八面体数

数論において、八面体数とは、密に詰まった球から形成される八面体中の球の数を表す図形数である。n番目の八面体数は次の式で求められる: ^[1]${\displaystyle O_{n}}$

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

最初のいくつかの八面体数は次のとおりです。

1、6、19、44、85、146、231、344、489、670、891（OEISの配列A005900）。​​​​​​

八面体数は生成関数を持つ

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^ {n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

フレデリック・ポロック卿は1850年に、すべての正の整数は最大7つの八面体数の和であると予想しました。 ^[2]この命題はポロックの八面体数予想と呼ばれ、有限個を除くすべての数に対して正しいことが証明されています。^[3]

化学では、八面体数は八面体クラスター内の原子の数を表すために使用されることがあり、この文脈では魔法数と呼ばれます。^{[4] [5]}

球の八面体パッキングは、正方形の断面に沿って分割することで、2つの四角錐に分割することができます。したがって、番目の八面体数は、2つの連続する四角錐の数を加算することで得られます。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle O_{n}}$

${\displaystyle O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.}$

が番目の八面体数で、が番目の 四面体数である場合、${\displaystyle O_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}$

これは、八面体の隣接していない 4 つの面のそれぞれに四面体を接着すると、2 倍の大きさの四面体が生成されるという幾何学的な事実を表しています。

八面体の数と四面体の数の間には、八面体がそれぞれ 2 つの隣接する元の面を持つ 4 つの四面体に分割できるという事実に基づいて、別の関係も考えられます (または、各四角錐の数は 2 つの四面体の数の合計であるという事実に基づいています)。

${\displaystyle O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.}$

2つの四面体を八面体の反対側の面に取り付けると、菱面体になります。^[6]菱面体の最密球の数は立方体であり、次の式が成り立ちます 。

${\displaystyle O_{n}+2T_{n-1}=n^{3}.}$

二つの連続する八面体数の差は中心平方数である: ^[1]

${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

したがって、八面体数は、中心に正方形を積み重ねて形成される四角錐の点の数も表す。このため、フランチェスコ・マウロリコは著書『算術二元論』（1575年）の中で、これらの数を「pyramides quadratae secundae」と呼んだ。^[7]

中心の正方形を積み重ねて形成される八面体内の立方体の数は、中心八面体数、つまり連続する2つの八面体数の合計です。これらの数は

1、7、25、63、129、231、377、575、833、1159、1561、2047、2625、...（OEISの配列A001845）

式によって与えられる

${\displaystyle O_{n}+O_{n-1}={\frac {(2n-1)(2n^{2}-2n+3)}{3}}}$n = 1、2、3、...の場合

八面体数に関する最初の研究は、 1630年頃のルネ・デカルトの著書『立体素数について』によるものと思われる。デカルト以前にも、図形数は古代ギリシャ人やヨハン・ファウルハーバーによって研究されていたが、多角形数、錐体数、立方体についてのみであった。デカルトは、プラトン立体と一部の半正多面体に基づく図形数の研究を導入し、その研究には八面体数も含まれていた。しかし、『立体素数について』は失われ、1860年まで再発見されなかった。その間に、八面体数は1774年にフリードリヒ・ヴィルヘルム・マルプルグ、1808年にゲオルク・ジーモン・クルーゲル、1850年にフレデリック・ポロック卿など他の数学者によって再び研究されていた。 ^[8]

• ワイスシュタイン、エリック W.、「八面体数」、MathWorld