ブラウアーグループ

数学において、体Kのブラウアー群は、その元がK上の中心単純代数の森田同値類であり、その加法が代数のテンソル積で与えられるアーベル群である。代数学者リチャード・ブラウアーによって定義された。

Brauer 群は、体上の除算代数を分類する試みから生まれました。また、ガロア コホモロジーによって定義することもできます。より一般的には、スキームの Brauer 群は、東谷代数によって定義されるか、または同等に射影バンドル を使用して定義されます。

体K上の中心単純代数(CSA) は、 Aが単純環であり、Aの中心がKに等しいような有限次元結合K代数Aです。CSAは一般に除算代数ではありませんが、除算代数を分類するために使用できます。

たとえば、複素数 C はそれ自身上では CSA を形成しますが、R上では形成しません(中心はC自体であるため、 R上の CSA としては大きすぎます)。中心がR (つまり、 R上の次元が有限)である有限次元の除算代数は、フロベニウスの定理により実数と四元数ですが、実数または四元数上の任意の行列環M( n , R )またはM( n , H )は実数上の CSA ですが、除算代数ではありません ( n > 1 の場合)。

Artin–Wedderburn の定理(実際にはWedderburnの部分)により、K上の CSA に関する同値関係が得られ、任意の CSA を何らかの除算代数Dに対するM( n , D )として表現できます。 Dだけに注目すると、つまり、すべての正の整数mとnに対してM( m , D )とM( n , D )を同一視する同値関係を課すと、 K上の CSA に関するBrauer 同値関係が得られます。 Brauer 群の要素は、K上の CSA の Brauer 同値類です。

中心単純代数AとBが与えられれば、そのテンソル積 A ⊗ B をK代数として見ることができます。これは常に中心単純であることがわかります。これを見る巧妙な方法は、特徴付けを使用することです。K上の中心単純代数Aは、スカラー体をKの代数的閉包に拡張すると行列環になるK代数です。この結果は、 Kベクトル空間としての中心単純代数Aの次元が常に平方であることも示しています。Aの次数は、その次元の平方根として定義されます。

その結果、K上の CSA の同型類はテンソル積の下でモノイドを形成し、ブラウアー同値と互換性があり、ブラウアー類はすべて可逆です。つまり、代数Aの逆は、その反対代数A ^op ( K → Aの像がAの中心にあるため、 Kによる同じ作用を持つ反対の環) によって与えられます。明示的には、 CSA Aについて、 A ⊗ A ^op = M( n ² , K )が成り立ちます。ここで、n はK上のAの次数です。

任意の体のブラウアー群は捩れ群である。より詳しくは、K上の中心単純代数Aの周期を、ブラウアー群の要素としての位数として定義する。Aのインデックスを、Aとブラウアー同値な除算代数の次数として定義する。すると、 Aの周期はAのインデックスを割り切る（したがって有限である）。^[1]

• 以下の場合には、体K上のすべての有限次元中心分割代数はK自身であるため、ブラウアー群 Br( K ) は自明である。
  • K は代数的に閉じた体です。
  • Kは有限体である（ウェッダーバーンの定理）。^[2]同様に、すべての有限除算環は可換である。
  • Kは代数的に閉じた体上の代数曲線の関数体である（ツェンの定理）。^[3]より一般的には、ブラウアー群は任意のC ₁体に対して消滅する。
  • KはQの代数的拡大であり、すべての1の根を含む。^[2]
• 実数のブラウアー群Br  Rは位数2の巡回群である。中心Rを持つ非同型実除算代数はR自身と四元数代数Hの2つだけである。^[4] H  ⊗  H ≅ M(4, R ) なので、 Hのクラスはブラウアー群で位数2である。
• Kを非アルキメデス 局所体とする。これはKが有限剰余体を持つ 離散値化の下で完備であることを意味する。このときBr KはQ / Zと同型である。^[5]

体Kの Brauer 群のもう一つの重要な解釈は、 Kの代数閉包上の射影空間に同型となるK上の射影多様体を分類するということである。このような多様体はSeveri–Brauer 多様体と呼ばれ、K上のn − 1次元の Severi–Brauer 多様体の同型類とK上のn次中心単純代数の間には一対一の対応がある。^[6]

例えば、次元 1 のセヴェリ・ブラウアー多様体は、 K上の射影平面上の滑らかな 円錐曲線とまったく同じである。標数が2 でない体Kに対して、 K上の任意の円錐曲線は、 Kの非零元aとbに対して、 ax ² + by ² = z ²の形式のいずれかに同型である。対応する中心単純代数は四元数代数^{[7]である。}

${\displaystyle (a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).}$

円錐曲線がK上の射影直線P ¹に同型なのは、対応する四元数代数が行列代数 M(2, K ) に同型な場合のみです。

正の整数nに対して、K をnが逆である体とし、 K には原始 n乗根ζ が含まれるものとする。 Kの非ゼロ元aとbに対して、関連する巡回代数はK上のn次中心単純代数で、次のように定義される。

${\displaystyle (a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).}$

巡回代数は最もよく理解されている中心単純代数である。( Kにおいてnが逆でないか、Kが原始n乗根を持たない場合、同様の構成により、Kの巡回Z / n拡大χとKの非ゼロ元aに関連付けられた巡回代数( χ , a )が得られる。^[8] )

代数的 K 理論におけるメルクリェフ・ススリン定理は、ブラウアー群に関する強い帰結をもたらす。すなわち、正の整数nに対して、K をnが可逆で、K が原始n乗根を含む体とする。すると、 Kのブラウアー群のnで消された部分群は、次数n の巡回代数によって生成される。^{[9]同様に、} n を周期で割る任意の除算代数は、次数nの巡回代数のテンソル積とブラウアー同値である。素数pであっても、周期pの除算代数が次数pの巡回代数のテンソル積と同型である必要はないことを示す例がある。^[10]

体上の素数次数のあらゆる除算代数が巡回的であるかどうかは、（アルバートによって提起された）大きな未解決問題である。これは次数が 2 または 3 の場合には真であるが、少なくとも 5 の素数に対しては未解決の問題である。既知の結果は体の特別なクラスについてのみである。たとえば、 K が大域体または局所体である場合、 K上の任意の次数の除算代数は巡回的であると、アルバート・ブラウアー・ハッセ・ノイアーによって証明された。^[11]同じ方向の「高次元」の結果は、ソルトマンによって証明された。Kが局所体Q _p上の超越次数1の体である場合、 K上の素数次数l ≠ pのあらゆる除算代数は巡回的である。^[12]

体K上の任意の中心単純代数Aについて、 Aの周期はAの指数を割り切り、2 つの数は同じ素因数を持ちます。^[13]周期指数問題とは、対象の体Kについて、周期に関して指数を上限とすることです。たとえば、A が局所体または大域体上の中心単純代数である場合、アルバート・ブラウアー・ハッセ・ノイマンは、 Aの指数がAの周期に等しいことを示しました。^[11]

代数的に閉じた体上の超越次数nの体K上の中心単純代数Aに対して、 ind( A )はper( A ) ^{n −1を割り切ると}予想されます。これはn≤2のときに成り立ち、 n =2の場合はデ・ヨングによる重要な進歩であり、デ・ヨング・スタールとリーブリッヒによって正の特性が研ぎ澄まされました。^[14]

ブラウアー群は類体理論の現代的な定式化において重要な役割を果たしている。K _vが非アルキメデス局所体である場合、局所類体理論は_標準同型inv _v  : Br  K v → Q / Z、ハッセ不変量を与える。^[2]

大域体K (数体など) の場合は、大域類体理論によって扱われる。D がK上の中心単純代数であり、v がKの場所である場合、D  ⊗  K _vはK _v上の中心単純代数、つまりvにおけるKの完備化である。これは、Kのブラウアー群からK _vのブラウアー群への準同型を定義する。与えられた中心単純代数D は有限個を除くすべてのvに対して分解するため、ほとんどすべてのそのような準同型の下でのDの像は0 である。ブラウアー群 Br  Kは、ハッセによって構成された正確な列に適合する: ^{[15] [16]}

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Br} K\rightarrow \bigoplus _{v\in S}\operatorname {Br} K_{v}\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

ここで、S はKのすべての位の集合であり、右矢印は局所不変量の和である。実数のブラウアー群はZ / 2Zと同一視される。左矢印の単射性は、アルバート・ブラウアー・ハッセ・ノイアーの定理の内容である。

K上の中心単純代数のすべての局所不変量の合計がゼロであるという事実は、典型的な相互法則です。たとえば、これをQ上の四元数代数( a、b )に適用すると、2 次相互法則が得られます。

任意の体Kに対して、ブラウアー群はガロアコホモロジーを用いて次のように表すことができる: ^[17]

${\displaystyle \operatorname {Br} K\cong H^{2}(K,G_{\text{m}}),}$

ここでG _{m は}K上の代数群として見た乗法群を表す。より具体的には、示されているコホモロジー群はH ² (Gal( K _s / K ), K _s ^* )を意味し、ここでK _{s は}Kの可分閉包を表す。

ブラウアー群とガロアコホモロジー群の同型性は次のように記述できる。n行n列の行列の代数の自己同型群は射影線型群PGL( n )である。 K上のすべての中心単純代数はKの可分閉包上の行列代数に同型となるため、 K上の次数nの中心単純代数の同型類の集合はガロアコホモロジー集合H ¹ ( K , PGL( n ))と同一視できる。 H ² ( K , G _m )の中心単純代数の類は境界準同型性の下で のH ¹の類の像である。

${\displaystyle H^{1}(K,\operatorname {PGL} (n))\rightarrow H^{2}(K,G_{\text{m}})}$

短い完全シーケンス 1 → G _m → GL( n ) → PGL( n ) → 1に関連付けられます。

Brauer 群は、AuslanderとGoldmanによって体から可換環へと一般化されました。Grothendieckはさらに進んで、任意のスキームの Brauer 群を定義しました。

スキームXの Brauer 群を定義するには、X上のAzumaya 代数を使用するか、X上の射影バンドルを使用する 2 つの方法があります。2 番目の定義では、エタール位相では局所的に自明である射影バンドルが使用され、ザリスキ位相では必ずしも自明ではありません。特に、射影バンドルは、あるベクトルバンドルの射影化である場合に限り、Brauer 群でゼロであると定義されます。

準コンパクトスキームXのコホモロジーBrauer 群は、エタールコホモロジー群H ² ( X , G _m )の捩れ部分群として定義されます。( H ² ( X , G _m )の全体群は捩れである必要はありませんが、正則で整数の準コンパクトスキームXの場合は捩れになります。^[18] ) Brauer 群は常にコホモロジー Brauer 群の部分群です。Gabberは、十分な直線束を持つ任意のスキーム (たとえば、可換環上の任意の準射影スキーム)に対して、Brauer 群はコホモロジー Brauer 群に等しいことを示しまし た。^[19]

全体のグループH ² ( X , G _m )は、構造グループG _mを持つX上のゲルブを分類するものと見なすことができます。

体上の滑らかな射影多様体に対して、ブラウアー群は重要な双有理不変量である。例えば、X が複素数上でも有理連結である場合、 Xのブラウアー群は特異コホモロジー群H ³ ( X , Z )の捩れ部分群と同型であり、したがって双有理不変量である。アルティンとマンフォードは、このブラウアー群の記述を使用して、安定的に有理ではないC上の単有理多様体 Xの最初の例を示した（つまり、Xと射影空間の積はどれも有理ではない）。^[20]

アルティンは、整数上のすべての適切なスキームは有限ブラウアー群を持つと予想した。 ^{[21]これは、有限体上の滑らかな射影多様体}Xの特殊なケースでさえ、まったく知られていない。実際、その場合の曲面のブラウアー群の有限性は、代数的サイクルの理論における主要な問題の1つである、X上の因子に対するテイト予想と同等である。^[22]

数体の整数環上で平坦かつ固有で、切断を持つ次元2の正規積分スキームの場合、ブラウアー群の有限性は、一般ファイバー（数体上の曲線）のヤコビ多様体に対するテイト-シャファレビッチ群Шの有限性と同値である。 ^{[23] Шの有限性は、}楕円曲線、より一般的にはアーベル多様体の算術における中心的な問題である。

X を数体K上の滑らかな射影多様体とする。ハッセ原理によれば、X がKのすべての完備化K _v上で有理点を持つ場合、X はK有理点を持つ。ハッセ原理は、いくつかの特殊なクラスの多様体では成り立つが、一般には成立しない。マニンは、Xのブラウアー群を使用してブラウアー・マニン障害を定義した。これは多くの場合、 X がKのすべての完備化上で点を持つ場合でも、X にはK点がないことを示すために適用できる。