数値流体力学

数値流体力学( CFD ) は流体力学の一分野であり、数値解析とデータ構造を使用して流体の流れに伴う問題を解析および解決します。コンピュータは、流体の自由流と、流体 (液体および気体) と境界条件によって定義された表面との相互作用をシミュレートするために必要な計算を実行するために使用されます。高速スーパーコンピュータを使用すると、より優れたソリューションを実現できますが、これは、最大かつ最も複雑な問題を解決するために必要となることがよくあります。進行中の研究により、遷音速流や乱流などの複雑なシミュレーション シナリオの精度と速度を向上させるソフトウェアが生まれています。このようなソフトウェアの初期検証は、通常、風洞などの実験装置を使用して行われます。さらに、特定の問題に対して以前に実行された分析的または経験的分析を比較に使用できます。最終的な検証は、飛行テストなどの実物大のテストを使用して実行されることがよくあります。

CFD は、航空力学および航空宇宙分析、極超音速、気象シミュレーション、自然科学および環境工学、産業システムの設計と分析、生物工学、流体の流れと熱伝達、エンジンと燃焼の分析、映画やゲームの視覚効果など、多くの研究分野と産業における幅広い研究およびエンジニアリングの問題に適用されます。

ほぼすべての CFD の問題の基本的な基礎は、多くの単相 (気体または液体、両方ではない) 流体の流れを定義するナビエ - ストークス方程式です。これらの方程式は、粘性作用を記述する項を削除して簡略化することができ、オイラー方程式になります。さらに簡略化して、渦度を記述する項を削除すると、完全なポテンシャル方程式が得られます。最後に、亜音速および超音速の流れ (遷音速または極超音速ではない)の小さな摂動に対して、これらの方程式を線形化して、線形化ポテンシャル方程式を得ることができます。

歴史的に、線形ポテンシャル方程式を解くために最初に開発された方法は、円筒周りの流れを翼周りの流れに等角変換する2次元（2D）法であり、 1930年代に開発されました。^{[1] [2]}

現代の CFD に似た最も初期の計算方法の 1 つは、ルイス・フライ・リチャードソンによる計算です。この計算では有限差分を使用し、物理空間をセルに分割しました。この計算は劇的に失敗しましたが、リチャードソンの著書「数値プロセスによる天気予報」 ^[3]とともに、現代の CFD と数値気象学の基礎を築きました。実際、1940 年代のENIAC を使用した初期の CFD 計算では、リチャードソンの 1922 年の著書に近い方法が使用されていました。^[4]

利用可能なコンピュータの処理能力の増大により、3次元手法の開発が加速しました。ナビエ・ストークス方程式に支配される流体の流れをコンピュータでモデル化した最初の研究は、おそらくロスアラモス国立研究所のT3グループで行われました。^{[5] [6]}このグループは、CFDの先駆者の一人として広く知られているフランシス・H・ハーロウが率いていました。1957年から1960年代後半にかけて、このグループは、粒子インセル法、^[7]流体インセル法、 ^[8]渦度流れ関数法、^[9]マーカーアンド セル法など、非定常2次元流体の流れをシミュレートするさまざまな数値手法を開発しました。^[10]フロムの2Dの非定常非圧縮性流れに対する渦度流れ関数法は、強くねじれた非圧縮性流れを扱った世界初の方法でした。

3次元モデルを用いた最初の論文は、1967年にダグラス・エアクラフト社のジョン・ヘスとAMO・スミスによって発表されました。 ^[11]この方法は、ジオメトリの表面をパネルで離散化し、このクラスのプログラムがパネル法と呼ばれるようになりました。彼らの方法自体は、揚力流を含まないという点で単純化されていたため、主に船体と航空機の胴体に適用されました。最初のリフティングパネルコード（A230）は、1968年にボーイング・エアクラフト社のポール・ラバートとゲイリー・サーリスが書いた論文で説明されました。^[12] やがて、より高度な3次元パネルコードがボーイング（PANAIR、A502）、^[13]ロッキード（Quadpan）、^[14]ダグラス（HESS）、^[15]マクドネル・エアクラフト（MACAERO）、^[16] NASA（PMARC）^[17]および解析手法（WBAERO、^[18] USAERO ^[19]およびVSAERO ^{[20] [21]}）で開発されました。一部（PANAIR、HESS、およびMACAERO）は高次のコードで、表面特異点の高次の分布を使用し、その他（Quadpan、PMARC、USAERO、およびVSAERO）は各表面パネルに単一の特異点を使用しました。低次のコードの利点は、当時のコンピュータではるかに高速に実行できることでした。今日、VSAEROはマルチオーダーコードに成長し、このクラスで最も広く使用されているプログラムです。多くの潜水艦、水上艦、自動車、ヘリコプター、航空機、そして最近では風力タービンの開発に使用されています。その姉妹コードであるUSAEROは非定常パネル法であり、高速列車やレーシングヨットなどのモデリングにも使用されています。VSAEROの初期バージョンからのNASA PMARCコードと、PMARCの派生コードであるCMARC ^[22]も市販されています。

2次元領域では、翼の解析と設計のために数多くのパネルコードが開発されている。これらのコードには通常、境界層解析が組み込まれており、粘性効果をモデル化できる。Richard Eppler  [de]は、NASA の資金援助も受けて PROFILE コードを開発し、1980 年代初頭に利用可能になった。^[23] その後すぐに、Mark DrelaのXFOILコードが登場した。^{[24] PROFILE と XFOIL はどちらも 2 次元パネルコードと、翼解析作業用の結合境界層コードを組み込んでいる。PROFILE は逆翼設計に}等角変換法を使用するが、XFOIL は翼設計に等角変換法と逆パネル法の両方を備えている。

パネルコードとフルポテンシャルコードの中間段階として、遷音速小擾乱方程式を使用するコードがありました。特に、1980年代初頭にグラマン・エアクラフト社のチャーリー・ボッペが開発した3次元WIBCOコード^[25]は広く利用されてきました。

開発者たちは、パネル法では遷音速で存在する非線形流を計算できなかったため、フルポテンシャルコードに目を向けました。フルポテンシャル方程式を使用する方法の最初の説明は、1970年にボーイング社のアール・マーマンとジュリアン・コールによって発表されました。 ^[26]ニューヨーク大学（NYU）のクーラント研究所のフランシス・バウアー、ポール・ガラベディアン、およびデビッド・コーンは、広く使用される2次元フルポテンシャル翼型コードシリーズを書きましたが、その中で最も重要なのはプログラムHと名付けられました。^[27] プログラムHのさらなる発展は、グラマン・エアロスペース社のボブ・メルニックと彼のグループによってグラムフォイルとして開発されました。^[28]元グラマン・エアクラフト社とニューヨーク大学クーラント研究所に在籍していたアントニー・ジェイムソンは、デイビッド・コーギーと共同で、1975年に重要な3次元フルポテンシャルコードFLO22 ^{[29]を開発しました。その後、多くのフルポテンシャルコードが登場し、最終的にボーイング社のトランエア（A633）コード[30]}が開発されました。このコードは現在でも頻繁に使用されています。

次のステップはオイラー方程式であり、これは遷音速流のより正確な解を与えることが期待された。ジェイムソンが3次元FLO57コード^[31] (1981)で使用した方法論は、ロッキード社のTEAMプログラム^[32]やIAI/Analytical MethodsのMGAEROプログラム^{[33]などのプログラムの作成に使用された。MGAEROは構造化}直交メッシュコードであるという点 でユニークであるが、他のほとんどのコードは構造化ボディフィットグリッドを使用している（NASAの非常に成功したCART3Dコード^[34] 、ロッキード社のSPLITFLOWコード^[35]、ジョージア工科大学のNASCART-GTを除く）。 ^[36] アントニー・ジェイムソンは、非構造化四面体グリッドを使用する 3次元AIRPLANEコード^{[37]も開発している。}

2次元の世界では、当時MITの大学院生だったマーク・ドレラとマイケル・ジャイルズが、翼型設計と解析のためのISESオイラープログラム^[38]（実際には一連のプログラム）を開発しました。このコードは1986年に初めて利用可能になり、単一要素または複数要素の翼型を設計、解析、最適化するためにMSESプログラム^[39]としてさらに開発されました 。MSESは世界中で広く使用されています。MSESの派生プログラムで、カスケード内の翼型を設計および解析するためのものがMISES ^[40]で、 MITの大学院生だったハロルド・ヤングレンによって開発されました。

ナビエ・ストークス方程式が開発の最終目標でした。NASA エイムズの ARC2D コードなどの 2 次元コードが最初に登場しました。多数の 3 次元コードが開発され (ARC3D、OVERFLOW、CFL3D は NASA の 3 つの成功した貢献)、多数の商用パッケージにつながりました。

最近、CFD法は、工学におけるさまざまな化学プロセスにおける粒状物質の流動挙動をモデル化するために注目を集めています。このアプローチは、従来の実験方法に関連する費用を最小限に抑えながら、複雑な流動現象の微妙な理解を提供する、費用対効果の高い代替手段として登場しました。^{[41] [42]}

CFD は、流体の流れを支配する方程式を解くために使用される計算方法論のグループ（後述）と見なすことができます。CFD の適用において、重要なステップは、手元の問題に対してどの物理的仮定と関連方程式のセットを使用する必要があるかを決定することです。^[43]このステップを説明するために、単相（多相流および二相流を参照）、単一種（つまり、1 つの化学種で構成されている）、非反応性、および（特に断りのない限り）圧縮性の流れの方程式で採用される物理的仮定/簡略化を次にまとめます。熱放射は無視され、重力による体積力が考慮されます（特に断りのない限り）。さらに、このタイプの流れについては、次の説明で CFD で解く流れ方程式の階層に焦点を当てます。次の方程式のいくつかは、複数の方法で導出できることに注意してください。

• 保存則(CL): これらは、CFD で考慮される最も基本的な方程式であり、たとえば、次のすべての方程式はこれらから導き出すことができます。単相、単種の圧縮性流れの場合、質量の保存、線形運動量の保存、およびエネルギーの保存が考慮されます。
• 連続体保存則 (CCL): CL から始めます。質量、運動量、エネルギーは局所的に保存されると仮定します。これらの量は保存され、ある場所から別の場所へ「テレポート」することはできず、連続的な流れによってのみ移動できます (連続方程式を参照)。別の解釈では、CL から始めて連続媒体を想定することです (連続体力学を参照)。結果として得られる方程式系は閉じられていません。これは、これを解くために、(a) 粘性応力テンソルの構成関係、(b) 拡散熱流束の構成関係、(c)理想気体の法則などの状態方程式(EOS)、および (d)エンタルピーや内部エネルギーなどの量と温度を関連付ける熱量状態方程式という、さらなる関係/方程式が必要になるためです。
• 圧縮性ナビエ・ストークス方程式（C-NS）：CCLから始めます。ニュートン粘性応力テンソル（ニュートン流体を参照）とフーリエ熱流束（熱流束を参照）を仮定します。^{[44] [45]} C-NSは、閉じた方程式系にするためにEOSと熱量EOSで拡張する必要があります。
• 非圧縮ナビエ・ストークス方程式 (I-NS): C-NS から始めます。密度は常にどこでも一定であると仮定します。^[46] I-NS を得る別の方法は、マッハ数が非常に小さいと仮定することです^{[46] [45]}また、流体の温度差も非常に小さいと仮定します。^[45] その結果、質量保存方程式と運動量保存方程式はエネルギー保存方程式から切り離されるため、最初の 2 つの方程式を解くだけで済みます。^[45]
• 圧縮性オイラー方程式（EE）：C-NSから始める。拡散熱流束のない摩擦のない流れを仮定する。^[47]
• 弱圧縮性ナビエ・ストークス方程式 (WC-NS): C-NS から始めます。密度の変化は圧力ではなく温度にのみ依存すると仮定します。^[48]たとえば、理想気体の場合、 を使用します。ここで、 は常にどこでも一定である便宜的に定義された基準圧力、は密度、は特定のガス定数、は温度です。結果として、WC-NS は音波を捉えません。また、WC-NS では、エネルギー保存方程式の圧力仕事項と粘性加熱項を無視することが一般的です。WC-NS は、低マッハ数近似による C-NS とも呼ばれます。${\displaystyle \rho =p_{0}/(RT)}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$
• ブシネスク方程式：C-NSから始めます。運動量保存方程式の重力項（密度が重力加速度を乗じる）を除いて、密度の変化は常にどこでも無視できると仮定します。^{[49]また、}粘度、熱伝導率、熱容量などのさまざまな流体特性は常にどこでも一定であると仮定します。ブシネスク方程式は、ミクロスケールの気象学で広く使用されています。
• 圧縮性レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式と圧縮性ファーブル平均ナビエ・ストークス方程式 (C-RANS と C-FANS): C-NS から始めます。密度、速度、圧力などの任意の流れ変数 は と表せるものとします。ここで は任意の流れ変数のアンサンブル平均^[45]であり、 はこの平均からの摂動または変動です。^{[45] [50]}は必ずしも小さいとは限りません。 が古典的なアンサンブル平均 (レイノルズ分解を参照) である場合、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式が得られます。 が密度加重アンサンブル平均である場合、 はファーブル平均ナビエ・ストークス方程式が得られます。^[50] その結果、レイノルズ数に応じて、運動のスケールの範囲が大幅に縮小され、C-NSを解く場合に比べてはるかに高速な解が得られます。ただし、情報は失われ、結果として得られる方程式系では、レイノルズ応力など、さまざまな閉じていない項を閉じる必要があります。${\displaystyle f}$${\displaystyle f=F+f''}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$
• 理想流れ方程式またはポテンシャル流れ方程式：EEから始めます。流体粒子の回転はゼロ（渦度はゼロ）で、流れの膨張はゼロ（発散はゼロ）と仮定します。^[45] 結果として生じる流れ場は、幾何学的境界によって完全に決定されます。^[45] 理想流れは、現代のCFDでシミュレーションを初期化するのに役立ちます。
• 線形圧縮性オイラー方程式（LEE）：^[51] EEから始めます。密度、速度、圧力などの任意の流れ変数は と表すことができると仮定します。ここで、 はある基準または基本状態での流れ変数の値であり、 はこの状態からの摂動または変動です。さらに、この摂動はある基準値と比較して非常に小さいと仮定します。最後に、 はEEなどの「独自の」方程式を満たしていると仮定します。LEEとその多くのバリエーションは、計算航空音響学で広く使用されています。${\displaystyle f}$${\displaystyle f=f_{0}+f'}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f_{0}}$
• 音波方程式：LEEから始めます。とのすべての勾配を無視し、基準状態または基本状態でのマッハ数は非常に小さいと仮定します。^[48] 結果として得られる密度、運動量、エネルギーの方程式は圧力方程式に操作することができ、よく知られている音波方程式が得られます。${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f'}$
• 浅水方程式(SW): 壁面近くの流れを考えます。壁面と平行な長さスケールが壁面と垂直な長さスケールよりはるかに大きい場合です。EE から始めます。密度は常にどこでも一定であると仮定し、壁に垂直な速度成分を無視し、壁に平行な速度は空間的に一定であると見なします。
• 境界層方程式（BL）：圧縮性（非圧縮性）境界層についてはC-NS（I-NS）から始める。壁の横には薄い領域があり、壁に対して垂直な空間勾配が壁に平行な空間勾配よりもはるかに大きいと仮定する。^[49]
• ベルヌーイの方程式：EEから始める。密度の変化は圧力の変化のみに依存すると仮定する。^[49]ベルヌーイの原理 を参照。
• 定常ベルヌーイ方程式：ベルヌーイ方程式から始めて、定常流を仮定します。^[49] または、EEから始めて、流れが定常であると仮定し、結果として得られる方程式を流線に沿って積分します。^{[47] [46]}
• ストークス流またはクリーピングフロー方程式：C-NSまたはI-NSから始めます。流れの慣性は無視します。^{[45] [46]このような仮定は、}レイノルズ数が非常に低い 場合に正当化されます。その結果、結果として得られる方程式のセットは線形になり、解法が大幅に簡素化されます。
• 2次元チャネル流れ方程式：2枚の無限平行板間の流れを考えます。C-NSから始めます。流れは定常で、2次元で、完全に発達している（つまり、速度プロファイルが流れ方向に沿って変化しない）と仮定します。^[45] この広く使用されている完全に発達した仮定は、圧縮可能なマイクロチャネルの流れなど、場合によっては不十分な場合があることに注意してください。その場合は、局所的に完全に発達した仮定に置き換えることができます。^[52]
• 1次元オイラー方程式または1次元気体力学方程式（1D-EE）：EEから始める。すべての流量は1つの空間次元のみに依存すると仮定する。^[53]
• ファンノ流れ方程式: 一定面積と断熱壁を持つダクト内の流れを考えます。1D-EE から始めます。定常流、重力の影響なしを仮定し、運動量保存方程式に壁面摩擦の影響 (EE では無視) を回復するための経験項を導入します。ファンノ流れ方程式を閉じるには、この摩擦項のモデルが必要です。このような閉じ方には、問題に依存する仮定が含まれます。^[54]
• レイリー流れ方程式。面積が一定で、体積熱源のない非断熱壁または体積熱源のある断熱壁があるダクト内の流れを考えます。1D-EE から始めます。流れが安定していて重力の影響がないと仮定し、エネルギー保存方程式に経験項を導入して、壁の熱伝達の影響または熱源の影響 (EE では無視されます) を回復します。

これらすべてのアプローチでは、同じ基本的な手順に従います。

• 前処理中
  • 問題の形状と物理的境界は、コンピュータ支援設計 (CAD) を使用して定義できます。そこから、データを適切に処理 (クリーンアップ) し、流体ボリューム (または流体領域) を抽出できます。
  • 流体が占める体積は、個別のセル (メッシュ) に分割されます。メッシュは、均一または不均一、構造化または非構造化のいずれの場合もあり、六面体、四面体、角柱、ピラミッド、または多面体の要素の組み合わせで構成されます。
  • 物理モデルが定義される - 例えば、流体運動+エンタルピー+放射+種の保存の方程式
  • 境界条件が定義されます。これには、流体領域のすべての境界面における流体の挙動と特性の指定が含まれます。過渡問題の場合、初期条件も定義されます。
• シミュレーションが開始され、方程式は定常状態または過渡状態として反復的に解かれます。
• 最後に、ポストプロセッサを使用して、結果として得られたソリューションの分析と視覚化が行われます。

選択された離散化の安定性は、単純な線形問題の場合のように解析的にではなく、一般的に数値的に確立されます。離散化が不連続解を適切に処理するように特別な注意を払う必要もあります。オイラー方程式とナビエ・ストークス方程式はどちらも衝撃と接触面を許容します。

使用されている離散化方法の一部は次のとおりです。

有限体積法（FVM）は、特に大規模な問題、高レイノルズ数の乱流、およびソース項が支配的な流れ（燃焼など）の場合に、メモリ使用量と解析速度の点で利点があるため、CFDコードで使用される一般的なアプローチです。^[55]

有限体積法では、支配的な偏微分方程式（通常はナビエ・ストークス方程式、質量およびエネルギー保存方程式、乱流方程式）が保存形式に書き直され、離散的な制御体積上で解かれます。この離散化により、特定の制御体積を通る流束の保存が保証されます。有限体積方程式は、次の形式の支配方程式をもたらします。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint Q\,dV+\iint F\,d\mathbf {A} =0,}$

ここで、は保存変数のベクトル、はフラックスのベクトル（オイラー方程式またはナビエ・ストークス方程式を参照）、は制御体積要素の体積、は制御体積要素の表面積です。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

有限要素法（FEM）は固体の構造解析に使用されますが、流体にも適用できます。ただし、FEM 定式化では、保守的な解を確実にするために特別な注意が必要です。FEM 定式化は、流体力学の支配方程式で使用するために適応されています。^{[56] [57]} FEM は保守的になるように慎重に定式化する必要がありますが、有限体積法よりもはるかに安定しています。^[58] FEM は、FVM と比較して、滑らかな問題に対してより正確な解を提供します。^[59] FEM のもう 1 つの利点は、複雑な形状と境界条件を処理できることです。ただし、FEM は FVM よりも多くのメモリを必要とし、解の計算時間が遅くなります。^[60]

この方法では、加重残差方程式が形成されます。

${\displaystyle R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}}$

ここで、は要素頂点における方程式残差、は要素ベースで表現された保存方程式、は重み係数、 は要素の体積です。 ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle V^{e}}$

差分法（FDM）は歴史的に重要な^[57]手法であり、プログラムも簡単です。現在、この手法は、埋め込み境界や重なり合うグリッド（各グリッドを補間した解）を使用して複雑な形状を高精度かつ効率的に処理する、いくつかの特殊なコードでのみ使用されています。^[要出典]

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$

ここで、は保存変数のベクトルであり、、、はそれぞれ、、、方向のフラックスです。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

スペクトル要素法は有限要素法の一種です。数学的問題 (偏微分方程式) を弱い定式化に置き換える必要があります。これは通常、微分方程式に任意のテスト関数を掛け、領域全体で積分することによって行われます。純粋に数学的に言えば、テスト関数は完全に任意で、無限次元関数空間に属します。無限次元関数空間を離散スペクトル要素メッシュで表現できないことは明らかです。ここからスペクトル要素の離散化が始まります。最も重要なのは、補間関数とテスト関数の選択です。2D の標準的な低次 FEM では、四辺形要素の場合、最も一般的な選択は、形式 の双線形テスト関数または補間関数です。ただし、スペクトル要素法では、補間関数とテスト関数は非常に高次の多項式 (CFD アプリケーションでは通常、たとえば 10 次) になるように選択されます。これにより、方法の迅速な収束が保証されます。さらに、数値コードで実行する積分の数が多いため、非常に効率的な積分手順を使用する必要があります。したがって、高次のガウス積分求積法が採用されています。これは、実行する計算の数を最小限に抑えて最高の精度を実現するためです。当時、スペクトル要素法に基づく学術的な CFD コードがいくつかあり、科学界で新しい時間ステップ方式が登場したため、さらにいくつかのコードが現在開発中です。 ${\displaystyle v(x,y)=ax+by+cxy+d}$

格子ボルツマン法 (LBM) は、格子上の簡略化された運動図により、計算効率の高い流体力学の記述を実現します。マクロな特性 (質量、運動量、エネルギーなど) の保存方程式を数値的に解く従来の CFD 法とは異なり、LBM は仮想粒子で構成される流体をモデル化し、このような粒子は離散格子メッシュ上で連続的な伝播と衝突のプロセスを実行します。この方法では、ボルツマンBhatnagar-Gross-Krook (BGK)形式の運動発展方程式の空間と時間の離散バージョンを使用します。

渦法（ラグランジュ渦粒子法とも呼ばれる）は、非圧縮性乱流のシミュレーションのためのメッシュフリー手法である。この手法では、渦度はラグランジュ粒子上に離散化され、これらの計算要素は渦、ボルトン、または渦粒子と呼ばれる。^[61]渦法は、グリッドベースの方法に関連する基本的な平滑化効果に制限されないグリッドフリー手法として開発された。しかし、実用化するには、渦法は渦要素から速度を迅速に計算する手段を必要とする。言い換えれば、N体問題（N個の物体の運動がそれらの相互影響に結びついている）の特定の形式を解く必要がある。この画期的な進歩は、1980年代にバーンズハット法と高速多重極法（FMM）アルゴリズムの開発によってもたらされた。これらは、渦要素からの速度の実用的な計算への道を開いた。

渦法に基づくソフトウェアは、ユーザーの介入を最小限に抑えて難しい流体力学の問題を解決する新しい手段を提供します。^{[引用が必要]} 必要なのは、問題の形状を指定し、境界条件と初期条件を設定することだけです。この最新技術の重要な利点には、次のものがあります。

• 実質的にグリッドフリーであるため、RANS および LES に関連する多数の反復が不要になります。
• すべての問題は同じように扱われます。モデリングやキャリブレーションの入力は必要ありません。
• 音響の正確な分析に不可欠な時系列シミュレーションが可能です。
• 小規模と大規模を同時に正確にシミュレートします。

境界要素法では、流体が占める境界が表面メッシュに分割されます。

高解像度スキームは、衝撃や不連続性が存在する場合に使用されます。ソリューションの急激な変化を捉えるには、不要な振動を生じさせない 2 次以上の数値スキームを使用する必要があります。通常、このためには、ソリューションが総変動減少になるようにフラックス リミッターを適用する必要があります。^{[引用が必要]}

乱流の計算モデル化における共通の目標の 1 つは、モデル化対象のシステムのエンジニアリング設計で使用するために、流体速度などの重要な量を予測できるモデルを取得することです。乱流の場合、乱流に関係する長さスケールの範囲と現象の複雑さにより、ほとんどのモデル化アプローチは法外なコストがかかります。乱流に関係するすべてのスケールを解決するために必要な解像度は、計算で可能な範囲を超えています。このような場合の主なアプローチは、未解決の現象を近似する数値モデルを作成することです。このセクションでは、乱流によく使用される計算モデルをいくつか示します。

乱流モデルは、モデル化されるスケールと解決されるスケールの範囲に対応する計算コストに基づいて分類できます (解決される乱流スケールが多いほど、シミュレーションの解像度が高くなり、したがって計算コストが高くなります)。乱流スケールの大部分またはすべてがモデル化されていない場合、計算コストは​​非常に低くなりますが、トレードオフとして精度が低下します。

流体力学の支配方程式には、長さと時間のスケールの広範囲および関連する計算コストに加えて、非線形対流項と非線形かつ非局所的な圧力勾配項が含まれます。これらの非線形方程式は、適切な境界条件と初期条件を使用して数値的に解く必要があります。

レイノルズ平均ナビエ・ストークス(RANS) 方程式は、乱流モデリングの最も古いアプローチです。支配方程式のアンサンブル バージョンを解き、レイノルズ応力と呼ばれる新しい見かけの応力を導入します。これにより、さまざまなモデルでさまざまなレベルの閉鎖を提供できる未知数の 2 次テンソルが追加されます。RANS 方程式は「時間平均」されているため、時間変動平均フローを伴うフローには適用されないという誤解がよくあります。実際には、統計的に非定常 (または非定常) なフローも同様に扱うことができます。これは URANS と呼ばれることもあります。レイノルズ平均化にはこれを妨げる固有の要素はありませんが、方程式を閉鎖するために使用される乱流モデルは、平均のこれらの変化が発生する時間が、エネルギーの大部分を含む乱流運動の時間スケールに比べて大きい場合にのみ有効です。

RANS モデルは、大きく 2 つのアプローチに分けられます。

ブシネスク仮説

この方法では、レイノルズ応力の代数方程式を使用して乱流粘性を決定し、モデルの高度さに応じて、乱流運動エネルギーと散逸を決定するための輸送方程式を解きます。モデルには、k-ε ( Launder and Spalding )、^[62]混合長モデル ( Prandtl )、^[63]およびゼロ方程式モデル (Cebeci and Smith ) があります。^[63]このアプローチで使用できるモデルは、多くの場合、この方法に関連付けられた輸送方程式の数で参照されます。たとえば、混合長モデルは輸送方程式を解かないので「ゼロ方程式」モデルです。は、 2 つの輸送方程式 ( について 1 つとについて 1 つ) を解くので「2 方程式」モデルです。${\displaystyle k-\epsilon }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon }$

レイノルズ応力モデル (RSM)

このアプローチは、レイノルズ応力の輸送方程式を実際に解こうとします。これは、すべてのレイノルズ応力に対して複数の輸送方程式を導入することを意味し、したがって、このアプローチは CPU の労力がはるかに高くなります。^{[引用が必要]}

ラージ エディ シミュレーション(LES) は、フィルタリング操作によって流れの最小スケールを除去し、その効果をサブグリッド スケール モデルを使用してモデル化する手法です。これにより、乱流の最大かつ最も重要なスケールを解決しながら、最小スケールによって発生する計算コストを大幅に削減できます。この方法は、RANS 方法よりも多くの計算リソースを必要としますが、DNS よりもはるかに安価です。

デタッチド エディ シミュレーション(DES) は RANS モデルの修正版で、LES 計算に十分な細かさの領域ではサブグリッド スケールの定式化に切り替わります。固体境界付近の領域と乱流の長さスケールが最大グリッド寸法より小さい領域には、RANS モードのソリューションが割り当てられます。乱流の長さスケールがグリッド寸法を超えると、その領域は LES モードを使用して解決されます。したがって、DES のグリッド解像度は純粋な LES ほど厳しくなく、計算コストが大幅に削減されます。DES は当初 Spalart-Allmaras モデル (Philippe R. Spalart 他、1997) 用に定式化されましたが、RANS モデルに明示的または暗黙的に含まれる長さスケールを適切に変更することで、他の RANS モデル (Strelets、2001) で実装できます。したがって、Spalart–Allmaras モデル ベースの DES は壁モデルを備えた LES として機能しますが、他のモデル (2 つの方程式モデルなど) に基づく DES はハイブリッド RANS-LES モデルとして機能します。RANS-LES スイッチのため、グリッド生成は単純な RANS または LES の場合よりも複雑です。DES は非ゾーン アプローチであり、ソリューションの RANS 領域と LES 領域全体にわたって単一の滑らかな速度場を提供します。

直接数値シミュレーション（DNS）は、乱流の長さスケールの全範囲を解析します。これによりモデルの影響が最小限に抑えられますが、非常に高価です。計算コストは​​に比例します。^[64] DNSは、複雑な形状や流れの構成を持つ流れには扱いにくいです。 ${\displaystyle Re^{3}}$

コヒーレント渦シミュレーション手法では、乱流場を、組織化された渦運動からなるコヒーレント部分と、ランダムな背景流であるインコヒーレント部分に分解します。^{[65]この分解は、}ウェーブレットフィルタリング を使用して行われます。この手法は、分解を使用してフィルタリングされた部分のみを解析するため、 LESと多くの共通点がありますが、線形のローパスフィルタを使用しない点で異なります。代わりに、フィルタリング操作はウェーブレットに基づいており、フィルタは流れ場の進化に合わせて調整できます。FargeとSchneiderは、2つの流れ構成でCVS法をテストし、流れのコヒーレント部分は全体の流れが示すエネルギースペクトルを示し、コヒーレント構造（渦管）に対応するのに対し、流れのインコヒーレント部分は組織化された構造を示さない均質な背景ノイズを構成することを示しました。 GoldsteinとVasilyev ^[66]はFDVモデルをラージエディシミュレーションに適用したが、ウェーブレットフィルタがサブフィルタスケールからすべてのコヒーレントな動きを除去するとは想定していなかった。LESとCVSフィルタリングの両方を採用することで、SFSの消散はSFS流れ場のコヒーレントな部分によって支配されることを示した。 ${\displaystyle -{\frac {40}{39}}}$

乱流に対する確率密度関数（PDF）法は、Lundgrenによって初めて導入され、^[67] 、速度の1点PDFを追跡することに基づいています。これは、点における速度がとの間である確率を与えます。このアプローチは、気体の運動論に類似しており、気体のマクロな特性は多数の粒子によって記述されます。PDF法は、多くの異なる乱流モデルのフレームワークに適用できるという点で独特です。主な違いは、PDF輸送方程式の形式にあります。たとえば、ラージエディシミュレーションのコンテキストでは、PDFはフィルタリングされたPDFになります。^[68] PDF法は、化学反応を記述するために使用することもできます。 ^{[69] [70]}また、化学反応源項が閉じていてモデルを必要としないため、化学反応の流れをシミュレートするのに特に便利です。PDFは、通常、ラグランジュ粒子法を使用して追跡されます。ラージエディシミュレーションと組み合わせると、サブフィルタ粒子の進化に関するランジュバン方程式が得られます。 ${\displaystyle f_{V}({\boldsymbol {v}};{\boldsymbol {x}},t)d{\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}}$

渦度閉じ込め(VC) 法は、乱流後流のシミュレーションで使用されるオイラー法です。孤立波のようなアプローチを使用して、数値拡散のない安定したソリューションを生成します。VC は、2 グリッド セル以内の小規模な特徴を捉えることができます。これらの特徴内では、有限差分方程式ではなく、非線形差分方程式が解かれます。VC は、保存則が満たされる衝撃捕捉法に似ており、重要な積分量が正確に計算されます。

線形渦モデルは、乱流で起こる対流混合をシミュレートするために使用される手法です。^[71]具体的には、ベクトル流れ場内でのスカラー変数の相互作用を数学的に記述する方法を提供します。このモデルは、さまざまな長さスケールとレイノルズ数に適用できるため、主に乱流の1次元表現に使用されます。このモデルは、広範囲の流れ条件に渡って有効な高解像度の予測を提供するため、より複雑な流れ表現の構成要素として一般的に使用されます。

二相流のモデリングはまだ開発中です。流体体積法、レベルセット法、フロントトラッキングなど、さまざまな方法が提案されています。^{[72] [73]} これらの方法では、鋭い界面を維持するか、質量を保存するかというトレードオフが伴うことがよくあります^{[誰によると？ ]}。密度、粘度、表面張力の評価は界面全体の平均値に基づいているため、これは非常に重要です。^[要出典]

空間での離散化により、非定常問題では常微分方程式のシステムが生成され、定常問題では代数方程式が生成されます。 常微分方程式を積分するには、一般に暗黙的または半暗黙的な方法が使用されます。これにより、(通常は) 非線形代数方程式のシステムが生成されます。ニュートン反復法またはピカール反復法を適用すると、移流がある場合は非対称で、非圧縮性がある場合は不定値の線形方程式のシステムが生成されます。 このようなシステム (特に 3D の場合) は、直接ソルバーには大きすぎることが多いため、反復法、つまり逐次過緩和法などの定常法またはクリロフ部分空間法が使用されます。GMRESなどのクリロフ法は、通常、前処理とともに使用され、前処理演算子によって生成された連続する部分空間の残差を最小化することによって機能します。

マルチグリッドは、多くの問題で漸近的に最適なパフォーマンスを発揮するという利点があります。従来の^{[誰によると? ]}ソルバーと前処理は、残差の高周波成分を削減するのに効果的ですが、低周波成分を削減するには通常、多くの反復が必要です。マルチグリッドは、複数のスケールで操作することで、残差のすべての成分を同様の係数で削減し、メッシュに依存しない反復回数を実現します。^{[引用が必要]}

不定システムの場合、不完全LU分解、加法シュワルツ、マルチグリッドなどの前処理はうまく機能しないか、まったく機能しないため、効果的な前処理には問題構造を使用する必要があります。^[74] CFDで一般的に使用される方法は、メッシュ依存の収束率を示すSIMPLEアルゴリズムとUzawaアルゴリズムですが、結果として得られる定常システムに対してブロックLU分解とマルチグリッドを組み合わせた最近の進歩により、メッシュに依存しない収束率を実現する前処理が実現しました。^[75]

CFDは70年代後半にLTRAN2の導入により大きな進歩を遂げた。LTRAN2は、Ballhausらによる遷音速小摂動理論に基づいて振動翼をモデル化する2次元コードである。 ^[76]このコードは、移動する衝撃波をモデル化するためにMurman-Coleスイッチアルゴリズムを使用している。^[26]その後、AFWAL/Boeingによって回転差分スキームを使用して3次元に拡張され、LTRAN3が開発された。^{[77] [78]}

CFD調査は、実験測定の能力を超えた詳細な大動脈血流特性を明らかにするために使用されます。これらの状態を分析するために、MRIやコンピューター断層撮影などの最新の画像技術を使用して、人間の血管系のCADモデルが抽出されます。このデータから3Dモデルが再構築され、流体の流れを計算できます。密度や粘度などの血液特性、および現実的な境界条件（全身圧など）を考慮する必要があります。したがって、さまざまなアプリケーションで心血管系の流れを分析および最適化することが可能になります。^[79]

伝統的に、CFDシミュレーションはCPU上で実行されます。^[80]

最近の傾向では、シミュレーションはGPUでも実行されるようになりました。GPUには通常、より低速ですが、より多くのプロセッサが搭載されています。優れた並列処理性能（つまり、コアを追加することで高速化が促進される）を備えたCFDアルゴリズムの場合、これによりシミュレーション時間を大幅に短縮できます。流体暗黙粒子法^[81]と格子ボルツマン法^[82]は、GPUで適切にスケーリングされるコードの典型的な例です。

• アンダーソン、ジョン D. (1995)。数値流体力学: 基礎と応用。科学/工学/数学。McGraw-Hill Science。ISBN 978-0-07-001685-9。
• パタンカール、スハス（1980）。数値熱伝達と流体の流れ。力学と熱科学の計算方法に関する半球シリーズ。テイラー＆フランシス。ISBN 978-0-89116-522-4。

• コース:計算流体力学 – Suman Chakraborty (インド工科大学カラグプル校)
• コース:科学者とエンジニアのための数値偏微分方程式テクニック、数値偏微分方程式のオープンアクセス講義とコード、圧縮性 CFD の最新ビューを含む