aligned}}}$

スターリング数とオイラー数を含む有限和を扱うためのソフトウェアツールは、MathematicaのRISC Stirling.m パッケージユーティリティによって提供されています。スターリング数やその他の特殊な三角形を含む数列 (および多項式数列の和) の公式を推測するための他のソフトウェアパッケージは、 MathematicaとSage の両方で、それぞれこちらとこちらで入手できます。^{[ 11 ]}

以下の合同式は、生成関数に基づくアプローチによって証明できます。^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&\equiv {\binom {\lfloor n/2\rfloor }{m-\lceil n/2\rceil }}=[x^{m}]\left(x^{\lceil n/2\rceil }(x+1)^{\lfloor n/2\rfloor }\right)&&{\pmod {2}},\end{aligned}}}$

単一の階乗関数と一般化された階乗関連積を生成するヤコビ型J分数を提供する最近の結果は、第一種スターリング数に関する他の新しい合同結果につながる。^{[ 13 ]} 例えば、モジュロ演算では${\displaystyle 2}$私たちはそれを証明できます

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]&\equiv {\frac {2^{n}}{4}}[n\geq 2]+[n=1]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right]&\equiv {\frac {3\cdot 2^{n}}{16}}(n-1)[n\geq 3]+[n=2]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right]&\equiv 2^{n-7}(9n-20)(n-1)[n\geq 4]+[n=3]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\4\end{matrix}}\right]&\equiv 2^{n-9}(3n-10)(3n-7)(n-1)[n\geq 5]+[n=4]&&{\pmod {2}}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle [b]}$アイバーソンのブラケットは です。

そしてモジュールとして動作する${\displaystyle 3}$同様に証明できるのは

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&\equiv [x^{m}](x^{\lceil n/3\rceil }(x+1)^{\lceil (n-1)/3\rceil }(x+2)^{\lfloor n/3\rfloor }&&{\pmod {3}}\\&\equiv \sum _{k=0}^{m}{\binom {\lceil (n-1)/3\rceil }{k}}{\binom {\lfloor n/3\rfloor }{m-k-\lfloor n/3\rfloor }}2^{\lceil n/3\rceil +\lfloor n/3\rfloor -m+k}&&{\pmod {3}}\end{aligned}}}$

より一般的には、固定された整数に対して${\displaystyle h\geq 3}$順序付き根を定義する場合

${\displaystyle \left(\omega _{h,i}\right)_{i=1}^{h-1}:=\left\{\omega _{j}:\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {h-1}{i}}{\frac {h!}{(i+1)!}}(-\omega _{j})^{i}=0,\ 1\leq j<h\right\},}$

次に、係数として定義されるこれらのスターリング数の合同式を展開することができます。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]=[R^{m}]R(R+1)\cdots (R+n-1),}$

以下の形式で関数、${\displaystyle p_{h,i}^{[m]}(n)}$、 は次数が固定された多項式を表す${\displaystyle m}$で${\displaystyle n}$各${\displaystyle h}$、${\displaystyle m}$、 そして${\displaystyle i}$:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]=\left(\sum _{i=0}^{h-1}p_{h,i}^{[m]}(n)\times \omega _{h,i}^{n}\right)[n>m]+[n=m]\qquad {\pmod {h}},}$

上記の参考文献のセクション6.2では、これらの合同式に関連するより明示的な展開が提供されています。${\displaystyle r}$-次調和数および一般化階乗積については、${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )}$。

生成関数を操作することによって、さまざまな恒等式を導き出すことができます（基底変換を参照）。

${\displaystyle H(z,u)=(1+z)^{u}=\sum _{n=0}^{\infty }{u \choose n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}s(n,k)u^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }u^{k}\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}s(n,k).}$

等号を使用する

${\displaystyle (1+z)^{u}=e^{u\log(1+z)}=\sum _{k=0}^{\infty }(\log(1+z))^{k}{\frac {u^{k}}{k!}},}$

したがって、

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }s(n,k){\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {(\log(1+z))^{k}}{k!}}}$

そして

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left[{n \atop k}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {(-\log(1-z))^{k}}{k!}}.}$^{[ 1 ]}

この恒等式は形式的冪級数に対して有効であり、 | z | < 1の場合、和は複素平面で収束する。

その他の恒等式は、総和の順序を入れ替えたり、微分したり、zやuを置換したりすることによって得られます。たとえば、次のように導出できます。^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {\log ^{m}(1+z)}{1+z}}=m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {s(k+1,m+1)\,z^{k}}{k!}},\qquad m=1,2,3,\ldots \quad |z|<1}$

または

${\displaystyle \sum _{n=i}^{\infty }{\frac {\left[{n \atop i}\right]}{n\,(n!)}}=\zeta (i+1),\qquad i=1,2,3,\ldots }$

そして

${\displaystyle \sum _{n=i}^{\infty }{\frac {\left[{n \atop i}\right]}{n\,(v)_{n}}}=\zeta (i+1,v),\qquad i=1,2,3,\ldots \quad \Re (v)>0}$

どこ${\displaystyle \zeta (k)}$そして${\displaystyle \zeta (k,v)}$それぞれリーマンゼータ関数とフルヴィッツゼータ関数であり、この積分を評価することもできます。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log ^{z}(1-x)}{x^{k}}}\,dx={\frac {(-1)^{z}\Gamma (z+1)}{(k-1)!}}\sum _{r=1}^{k-1}s(k-1,r)\sum _{m=0}^{r}{\binom {r}{m}}(k-2)^{r-m}\zeta (z+1-m),\qquad \Re (z)>k-1,\quad k=3,4,5,\ldots }$

どこ${\displaystyle \Gamma (z)}$はガンマ関数です。スターリング数を含むゼータ関数には、より複雑な表現も存在します。例えば、次のようになります。

${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{l=0}^{n+k-1}\!(-1)^{l}{\binom {n+k-1}{l}}(l+v)^{k-s},\quad k=1,2,3,\ldots }$

この級数は、Hurwitz ゼータ関数に対するHasseの級数を一般化したものです ( k = 1と設定することで Hasse の級数が得られます)。 ^{[ 15 ] [ 16 ]}

オイラーのガンマ定数で表した次の推定値が適用されます。^{[ 17 ]}

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n!}{k!}}\left(\gamma +\ln n\right)^{k},\ {\text{ uniformly for }}k=o(\ln n).}$

固定の場合${\displaystyle n}$以下のような見積もりがあります 。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right]{\underset {k\to \infty }{\sim }}{\frac {k^{2n}}{2^{n}n!}}.}$

現在、第一種スターリング数に対する一項式の公式は知られていない。二項式の公式は、スターリング数の対称公式のいずれかと、第二種スターリング数の明示的な公式を組み合わせることによって得られる。

${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=\sum _{j=n}^{2n-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\sum _{m=0}^{j-n}{\frac {(-1)^{m+n-k}m^{j-k}}{m!(j-n-m)!}}}$

先に述べたように、ヴィエタの公式によれば、$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=\sum _{0\leq i_{1}<\ldots <i_{n-k}<n}i_{1}i_{2}\cdots i_{n-k}.}$$スターリング数s(n,np) は式^{[ 18 ]から求めることができます。}

${\displaystyle {\begin{aligned}s(n,n-p)&={\frac {1}{(n-p-1)!}}\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{p}:\sum _{1}^{p}mk_{m}=p}(-1)^{K}{\frac {(n+K-1)!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{p}!~2!^{k_{1}}3!^{k_{2}}\cdots (p+1)!^{k_{p}}}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle K=k_{1}+\cdots +k_{p}.}$この和は、 pのすべての分割 に関する和です。

これらのスターリング数に対する別の正確な入れ子和展開は、係数に対応する基本対称多項式によって計算されます。${\displaystyle x}$製品の形式${\displaystyle (1+c_{1}x)\cdots (1+c_{n-1}x)}$特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{n \atop k+1}\right]&=[x^{k}](x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(n-1)!\cdot [x^{k}](x+1)\left({\frac {x}{2}}+1\right)\cdots \left({\frac {x}{n-1}}+1\right)\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}<n}{\frac {(n-1)!}{i_{1}\cdots i_{k}}}.\end{aligned}}}$

ニュートンの恒等式と上記の展開を組み合わせることで、既に上で述べた一般化された調和数を含む重み付き展開の別の証明を与えることができる。

自然対数のμ乗のn階微分には、符号付き第1種スターリング数が含まれる。

${\displaystyle {\operatorname {d} ^{n}\!(\ln x)^{\mu } \over \operatorname {d} \!x^{n}}=x^{-n}\sum _{k=1}^{n}\mu ^{\underline {k}}s(n,n-k+1)(\ln x)^{\mu -k},}$

どこ${\displaystyle \mu ^{\underline {i}}}$は下降階乗であり、${\displaystyle s(n,n-k+1)}$これは符号付きスターリング数です。

数学的帰納法を用いることで証明できる。

第1種のスターリング数は、グレゴリー係数の公式とベル数を含む有限和恒等式に現れる^{[ 19 ]。}

${\displaystyle n!G_{n}=\sum _{l=0}^{n}{\frac {s(n,l)}{l+1}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}k^{n-j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right]B_{n+i}(-1)^{k-i}}$

スターリング数を含む有限和を含む無限級数は、しばしば特殊関数につながる。例えば^{[ 14 ] [ 20 ]}

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{l=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\!{\frac {(-1)^{l}(2l)!}{(2\pi z)^{2l+1}}}\left[{n \atop 2l+1}\right]}$

そして

${\displaystyle \Psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{\pi z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{l=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\!{\frac {(-1)^{l}(2l+1)!}{(2\pi z)^{2l+1}}}\left[{n \atop 2l+1}\right]}$

あるいは

${\displaystyle \gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+{\frac {(-1)^{m}m!}{\pi }}\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}}{(2\pi )^{2k+1}}}\left[{2k+2 \atop m+1}\right]\left[{n \atop 2k+1}\right]\,}$

ここで、γ _mはスティルチェス定数であり、δ _{m ,0は}クロネッカーのデルタ関数を表します。

この最後の恒等式は、ポリ対数関数、上述のスターリング数指数生成関数、および一般化ニールセンポリ対数関数のスターリング数に基づくべき級数の間の関係を直ちに示唆することに注目してください。