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数学において、類体理論（CFT ）は代数的整数論の基本的な分野であり、その目標は、基礎体に関連付けられた対象を用いて、局所体と大域体のすべてのアーベルガロア拡大を記述することである。[ 1 ]
ヒルベルトはクラス体の概念の先駆者の一人として評価されている。しかし、この概念はすでにクロネッカーには知られており、実際にはヒルベルトの基礎論文が発表される前にウェーバーがこの用語を造語していた。 [ 2 ]関連するアイデアは数十年かけて発展し、ヒルベルトによる一連の予想が生まれ、その後高木とアルティンによって（チェボタレフの定理の助けを借りて）証明された。
主要な結果の一つは、数体Fが与えられ、Fの最大アーベル非分岐拡大をKとすると、F上のKのガロア群は、 Fのイデアル類群と正準的に同型であるというものである。この命題は、いわゆる アルティン相互法則に一般化された。イデアル言語では、F のイデアル類群を C F と書き、 LをFの任意の有限アーベル拡大とすると、この法則は正準的な同型を与える。
どこは、 LからFへのイデリックノルム写像を表します。この同型写像は相互写像と呼ばれます。
存在定理は、相互写像を使用して、 Fのアーベル拡大の集合と有限指数の閉部分群の集合との間に全単射を与えることができると述べている。
1930年代以降、大域的類体論を発展させる標準的な方法は、局所体のアーベル拡大を記述する局所的類体論を構築し、それを用いて大域的類体論を構築することであった。これは、アルティンとテイトが群コホモロジーの理論、特に類形成の概念を発展させることによって初めて実現した。その後、ノイキルヒはコホモロジーの概念を用いずに大域的類体論の主要な命題の証明を見出した。彼の方法は明示的かつアルゴリズム的であった。
クラス体理論の中では、[ 3 ]特殊クラス体理論と一般クラス体理論を区別することができる。
明示的な類体理論は、さまざまな状況における数体の最大アーベル拡大の明示的な構成を提供する。この理論のこの部分は、アーベル拡大を構成するために使用できるクロネッカー・ウェーバーの定理から成ります。、そしてCM体のアーベル拡張を構成するための複素乗法理論。
クラス体理論には、主に3つの一般化があります。高次クラス体理論、ラングランズ・プログラム（または「ラングランズ対応」）、そして非可換幾何学です。
現代の数学用語では、類体理論（CFT）は次のように定式化できます。局所体または大域体 K の最大アーベル拡大 A を考えます。これはK上で無限次数を持ちます。K上のAのガロア群Gは無限プロ有限群であるため、コンパクト位相群であり、アーベル群です。類体理論の中心的な目的は、Kに関連付けられた特定の適切な位相対象を用いてG を記述すること、 Kに関連付けられた位相対象における有限指数の開部分群を用いてKの有限アーベル拡大を記述することです。特に、 Kの有限アーベル拡大と、 Kのこの位相対象におけるそれらのノルム群との間に一対一の対応を確立することが望まれます。この位相対象は、有限剰余体を持つ局所体の場合は乗法群であり、大域体の場合はイデル類群です。有限指数を持つ開部分群に対応する有限アーベル拡大は、その部分群の類体と呼ばれ、それがこの理論の名前の由来となった。
一般類体論の基本的な結果は、群Gは、体Kの特定の構造に関連するC K上の自然な位相に関して、局所体の乗法群または大域体のイデル類群であるC Kのプロ有限完備化と自然に同型である、というものである。同等に、 Kの任意の有限ガロア拡大Lに対して、同型写像 (アルティン相互写像)が存在する。
Kのイデル類群をLのイデル類群のノルムの像で割った商による拡張のガロア群のアーベル化。
有理数体のような小さな体の場合あるいはその二次虚数拡張については、より詳細で非常に明示的だが、あまりにも具体的すぎる理論があり、より多くの情報を提供します。例えば、アーベル化された絶対ガロア群Gは、は、すべての素数pについて取られたp 進整数の単元群の無限積と（自然に同型）であり、対応する有理数の最大アーベル拡大は、すべての1 の根によって生成される体である。これは、レオポルド・クロネッカーが最初に予想したクロネッカー・ウェーバーの定理として知られている。この場合、クラス体理論の相互同型（またはアルティン相互写像）も、クロネッカー・ウェーバーの定理により明示的に記述できる。しかし、このようなより詳細な理論の主要な構成は、小さな代数的数体の場合には拡張できず、一般的なクラス体理論では異なる概念原理が使用されている。
相互性準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロア群への局所相互性同型を構成し（これは局所類体論の中で行われる）、次に、大域体のイデル群上で定義されたすべての局所相互性写像の積が、大域体の乗法群の像上で自明であることを証明することである。後者の性質は大域相互性法則と呼ばれ、ガウスの二次相互性法則の広範な一般化である。
相互準同型を構築する方法の1つは、クラス体理論の公理からクラス体理論を導出するクラス形成を用いる。この導出は純粋に位相群論的であるが、公理を確立するには基礎体の環構造を用いる必要がある。[ 4 ]
コホモロジー群、特にブラウアー群を用いる方法もあれば、コホモロジー群を用いない、非常に明示的で応用面で有益な方法もある。
類体理論の起源は、ガウスによって証明された二次相互法則にある。その一般化は、二次形式とその「種理論」、エルンスト・クンマーとレオポルド・クロネッカー／クルト・ヘンゼルによるイデアルと完備化に関する研究、円分拡大とクンマー拡大の理論などを含む、長期にわたる歴史的プロジェクトとして行われた。
最初の2つの類体理論は、非常に明示的な円分類体理論と複素乗法類体理論でした。これらは追加の構造を使用しており、有理数体の場合には1の根を、有理数体の虚数二次拡大の場合には複素乗法を持つ楕円曲線とその有限位数の点を使用しています。ずっと後になって、志村の理論は、ある種の代数体に対して、別の非常に明示的な類体理論を提供しました。正標数では川田と佐竹はウィット双対性を用いて、相互性準同型の一部。
しかし、これらの非常に明確な理論は、より一般的な数体には拡張できなかった。一般類体論は、あらゆる大域体上で機能する異なる概念と構成法を用いた。
ダヴィッド・ヒルベルトの有名な問題は、相互法則や、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセなどによる証明につながるさらなる発展を促した。重要な高木存在定理は1920年までに知られ、主要な結果はすべて1930年頃までに知られていた。最後に証明された古典的予想の1つは、主権化性質であった。クラス体理論の最初の証明は、実質的な解析的方法を使用していた。1930年代以降、無限拡大とヴォルフガング・クルルのガロア群の理論の使用が増加した。これはポントリャーギン双対性と組み合わさって、中心的な結果であるアルティン相互法則のより明確でより抽象的な定式化を与えた。重要なステップは、1930年代にクロード・シュヴァレーがイデアルクラスを置き換えるためにイデアルを導入し、本質的に大域体のアーベル拡大の記述を明確化および簡略化したことである。主要な結果のほとんどは1940年までに証明された。
その後、この結果は群コホモロジーの観点から再定式化され、数世代にわたる数論学者にとって類体論を学ぶ標準的な方法となった。コホモロジー的方法の欠点の1つは、その相対的な不明瞭さである。バーナード・ドワーク、ジョン・テイト、ミヒール・ハゼウィンケルによる局所的な貢献、ユルゲン・ノイキルヒによる局所的かつ大域的な再解釈、そして多くの数学者による明示的な相互性公式に関する研究の結果として、1990年代には、コホモロジーを用いない非常に明示的な類体論の提示が確立された。（例えば、ノイキルヒの『類体論』を参照。）
クラス体理論は、アルティン・ヴェルディエ双対性を証明するために用いられる。[ 5 ]非常に明示的なクラス体理論は、岩沢理論やガロア加群理論など、代数的整数論の多くの分野で用いられる。
数体におけるラングランズ対応、数体におけるBSD予想、数体における岩澤理論に向けた主要な成果のほとんどは、非常に明示的ではあるものの限定的な類体論の手法、あるいはその一般化を用いている。したがって、未解決の課題は、これら3つの方向において、一般類体論の一般化を用いることである。
主な一般化は3つあり、それぞれが非常に興味深い。それらは、ラングランズ・プログラム、非可換幾何学、そして高次体論である。
ラングランズ対応は、しばしば非可換クラス体理論として捉えられる。それが完全に確立されれば、大域体の非可換ガロア拡大に関するある種の理論が含まれることになるだろう。しかし、ラングランズ対応は、可換体の場合のクラス体理論ほど、有限ガロア拡大に関する算術的な情報を含んでいない。また、クラス体理論における存在定理に相当するものも含まれていない。つまり、ラングランズ対応にはクラス体の概念が存在しないのである。ラングランズ対応の観点とは異なる、局所的および大域的な非可換理論が他にもいくつか存在する。
クラス体理論のもう一つの一般化は、完全な絶対ガロア群または代数的基本群の知識から元の対象（例えば、数体またはその上の双曲曲線）を復元するアルゴリズムを研究する非可換幾何学である。[ 6 ] [ 7 ]
もう一つの自然な一般化は、高次クラス体理論であり、高次局所クラス体理論と高次大域クラス体理論に分けられます。これは、高次局所体と高次大域体のアーベル拡張を記述します。後者は、整数上の有限型スキームの関数体、およびそれらの適切な局所化と完備化として現れます。代数的K理論を使用し、適切なミルナーK群が一般化します。一次元類体論で用いられる。
