アーベル多様体

数学、特に代数幾何学、複素解析、代数的数論において、アーベル多様体は、射影代数多様体であり、代数群でもあります。つまり、正規関数によって定義できる群法則を持っています。アーベル多様体は、代数幾何学で最も研究されているオブジェクトの 1 つであると同時に、代数幾何学や数論の他のトピックの研究に欠かせないツールでもあります。

アーベル多様体は、任意の体の係数を持つ方程式によって定義できます。この場合、多様体はその体上で定義されていると言われます。歴史的に、最初に研究されたアーベル多様体は、複素数体 上で定義されたものでした。このようなアーベル多様体は、複素射影空間に正則に埋め込むことができる複素トーラスそのものです。

代数体上で定義されたアーベル多様体は特別な場合であり、これは数論の観点からも重要です。局所化技術は、数体上で定義されたアーベル多様体から、有限体およびさまざまな局所体上で定義されたアーベル多様体へと自然に導きます。数体はデデキント域の分数体であるため、デデキント域の任意の非ゼロ素数に対して、デデキント域から素数によるデデキント域の商への写像が存在し、これはすべての有限素数に対する有限体です。これにより、分数体から任意のそのような有限体への写像が誘導されます。数体上で定義された方程式を持つ曲線が与えられた場合、この写像を係数に適用して、有限体の選択が数体の有限素数に対応する、ある有限体上で定義された曲線を取得できます。

アーベル多様体は、ヤコビ多様体（ピカール多様体におけるゼロの連結成分）や他の代数多様体のアルバネーゼ多様体として自然に現れる。アーベル多様体の群法則は必然的に可換であり、多様体は非特異である。楕円曲線は次元 1 のアーベル多様体である。アーベル多様体の小平次元は 0である。

19 世紀初頭、楕円関数の理論は楕円積分の理論の基礎を与えることに成功し、研究の明確な道が開かれました。楕円積分の標準形式には、3 次および4 次多項式の平方根が含まれていました。これらが、たとえば5 次などのより高次の多項式に置き換えられたら、何が起こるでしょうか。

ニールス・アーベルとカール・ヤコビの研究で、その答えは定式化されました。つまり、これは4 つの独立した周期(つまり周期ベクトル) を持つ2 つの複素変数の関数を伴うということです。これにより、次元 2 のアーベル多様体 (アーベル面) が初めて垣間見えました。これは現在では種数 2 の超楕円曲線のヤコビアンと呼ばれるものです。

アーベルとヤコビに続いて、アーベル関数の理論に最も重要な貢献をした人物としては、リーマン、ワイエルシュトラス、フロベニウス、ポアンカレ、ピカールなどがいた。このテーマは当時非常に人気があり、すでに膨大な文献が存在していた。

19 世紀末までに、数学者はアーベル関数の研究に幾何学的手法を使い始めました。最終的に、1920 年代に、レフシェッツは複素トーラスの観点からアーベル関数の研究の基礎を築きました。また、彼は「アーベル多様体」という名前を最初に使用した人物のようです。1940年代にアンドレ ヴェイユが代数幾何学の言語でこの主題の現代的な基礎を与えました。

今日、アーベル多様体は、数論、力学系（より具体的にはハミルトン系の研究）、代数幾何学（特にピカール多様体とアルバネーゼ多様体）において重要なツールを形成しています。

g次元の複素トーラスは、複素多様体の構造を持つ実次元 2 gのトーラスです。これは、 g次元の複素ベクトル空間を階数 2 gの格子で商することで常に得られます。 g次元の複素アーベル多様体は、複素数体上の射影代数多様体でもある次元gの複素トーラスです。小平埋め込み定理とChow の定理を適用することで、 g次元の複素アーベル多様体を、正の直線束を許容する次元gの複素トーラスとして同値に定義できます。これらは複素トーラスなので、アーベル多様体は群の構造を持ちます。アーベル多様体の射影は、基になる代数多様体の射影であり、群構造の単位元を保存します。同型は有限対 1 の射影です。

複素トーラスが代数多様体の構造を持つ場合、この構造は必然的に一意です。 の場合、アーベル多様体の概念は楕円曲線の概念と同じであり、すべての複素トーラスはそのような曲線を生み出します。なぜなら、代数多様体条件が複素トーラスに追加の制約を課すことは リーマン以来知られていたからです。${\displaystyle g=1}$${\displaystyle g>1}$

リーマンによる次の基準は、与えられた複素トーラスがアーベル多様体であるかどうか、すなわち、それが射影空間に埋め込むことができるかどうかを決定します。X をg次元トーラスとして、次のように表されるものとします。ここで、 V は次元 g の複素ベクトル空間であり、 L は V内の格子です。このとき、Xがアーベル多様体であるための必要十分条件は、上で虚部が整数値を取るようなV上の正定値エルミート形式が存在することです。 X上のそのような形式は、通常、(非退化)リーマン形式と呼ばれます。 VとLの基底を選択すると、この条件をより明示的にすることができます。これにはいくつかの同等な定式化があり、それらはすべてリーマン条件として知られています。 ${\displaystyle X=V/L}$ ${\displaystyle L\times L}$

種数のすべての代数曲線C は、 CからJへの解析写像によって、 g次元のアーベル多様体Jに関連付けられます。トーラスとして、J は可換群構造を持ち、Cの像は群としてJ を生成します。より正確には、 Jは: ^[1]で覆われています。 Jの任意の点は、Cのg組の点から生じます。理論の始まりとなったアーベル積分を生み出すC上の微分形式の研究は、より単純でJ上の変換不変な微分理論から導くことができます。アーベル多様体J は、複素数上の任意の非特異曲線Cに対して、 Cのヤコビ多様体と呼ばれます。双有理幾何学の観点から、その関数体はの関数体に作用するg文字上の対称群の固定体です。 ${\displaystyle g\geq 1}$${\displaystyle C^{g}}$${\displaystyle C^{g}}$

アーベル関数はアーベル多様体上の有理型関数であり、したがって2 n 個の独立した周期を持つn 個の複素変数の周期関数と見なすことができます。つまり、アーベル多様体の関数体における関数です。たとえば、19 世紀には、楕円積分で表現できる超楕円積分に多くの関心が寄せられました。これは、 J が同型性 を除いて楕円曲線の積であるかどうかを問うことに帰着します。

アーベル多様体の重要な構造定理の一つに松坂の定理がある。これは、代数的に閉じた体上のすべてのアーベル多様体は何らかの曲線のヤコビアン商である、つまり、 がヤコビアンであるアーベル多様体の全射が存在するということを述べている。この定理は基底体が無限大の場合でも成り立つ。^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle J\to A}$${\displaystyle J}$

一般体k上のアーベル多様体の 2 つの同値な定義が一般的に使用されています。

• k上の連結かつ完全な 代数群
• k上の連結かつ射影的な 代数群。

基底が複素数体である場合、これらの概念は前の定義と一致します。すべての基底において、楕円曲線は次元 1 のアーベル多様体です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

1940 年代初頭、ヴェイユは最初の定義 (任意の基底体上) を使用したが、最初はそれが 2 番目の定義を意味することを証明できなかった。1948 年になって初めて、ヴェイユは完全な代数群を射影空間に埋め込むことができることを証明した。一方、1940 年に発表した有限体上の曲線に対するリーマン予想の証明を機能させるためには、抽象多様体の概念を導入し、射影埋め込みのない多様体で機能するように代数幾何学の基礎を書き直す必要があった (代数幾何学の記事の歴史のセクションも参照)。

定義によれば、アーベル多様体は群多様体です。その点群は可換であることが証明できます。

体 に対して、したがってレフシェッツ原理により、標数0のすべての代数閉体に対して、次元gのアーベル多様体の捩れ群は に同型です。したがって、そのn捩れ部分は、つまり、位数nの巡回群の 2 g個のコピーの積に同型です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{2g}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$

基本体が特性pの代数的に閉じた体である場合、nとpが互いに素であるとき、 n捩れは依然として と同型です。nとp が互いに素でない場合、n捩れが階数 2 gの有限平坦群スキームを定義すると解釈すれば、同じ結果が得られます。 n捩れ上の完全なスキーム構造を見る代わりに、幾何学的点だけを考慮すると、特性pの多様体に対する新しい不変量( のときのいわゆるp階数)が得られます。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$${\displaystyle n=p}$

グローバル体kのk有理点の群は、モーデル・ヴェイユの定理によって有限生成されます。したがって、有限生成アーベル群の構造定理により、アーベル多様体の階数と呼ばれる非負整数rに対する自由アーベル群と有限可換群の積に同型です。同様の結果は、体kの他のクラスにも当てはまります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

同じ体上の、次元mのアーベル多様体Aと次元nのアーベル多様体Bの積は、次元 のアーベル多様体です。アーベル多様体は、より低い次元のアーベル多様体の積と同型でない場合、単純です。任意のアーベル多様体は、単純アーベル多様体の積と同型です。 ${\displaystyle m+n}$

体k上のアーベル多様体Aに、同じ体上の双対アーベル多様体が関連付けられる。これは、次のモジュライ問題の解である。 k多様体Tによってパラメータ化された次数 0 の直線束の族は、次 の直線束Lとして定義される。 ${\displaystyle A^{\vee }}$ ${\displaystyle A\times T}$

1. Tの任意のtに対して、 Lの への制限は次数 0 の直線束であり、${\displaystyle A\times \{t\}}$
2. Lのへの制限は自明な直線束である（ここで 0 はAの恒等関数である）。${\displaystyle \{0\}\times T}$

すると、多様体と、 によってパラメータ化された 0 次直線束Pの族、ポアンカレ束が存在し、T上の族L は一意の射に関連付けられ、L は射 に沿ったPの引き戻しと同型になります。これをT が点の場合に適用すると、 の点はA上の 0 次直線束に対応するので、直線束のテンソル積によって与えられる に対する自然な群演算があり、アーベル多様体になります。 ${\displaystyle A^{\vee }}$${\displaystyle A^{\vee }}$${\displaystyle f\colon T\to A^{\vee }}$${\displaystyle 1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }}$${\displaystyle A^{\vee }}$${\displaystyle A^{\vee }}$

この関連は、反変関数的であるという意味で双対性である。すなわち、すべての射に双対射を両立的に関連づけ、二重双対と（ポアンカレ束で定義される）の間には自然な同型性がある。アーベル多様体のn捩れとその双対のn捩れは、 n が基底の標数と互いに素であるとき、互いに双対である。一般に、すべてのnに対して、双対アーベル多様体のn捩れ群スキームは、互いにカルティエ双対である。これは、楕円曲線のヴェイユペアリングを一般化するものである。 ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }}$${\displaystyle (A^{\vee })^{\vee }}$${\displaystyle A}$

アーベル多様体の分極とは、アーベル多様体からその双対への同型であり、アーベル多様体の二重双対性に関して対称であり、関連するグラフ射に沿ったポアンカレ束の引き戻しが十分である（したがって、正定値二次形式に類似している）ものである。分極アーベル多様体は有限自己同型群を持つ。主分極とは同型である分極である。曲線のヤコビアンには、曲線上の任意の有理数基点を選ぶとすぐに主分極が自然に備わり、種数が のとき、曲線はその分極ヤコビアンから再構成できる。主分極アーベル多様体のすべてが曲線のヤコビアンであるとは限らない。ショットキー問題を参照のこと。分極は、Aの自己準同型環上にロザティ反転を誘導する。 ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$

複素数上では、分極アーベル多様体 は、アーベル多様体Aとリーマン形式 Hの選択として定義できます。2 つのリーマン形式は、となる正の整数nとmが存在するときに同値であると呼ばれます。 A上のリーマン形式の同値類の選択は、 Aの分極と呼ばれます。複素数上では、これは上記の分極の定義と同値です。分極アーベル多様体の射は、 B上のリーマン形式のAへの引き戻しがA上の所定の形式と同値であるようなアーベル多様体の射です。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle nH_{1}=mH_{2}}$${\displaystyle A\to B}$

アーベル多様体スキームを-理論的に、 基底 に対して相対的に定義することもできます。これにより、アーベル多様体のp を法とする簡約(アーベル多様体の算術を参照) やアーベル多様体のパラメータ族などの現象を統一的に扱うことができます。相対次元gの基底スキームS上のアーベルスキームは、幾何学的ファイバーが連結され、次元がgである、 S上の適切な滑らかな群スキームです。アーベルスキームのファイバーはアーベル多様体であるため、 S 上のアーベルスキームはSによってパラメータ化されたアーベル多様体の族と考えることができます 。

アーベル方式では、 n個のねじれ点の群は有限平坦群方式を形成します。すべてのnについて、ねじれ点の和集合はp 分割群を形成します。アーベル方式の変形は、セール・テイトの定理によれば、関連するp分割群の変形特性によって決まります。 ${\displaystyle A/S}$${\displaystyle p^{n}}$

が、重複する複素根を持たないようなものとしましょう。このとき、判別式は非ゼロです。 とすると、 はの開部分スキームになります。このとき、は 上のアーベルスキームです。これは上のネロンモデルに拡張でき、これは 上の滑らかな群スキームですが、ネロンモデルは適切ではないため 上のアーベルスキームではありません。 ${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle x^{3}+Ax+B}$${\displaystyle \Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$${\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$

Viktor Abrashkin  [ru] ^[3]とJean-Marc Fontaine ^[4]は独立に、 上の非零アーベル多様体で、すべての素数で良好な簡約を持つものは存在しないことを証明しました。同様に、 上の非零アーベルスキームは存在しません。証明には、-ねじれ点の座標が、非常に小さな分岐を持つ、したがって小さな判別式を持つ数体を生成することを示すことが含まれますが、一方で、数体の判別式には下限があります。^[5]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle p^{n}}$

半アーベル多様体とは、アーベル多様体をトーラスで拡張した可換群多様体である。^[6]

• 動機
• アーベル多様体のタイムライン
• アーベル多様体のモジュライ
• アーベル多様体を定義する方程式
• ホロックス・マンフォードバンドル

• ビルケンハーケ、クリスティーナ; ランゲ、H. (1992)、複素アーベル多様体、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-54747-3複雑な理論を包括的に扱い、主題の歴史を概観します。
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• ファルティングス、ゲルト、チャイ、チン・リー（1990）、アーベル多様体の退化、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-52015-5
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• ベンコフ、BB; パルシン、AN (2001) [1994]、「アーベル多様体」、数学百科事典、EMS プレス
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