三角柱

すべての辺の長さが等しい場合、その底面と側面はそれぞれ正三角形と正方形になります。したがって、三角柱は半正角柱です。半正角柱とは、その多角形の底面の辺の数と正方形の面の数が等しいことを意味します。^{[ 8 ]}より一般的には、三角柱は一様です。これは、三角柱が正多面体であり、任意の2つの頂点を等角に写像する対称性を持つことを意味します。^{[ 9 ]}隣接する2つの正方形の面の間の二面角は、正三角形の内角π /3 = 60°であり、正方形と三角形の間の二面角はπ /2 = 90°です。^{[ 10 ]}

任意の角柱の体積は、底面の面積と2つの底面間の距離の積です。^{[ 11 ]}三角柱の場合、底面は三角形です。三角形の面積は、底辺bと高さhの積の半分であり、1/2bhと表されます。三角柱は2つの三角形の底面間の距離がlであるため、その体積の一般式は次のようになります。^{[ 12 ]}$${\displaystyle V={\frac {1}{2}}bh\cdot l.}$$ 直角三角柱の場合、すべての辺の長さがlで等しいので、その体積は正三角形の面積と底辺間の距離の積として計算できます。^{[ 13 ]}$${\displaystyle V_{\text{uniform}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}l^{2}\cdot l={\frac {\sqrt {3}}{4}}l^{3}\approx 0.433\,l^{3}}$$

三角柱の三次元対称群は位数 12 の二面体群 D 3 h です。三角柱をその_中心の底面を通る対称軸を中心に 1/3 度回転させ、水平面に対して反射しても、外観は変わりません。 ^{[ 10 ]}任意の角柱の双対多面体は、底面同士を合わせて 2 つのピラミッドを融合して形成される多面体である両錐体です。三角柱の場合、その双対は三角両錐体であり、どちらも共通の三次元対称群を持ちます。^{[ 1 ]}

左から右へ：三角柱、斜めに一部を切り取った直角三角柱、シェーンハルト多面体、正三角形柱

双対多面体である三角両錐体以外にも、三角柱に関連する多面体は数多く存在する。ジョンソン立体は正多面体であり、この定義ではアルキメデス立体、カタラン立体、プリズム、反プリズムなどの均一多面体は省略されることがある。^{[ 18 ]}三角柱を用いたジョンソン立体は6種類あり、細長い三角錐、細長い三角両錐、ジャイロ二面錐、拡大三角柱、二重拡大三角柱、三重拡大三角柱である。細長い三角錐とジャイロ細長い三角錐は、四面体を三角柱の底面に取り付けることで作られる。拡張三角柱、二重拡張三角柱、および三重拡張三角柱は、正四角錐を三角柱の正方形面に取り付けることによって構成されます。ジャイロビファスティギウムは、2 つの三角柱をその正方形面の 1 つに取り付けることによって構成されます。^{[ 19 ]}

三角柱の一部を斜めに切断することができます。その結果、平行でない 2 つの底面ができます。そのため、それらの底面間の距離ごとに辺の長さが異なります。底面を結ぶ辺がその底面の 1 つに垂直である場合、この三角柱は直角三角柱の一種になります。Aが三角柱の底面の面積であり、3 つの高さがh ₁、h ₂、h ₃である場合、その体積は次の式で決定できます。^{[ 20 ]}$${\displaystyle V={\frac {A(h_{1}+h_{2}+h_{3})}{3}}.}$$

シェーンハルト多面体は、正三角形の底面を持つ三角柱から構成される別の多面体です。このようにして、底面の1つが三角柱の中心線を中心に回転し、正方形の面をねじれた多角形に分割します。各正方形の面は、2つの三角形で再三角形分割して非凸の二面角を形成できます。^{[ 21 ]}その結果、シェーンハルト多面体は、分割によって四面体に三角形分割することはできません。また、シェーンハルト多面体には内部対角線がありません。^{[ 22 ]}これは、1928年にこれを記述したドイツの数学者エーリッヒ・シェーンハルトにちなんで名付けられましたが、関連する構造は1921年に芸術家のカールリス・ヨハンソンスによって展示されました。 ^{[ 23 ]}

三角柱は、その中点の辺の凸包から正立させることができます。結果として得られる構成では、三角柱の正方形の面と同じ平面上に 3 つの正方形の面、三角柱の三角形の端の平面上に 2 つの正三角形の面、さらに 6 つの二等辺三角形の面が得られます。グラフを生成することにより、その双対は、ハーシェル九面体と呼ばれる別の凸多面体を形成します。^{[ 24 ]}

三角柱の複合体

共通の中心を共有することで構成できる三角柱の数は4つあります。4つの均一な三角柱の複合体は、4つの三角柱の複合体、8つの三角柱の複合体、10の三角柱の複合体、20の三角柱の複合体です。^{[ 25 ]}

三角柱とジャイロビファスティギウムによるハニカム構造

三角柱はプレシオヘドロンであり、ハニカムを作成するために対称デローネ集合のボロノイセルとして定義できる空間充填多面体です。三角柱は三角柱ハニカムの原型です。^{[ 26 ]}

2 つの三角柱と正方形の面で構成されるジャイロビファスティギウムは、回転した三角柱ハニカムの空間をタイル張りできる唯一のジョンソン立体です。 [ ^{27 ]それ}にもかかわらず、面と面を合わせてタイル張りしたセルの中心にある点 (対称性によってそこに行かざるを得ない) は、異なる形状のボロノイ セルを持つため、プレシオヘドロンではなく立体です。ジャイロビファスティギウムが二等辺直角三角形と銀色の長方形を持つ場合、それはプレシオヘドロンです。

三角柱は、半正多面体の次元系列の最初のものです。各漸進的​​な均一多面体は、前の多面体の頂点図形として構成されます。トロルド・ゴセットは、 1900 年にこの系列がすべての正多面体の面を含み、すべての単体と直交多面体(三角柱の場合は正三角形と正四角形) を含むことを特定しました。コクセターの記法では、三角柱には− 1 ₂₁という記号が与えられます。

三角柱は、以下のような多数の4次元均一4多面体のセルとして存在する。