ピタゴラスの三つ組

ピタゴラス数列は、 3つの正の整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ で構成され、 $a 2 + b 2 = c 2$ が成り立ちます。このような数列は一般に $(a 、 b 、 c)$ と表記され、よく知られている例は $(3, 4, 5)$ です。 $(a 、 b 、 c)$ がピタゴラス数列である場合、任意の正の整数 $k$ $に対して(ka 、 kb 、 kc)$ もピタゴラス数列です。辺の長さがピタゴラス数列である三角形は直角三角形であり、ピタゴラス三角形と呼ばれます。

原始ピタゴラス数列は、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ が互いに素である（つまり、 1 より大きい公約数を持たない）数列です。^[1]たとえば、 $(3, 4, 5)$ は原始ピタゴラス数列ですが、 $(6, 8, 10) は$ そうではありません。すべてのピタゴラス数列は、 $(a 、 b 、 c)を$ 最大公約数で割ることで、一意の原始ピタゴラス数列にスケーリングできます。逆に、すべてのピタゴラス数列は、原始ピタゴラス数列の要素に正の整数（3 つの要素に対して同じ）を掛けることで取得できます。

この名前はピタゴラスの定理に由来しており、すべての直角三角形の辺の長さは公式を満たすと述べています。したがって、ピタゴラスの三つ組は、直角三角形の 3 つの整数の辺の長さを表します。ただし、非整数の辺を持つ直角三角形はピタゴラスの三つ組を形成しません。たとえば、辺がとの三角形は直角三角形ですが、2 の平方根は整数でも整数の比でもないため、ピタゴラスの三つ組ではありません。さらに、は無理数であるため、とには整数の公倍数がありません。 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a=b=1$ $c={\sqrt {2}}$ $(1,1,{\sqrt {2}})$ $1$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

ピタゴラスの三つ組は古代から知られていました。最も古い記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板、プリンプトン322に60進法で書かれています。^[2]

整数解を求める場合、方程式 $a 2 + b 2 = c 2$ はディオファントス方程式です。したがって、ピタゴラス数列は非線形ディオファントス方程式の最も古い既知の解の 1 つです。

例

100 までの原始ピタゴラス数列は 16 個あります。

(6, 8, 10) などの他の小さなピタゴラス数列は、原始数ではないためリストに含まれていません。たとえば、(6, 8, 10) は (3, 4, 5) の倍数です。

これらの各ポイント（およびその倍数）は、右側の散布図で放射状の線を形成します。

さらに、300 までの残りの原始的なピタゴラス数列は次のとおりです。

トリプルの生成

グラフ上で三角形として示される原始ピタゴラス数列 — 原始的なピタゴラスの三つ組。奇数辺 $a は$ 水平軸に、偶数辺 $b は垂直軸にプロットされます。曲線グリッドは、ユークリッドの公式の定数$ $m - n$ と定数 $m + n$ の曲線で構成されます。

ユークリッドの公式^{[3]は、任意の整数} $m$ と $n$ $（m > n > 0）$ のペアからピタゴラス数列を生成するための基本的な公式である。この公式は、整数が

a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}

ピタゴラスの三つ組を形成する。例えば、

m=2,\ \,n=1

プリミティブトリプル（3,4,5）を生成する。

a=2^{2}-1^{2}=3,\ \,b=2\times 2\times 1=4,\ \,c=2^{2}+1^{2}=5.

ユークリッドの公式によって生成される三つ組は、 $m$ と $n が$ 互いに素で、そのうちのちょうど一つが偶数である場合にのみ原始的である。 $m$ と $n が$ 両方とも奇数の場合、 $a$ 、 $b$ 、 $cは偶数となり、三つ組は原始的でなくなる。しかし、$ $m$ と $nが互いに素である場合、$ $a$ 、 $b$ 、 $c を$ 2 で割ると原始的三つ組が得られる。^[4]

すべての原始三つ組は ( $a$ が偶数の場合、 $a$ と $b$ の交換後に)互いに素な数 $m$ 、 $n$ の一意のペアから生じ、そのうちの 1 つは偶数です。したがって、原始ピタゴラス三つ組は無限に存在することになります。ユークリッドの公式による $a$ 、 $b 、$ $c$ と $m$ 、 $n$ の関係は、この記事の残りの部分で参照されます。

ユークリッドの公式は、すべての基本的な三つ組を生成しますが、すべての三つ組を生成するわけではありません。たとえば、整数 $m$ と $n を$ 使用して (9, 12, 15) を生成することはできません。これは、追加のパラメータ $k を$ 公式に挿入することで解決できます。次の式は、すべてのピタゴラスの三つ組を一意に生成します。

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})

ここで、 $m$ 、 $n$ 、 $k は、$ $m > n を$ 満たす正の整数であり、 $m$ と $n は$ 互いに素であり、両方とも奇数ではありません。

これらの式がピタゴラス数列を生成することは、初等代数を使用して $a 2 + b 2$ を展開し、結果が $c$ $2$ に等しいことを検証することで確認できます。すべてのピタゴラス数列を何らかの整数 $k$ で割って原始数列を得ることができるため、 $m$ と $n を含む式を使用してその原始数を生成し、最後の式のように$ $k$ を掛け合わせることで、すべての数列を一意に生成できます。

$特定の整数列からm$ と $nを$ 選択すると興味深い結果が得られます。たとえば、 $m$ と $nが$ 連続するペル数の場合、 $a$ と $bは$ 1だけ異なります。^[5]

ユークリッドの時代以来、特定の特性を持つ三つ組を生成するための多くの公式が開発されてきました。

ユークリッドの公式の証明

ユークリッドの公式がa、b、cで満たされれば三角形がピタゴラス三角形となることは、正の整数 $m$ と $n$ （ $m > n）$ に対して、公式で与えられる $a$ 、 $b$ 、 $cが$ すべて正の整数であるという事実と、

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.

あらゆる原始ピタゴラス数列に対してa、b、c がユークリッドの公式によって表される必要があることの証明は、次のとおりです。^{[6]このような原始数列はすべて} $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)$ と表すことができます。ここで、 $a$ $2$ $+$ $b$ $2$ $=$ $c$ $2$ であり、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ は互いに素です。したがって、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ は互いに素です(素数がそのうちの 2 つを割り切れる場合、3 つ目の数も割り切れるはずです)。 $a$ と $b$ は互いに素なので、少なくとも 1 つは奇数です。 $a$ が奇数であると仮定すると、 $b$ は偶数で $c$ は奇数です ( $a$ と $b$ が両方とも奇数の場合、 $c は$ 偶数になり、 $c$ $2 は$ 4 の倍数になりますが、 $a$ $2$ $+$ $b$ $2 は$ 4 を法として 2 に合同になり、奇数の平方は 4 を法として 1 に合同です)。

から、 $a が$ 奇数であると仮定します。したがってが得られます。次にです。は有理数なので、最小の項でに等しく設定します。したがってはの逆数です。次にを解くと $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ $(c-a)(c+a)=b^{2}$ ${\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(c-a)}}$ ${\tfrac {(c+a)}{b}}$ ${\tfrac {m}{n}}$ ${\tfrac {(c-a)}{b}}={\tfrac {n}{m}}$ ${\tfrac {(c+a)}{b}}$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

のためにそして与える ${\tfrac {c}{b}}$ ${\tfrac {a}{b}}$

{\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

が完全に約分されているため、 $m$ と $n は$ 互いに素であり、両方が偶数になることはありません。両方が奇数の場合、の分子は4 の倍数になります (奇数の平方は 4 を法として 1 と合同であるため)。また、分母 2 mn は4 の倍数ではありません。4 は分子の最小の偶数因数であり、2 は分母の最大の偶数因数であるため、 $a は$ 奇数として定義されているにもかかわらず、偶数であることを意味します。したがって、 $m$ と $n$ の一方が奇数で、もう一方が偶数であり、分母 2 mnの 2 つの分数の分子は奇数です。したがって、これらの分数は完全に約分されています (この分母を割り切る奇数の素数は、 $m$ と $nの一方を割り切れますが、もう一方は割り切れません。したがって、$ $m$ $2$ $\pm$ $n$ $2$ を割り切れません)。したがって、分子を分子と、分母を分母と等しくすることができ、ユークリッドの公式が得られます。 ${\tfrac {m}{n}}$ ${\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}$

a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}

m

と

n は

互いに素であり、偶奇が逆である。

より長いが、より一般的な証明は、Maor (2007) ^[7]とSierpiński (2003) ^[8]で与えられている。別の証明は、ディオファントス方程式 § ピタゴラスの三つ組の例で、2次のすべての同次ディオファントス方程式に適用される一般的な方法の例として与えられている。

ユークリッドの公式におけるパラメータの解釈

ピタゴラス三角形の辺の長さが $m 2 - n 2$ 、 $2 mn$ 、 $m 2 + n 2$ で、長さ $m 2 - n 2$ の辺と長さ $m$ $2$ $+$ $n$ $2$ の斜辺の間の角度が $β$ で表されているとします。このとき、全角の三角関数の値は、、、およびです。^[9] $\tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}$ $\sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}$ $\cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}$ $\tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}$

変種

ユークリッドの公式の次の変形は、 $m$ と $n$ $に関してより対称的であるため（ m$ と $n$ に対して同じパリティ条件）、より便利な場合があります。

$m$ と $nが$ $m > n$ となる奇数の整数である場合、

a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}

は、ピタゴラス数列を形成する 3 つの整数であり、 $m$ と $nが互いに素である場合にのみ原始ピタゴラス数列となります。逆に、すべての原始ピタゴラス数列は ($ $a$ が偶数の場合、 $a$ と $b$ を交換した後) 互いに素である奇数の一意のペア $m$ $>$ $n$ $> 0から生じます。$

交換しない1つのそしてb

上記のプレゼンテーションでは、すべてのピタゴラス数列は、ユークリッドの公式から「aが偶数の場合、aとb を交換した後」に一意に得られると述べられています。ユークリッドの公式と上記の変形を次のように結合してこの交換を回避すると、次の結果が得られます。

あらゆる原始ピタゴラス数列は一意に表すことができる

a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),

ここで、 $m$ と $n は$ 互いに素な正の整数であり、 $m$ と $n$ が両方とも奇数の場合、それ以外の場合。同様に、 $a$ が奇数の場合、 $a$ が偶数の場合も同様です。 $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ $\varepsilon =1$ $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ $\varepsilon =1$

原始ピタゴラス数の基本的性質

一般的なプロパティ

原始ピタゴラス数列 $(a 、 b 、 c)$ において、 $a < b < c ($ $a$ と $b$ のどちらが偶数でどちらが奇数かを指定しない) の特性には次のものがあります。

${\tfrac {(c-a)(c-b)}{2}}$ は常に完全平方である。^[10]これは必要条件であって十分条件ではないので、与えられた三つ組の数がピタゴラス三つ組でないかどうかを調べるのに使うことができる。例えば、三つ組 ${6, 12, 18}$ と ${1, 8, 9}はそれぞれ$ $(c - a)(c - b)/2$ が完全平方であるというテストに合格するが、どちらもピタゴラス三つ組ではない。
3 つの数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ が原始ピタゴラス数列を形成する場合、 $(c から偶数の数を引いたもの)と$ $(c から奇数の数を引いたもの)$ の半分は両方とも完全平方数です。ただし、これは十分な条件ではありません。数 ${1、8、9}は完全平方テストに合格しますが、$ $12 + 8 2 \neq 9 2$ なのでピタゴラス数列ではありません。
$a$ 、 $b$ 、 $c$ のうち最大で1つが正方形である。^[11]
ピタゴラス三角形の面積は整数の平方^[12]^{: p. 17}または平方^[12]^{: p. 21 の2倍にはならない。}
$a$ 、 $b$ のうち1つは2で割り切れる（偶数）であり、斜辺 $cは$ 常に奇数である。^[13]
$a$ 、 $b$ のうちの1つは3で割り切れるが、 $c は3$ で割り切れない。^[14]^[8]^{: 23–25}
$a$ 、 $b$ のうち正確に1つは4で割り切れますが、^[8] $cは$ 絶対に割り切れません（ $c$ が偶数にならないため）。
$a$ 、 $b$ 、 $c$ のうち1つは5で割り切れる。^[8]
abcを常に割り切れる最大の数は60である。^[15]
$2 m +1 の$ 形式の任意の奇数（ここで $m$ は整数で、 $m >1$ ）は、原始ピタゴラス数列の奇数部になることができます。以下のほぼ二等辺の原始ピタゴラス数列のセクションを参照してください。ただし、原始ピタゴラス数列の偶数部になることができるのは、4 で割り切れる偶数だけです。これは、上記のユークリッドの偶数部公式が $2 mn$ であり、 $m$ または $n$ のいずれかが偶数でなければならないためです。
斜辺 $c$ （常に奇数）は、2つの平方数の和です。これには、その素因数がすべて $4$ $n$ $+ 1$ の形式の素数である必要があります。^{[16]したがって、 c は} $4 n + 1$ の形式です。原始ピタゴラス数列の可能な斜辺数は、（OEISのシーケンスA008846）で見つけることができます。
面積 $（ K = ab /2）は6で割り切れる$ 合同な数^[17]である。
すべてのピタゴラス三角形において、内接円の半径と3つの外接円の半径は正の整数である。具体的には、原始三辺の場合、内接円の半径はr = n ( m − n ) であり、 $辺 m 2 - n 2、2mn 、斜辺$ $m 2 + n 2$ の $反対$ $側$ $の$ $外接$ $円$ の半径はそれぞれ $m$ $($ $m$ $-$ $n$ $)$ 、 $n$ $($ $m$ $+$ $n$ $)$ 、 $m$ $($ $m$ $+$ $n$ $)$ である。^[18]
任意の直角三角形の場合、タレスの定理の逆は、外接円の直径が斜辺に等しいことを示しています。したがって、原始的な三つ組の場合、外接直径は $m 2 + n 2$ であり、外接半径はこの半分であり、したがって有理数ですが整数ではありません ( $m$ と $n は$ 逆の偶奇性を持つため)。
ピタゴラス三角形の面積に内接円と 3 つの外接円の曲率を掛けると、それぞれ4 つの正の整数 $w > x > y > z$ $が得られます。整数- w 、 x 、 y 、 z は$ デカルトの円方程式を満たします。^{[19]同様に、任意の直角三角形の}外側のソディ円の半径は、その半周に等しくなります。外側のソディ中心は $D$ に位置し、 $ACBD$ は長方形、 $ACB は$ 直角三角形、 $AB は$ 斜辺です。^[19]^{: p. 6}
原始ピタゴラス数列の2辺だけが同時に素数となり得る。これは、原始ピタゴラス数列を生成するユークリッドの公式によれば、1辺は合成数かつ偶数でなければならないためである。^[20]しかし、1辺だけが完全累乗の整数となり得る。なぜなら、2辺が等しい指数を持つ完全累乗の整数であれば、、およびが互いに素であるディオファントス方程式に整数解が存在しないという事実と矛盾するからである。^[21] $p\geq 2$ $p$ $x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}$ $x$ $y$ $z$
ピタゴラス三角形の斜辺と一辺が別のピタゴラス三角形の辺であるようなものは存在しない。これはフェルマーの直角三角形定理の同値な形式の一つである。^[12]^{: p. 14}
$それぞれの原始ピタゴラス三角形の面積K$ と半周の二乗s $の$ 比はそれぞれ固有であり、^{[22]で与えられる。}

{\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.

原始ピタゴラス三角形は斜辺からの高さが整数ではありません。つまり、すべての原始ピタゴラス三角形は分解不可能です。^[23]
すべての原始ピタゴラス数列の集合は、自然な形で根付き三分木を形成します。「原始ピタゴラス数列のツリー」を参照してください。
ピタゴラス三角形の鋭角はいずれも有理数度にはなり得ない。^{[24] （これは}ニーヴンの定理に従う。）

特別なケース

さらに、特定の追加特性を持つ特別なピタゴラス数列が存在することが保証されます。

2 より大きい整数で2 mod 4 と合同でない整数(言い換えると、 $4$ $k$ $+ 2$ の形式ではない $2$ より大きい整数) はすべて、原始ピタゴラス数列の一部です。 (整数が $4$ $k の形式である場合、ユークリッドの公式で$ $n$ $= 1$ および $m$ $= 2$ $k$ を取ることができます。整数が 2 $k$ $+ 1$ である場合、 $n$ $=$ $k$ および $m$ $=$ $k$ $+ 1$ を取ることができます。)
2 より大きい整数はすべて、原始ピタゴラス数列または非原始ピタゴラス数列の一部です。たとえば、整数 6、10、14、18 は原始数列の一部ではありませんが、非原始数列 $(6、8、10)$ 、 $(14、48、50)$ 、 $(18、80、82)$ の一部です。
ピタゴラスの三つ組のうち、斜辺と最長の辺の差がちょうど 1 であるものは、無限に存在します。このような三つ組は必然的に原始的であり、形式は $(2 n + 1, 2 n 2 + 2 n, 2 n 2 + 2 n +1)$ です。これは、条件により三つ組が原始的であることが示され、 $(m 2 + n 2) - 2 mn = 1を証明する必要があることを指摘することで、ユークリッドの公式から得られます。これは、$ $(m - n) 2 = 1 を$ 意味し、したがって $m = n + 1です。したがって、ユークリッドの公式で$ $n$ $+ 1を$ $m$ に置き換えると、三つ組の上記の形式が得られます。
斜辺と最長の辺の差がちょうど 2 である原始ピタゴラス数列は無数に存在します。これらはすべて原始数列であり、ユークリッドの公式に $n = 1$ を代入することで得られます。より一般的には、 $k > 0 のすべての整数に対して、斜辺と奇数辺の差が$ $2 k 2$ である原始ピタゴラス数列が無数に存在します。これらはユークリッドの公式に $n = k を$ 代入することで得られます。
2 つの辺がちょうど 1 だけ異なるピタゴラス数列は無数に存在します。たとえば、20 ² + 21 ² = 29 ²です。これらは、がに収束する場合のユークリッドの公式によって生成されます。 ${\tfrac {m-n}{n}}$ ${\sqrt {2}}$
それぞれの正の整数 $k$ に対して、斜辺が異なり面積が同じである $k 個$ のピタゴラス数列が存在します。
それぞれの正の整数 $k$ に対して、同じ脚 $aを持つ$ $k$ 以上の異なる原始ピタゴラス数列が存在する（ $a は$ 何らかの正の整数である（偶数脚の長さは 2 mnであり、 $a を$ さまざまな因数分解で選択すれば十分である。たとえば、 $a$ $= 4$ $b$ であり、 $bは$ $k 以上$ の異なる奇数素数の積である。これにより、少なくとも $2$ $k$ 以上の異なる原始数列が生成される）。^[8]^{: 30}
それぞれの正の整数 $k$ に対して、同じ斜辺を持つ少なくとも $k個の$ ^{異なるピタゴラス数列が存在する。 [8]}^{: 31}
$c = p e が$ 素数累乗である場合、素数 $p が$ $4$ $n$ $+ 1 の$ 形式を持つ場合に限り、原始ピタゴラス数列 $a 2 + b 2 = c 2$ が存在する。この数列は、 aとbの交換を除いて一意である。
より一般的には、正の整数 $c が$ 原始ピタゴラス数列の斜辺となるのは、 $c$ の各素因数が $4$ を法として $1$ と同値である場合、つまり各素因数が $4$ $n$ $+ 1 の形である場合に限ります。この場合、$ $a$ $<$ $b$ となる原始ピタゴラス数列 $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)の数は$ $2$ $k$ $-1$ であり、 $k は$ $c$ の異なる素因数の数です。^[25]
$ピタゴラス数列は、斜辺cと辺$ $a + b$ の和がともに平方数であるものが無数に存在する。フェルマーによれば、そのような最小の数列^[26]は、辺が $a = 4,565,486,027,761$ 、 $b = 1,061,652,293,520$ 、 $c = 4,687,298,610,289$ である。ここで、 $a + b = 2,372,159 2$ 、 $c = 2,165,017 2 である。これは、パラメータ値が$ $m = 2,150,905$ 、 $n = 246,792$ であるユークリッドの公式によって生成される。
斜辺からの高さが整数である非原始ピタゴラス三角形が存在する。^[27]^[28]このようなピタゴラス三角形は、この高さに沿って2つの別々の小さなピタゴラス三角形に分割できるため、分解可能として知られている。 ^[23]

ユークリッドの公式の幾何学

単位円上の有理点

ユークリッドのピタゴラス三倍体の公式

a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}

単位円上の有理点の幾何学の観点から理解することができる(Trautman 1998)。

実際、座標 $($ $x$ $,$ $y$ $)を持つ$ 直交平面上の点は、 $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $= 1$ のとき単位円に属します。 x $と$ y $が$ 有理数である場合、つまり互いに素な整数 $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ が存在し、

{\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.

両方の要素に $c 2$ を掛けると、円上の有理点が原始ピタゴラス数列と 1 対 1 に対応していることがわかります。

単位円はパラメトリック方程式によって定義されることもある。

x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.

ユークリッドのピタゴラス数列の公式と逆の関係 $t = y / (x + 1)$ は、 $(-1, 0)$ を除いて、円上の点 $(x, y)が有理数であるのは、対応する$ $t$ の値が有理数である場合に限ります。 $t = y / (x + 1) = b / (a + c) = n / m$ $は、長さb$ の三角形の辺と反対側の角度の半分の正接でもあることに注意してください。

立体的アプローチ

単位円の $x$ 軸への立体射影。単位円上の点 $P$ から点 N = (0, 1) (北極 ) まで $線$ $を$ 引きます。線が $x$ 軸と交差する点 $P ' が$ $P$ の立体射影です。逆に、 $x$ 軸上の点 $P$ ′ から始めて、 P ′ から N まで線を引くと $、$ $逆$ 立体射影は線が単位円と交差する $点$ P になります $。$

有理座標を持つ単位円上の点と原始ピタゴラス三元数の間には対応関係があります。この時点で、ユークリッドの公式は三角法によって、または同等に立体投影を使用して導くことができます。

立体的アプローチでは、 $P$ ′ が有理座標を持つ $x$ 軸上の点であると仮定する。

P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).

すると、基本的な代数により、点 $P$ の座標が

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).

これにより、 $x$ 軸上の各有理点は単位円上の有理点に渡ることがわかります。逆に、単位円上のすべての有理点は $x$ 軸上のそのような点から来るということは、逆ステレオ投影を適用することでわかります。 $P$ $($ $x$ $,$ $y$ $)が$ $x$ と $y が$ 有理数である単位円上の点であるとします。すると、 $x$ 軸へのステレオ投影によって得られる点 $P$ ′ の座標は次のようになります。

\left({\frac {x}{1-y}},0\right)

それは合理的です。

代数幾何学の観点では、単位円上の有理点の代数多様体は、有理数上のアフィン直線に対して双有理的である。したがって、単位円は有理曲線と呼ばれ、この事実により、有理関数を用いて単位円上の（有理数の）点を明示的にパラメータ化することが可能になる。

2D 格子内のピタゴラス三角形

2D格子は孤立した点の規則的な配列であり、任意の 1 つの点をデカルト原点 (0, 0) として選択すると、他のすべての点は $(x, y)$ にあり、 $x$ と $y は$ すべての正負の整数にわたります。 3 つの要素 $(a, b, c)を持つ任意のピタゴラス三角形は、座標$ $(0, 0)$ 、 $(a, 0)$ 、および $(0, b)$ を頂点とする 2D 格子内に描くことができます。三角形の境界内に厳密に存在する格子点の数は ^[29]で与えられます。原始ピタゴラス 3 つの要素の場合、この内部格子数はです。面積 (ピックの定理により、内部格子数から 1 を引いた値に境界格子数の半分を加えた値) はに等しくなります。 ${\tfrac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}};$ ${\tfrac {(a-1)(b-1)}{2}}.$ ${\tfrac {ab}{2}}$

同じ面積を共有する 2 つの原始ピタゴラス数列の最初の出現は、辺が $(20, 21, 29)、(12, 35, 37) で$ 、共通面積が 210 である三角形で発生します ( OEISのシーケンスA093536 ) 。同じ内部格子数を共有する 2 つの原始ピタゴラス数列の最初の出現は $、(18108, 252685, 253333)、(28077, 162964, 165365)$ で、内部格子数は 2287674594 です ( OEISのシーケンスA225760 )。同じ面積を共有する 3 つの原始ピタゴラス数列が発見されています: $(4485, 5852, 7373)$ 、 $(3059, 8580, 9109)$ 、 $(1380, 19019, 19069)、$ 面積は 13123110 です。これまでのところ、同じ内部格子数を共有する 3 つの原始ピタゴラス数列のセットは発見されていません。

原始ピタゴラス数列の列挙

ユークリッドの公式により、すべての原始ピタゴラス数列は、、奇数、の整数およびから生成できます。したがって、が区間にあり、が奇数である原始ピタゴラス数列に、有理数 (最低の項で) の 1 対 1 のマッピングが存在します。 $m$ $n$ $m>n>0$ $m+n$ $\gcd(m,n)=1$ ${\tfrac {n}{m}}$ $(0,1)$ $m+n$

となる原始的な三つ組から有理数への逆写像は、との二つの和を調べることによって達成されます。これらの和の 1 つはと等しくなる平方になり、もう一方はと等しくなる平方の 2 倍になります。これで有理数を決定することができます。 $(a,b,c)$ $c>b>a>0$ ${\tfrac {n}{m}}$ $a+c$ $b+c$ $(m+n)^{2}$ $2m^{2}$ ${\tfrac {n}{m}}$

原始ピタゴラス数列を列挙するためには、有理数を順序付きペアとして表現し、カントールのペアリング関数などのペアリング関数を使用して整数にマッピングすればよい。例は（ OEISのシーケンスA277557 ）で見ることができる。それは次のように始まる。 $(n,m)$

8,18,19,32,33,34,\dots

そして有理数を与える

{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{6}},\dots

これらは、プリミティブトリプルを生成する。

(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots

スピノルとモジュラー群

ピタゴラス数列も同様に次の形式の正方行列にコード化できる。

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

この形式の行列は対称行列である。さらに、 $X$ の行列式は

\det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,

$これは、 (a 、 b 、 c)$ がピタゴラス数列のときに正確にゼロになります。X $が$ ピタゴラス数列に対応する場合、行列としての階数は1 でなければなりません。

$X$ $は$ $対称$ $な$ ので、線型 $代数$ の結果から、 $外積$ $が$

が成り立ち、ここで $Tは$ 行列の転置を表す。ξと-ξは同じピタゴラス数列を生成するので、ベクトルξはスピノルとみなすことができる（ローレンツ群SO(1, 2)の場合）。抽象的な言葉で言えば、ユークリッド公式は、各原始ピタゴラス数列が（ 1 ）のように整数要素を持つスピノルのそれ自身との外積として表すことができることを意味している。

モジュラー群Γは整数要素を持つ2×2行列の集合である。

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

行列式が 1 である: $αδ - βγ = 1$ 。この集合は群を形成する。なぜなら、Γ 内の行列の逆行列は再び Γ に含まれ、また Γ 内の 2 つの行列の積も Γ に含まれるからである。モジュラー群はすべての整数スピノルの集合に作用する。さらに、この群は互いに素な要素を持つ整数スピノルの集合に対して推移的である。 $[m n] T が$ 互いに素な要素を持つ場合、

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}

ここで、 $u$ と $v は$ （ユークリッドの互除法によって） $mu + nv = 1$ となるように選択されます。

（１ ）のスピノルξに作用することで、Γの作用は、負の成分を持つ可能性のある３つ組を許容する限り、ピタゴラス３つ組への作用へと変化する。したがって、 $A$ $がΓ$ の行列であれば、

は、( 1 ) の行列 $X$ への作用を生じさせる。これは、原始的な三つ組への明確に定義された作用を与えない。なぜなら、原始的な三つ組が非原始的な三つ組になる可能性があるからである。この時点で (Trautman 1998 に従って)、c $>$ $0$ かつ $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)$ が互いに素であるか、( $a$ $/$ $2、$ $b$ $/2、$ $c$ $/2)が互いに素で$ $a$ $/2$ が奇数である場合、三つ組 $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)$ を標準と呼ぶのが便利である。スピノル $[$ $m$ $n$ $]$ $T が$ 互いに素なエントリを持つ場合、( 1 ) によって決定される関連する三つ組 $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)$ は標準三つ組である。したがって、モジュラー群の作用は、標準三つ組の集合上で推移的である。

$あるいは、 m$ が奇数で $n$ が偶数となるような $m$ と $n$ の値に注目する。Γの部分群Γ(2)を群準同型の核とする。

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})

ここで $SL(2, Z 2)は$ 2 を法とする整数の有限体 $Z$ $2$ 上の特殊線型群である。そして Γ(2) は各要素の偶奇性を保存するユニモジュラー変換の群である。したがって、 ξ の最初の要素が奇数で 2 番目の要素が偶数の場合、すべての $A$ $\in Γ(2)について$ $A$ $ξ$ についても同じことが当てはまる。実際、作用 ( 2 ) の下で、群 Γ(2) は原始ピタゴラス数列の集合に対して推移的に作用する (Alperin 2005)。

Γ(2)群は、生成元が行列である自由群である。

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.

$したがって、すべての原始ピタゴラス数列は、行列U$ と $L$ のコピーの積として一意に取得できます。

親子関係

Berggren (1934) の結果によれば、すべての原始ピタゴラス数列は、以下の 3 つの線形変換T ₁、 T ₂、 T _{3 を}使用して (3, 4, 5) 三角形から生成できます。ここで、 $a$ 、 $b$ 、 $c は$ 数列の辺です。

言い換えれば、すべてのプリミティブトリプルは、3つの追加のプリミティブトリプルの「親」になります。a $= 3$ $、$ b $= 4$ 、 $c = 5$ の最初のノードから始めて、操作 $T 1は$ 新しいトリプルを生成します。

(3 − (2×4) + (2×5)、(2×3) − 4 + (2×5)、(2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5 、12、13）、

同様に $T 2$ と $T 3 は$ (21, 20, 29)と(15, 8, 17)という三つ組を生成します。

線型変換T ₁、T ₂、T _3は、二次形式という言語で幾何学的に解釈される。これらは整数上の直交群 $x 2 + y 2 - z 2$ を生成する反射と密接に関連している（ただし同じではない）。 ^[30]

ガウス整数との関係

あるいは、ユークリッドの公式はガウス整数を使って解析し証明することもできる。^[31]ガウス整数は $α$ $=$ $u$ $+$ $vi の$ 形の複素数で、 $u$ と $v$ は通常の整数、 $iは$ 負の1の平方根である。ガウス整数の単位は±1と±iである。通常の整数は有理数整数と呼ばれ、「 $Z$ 」と表記される。ガウス整数は $Z$ $[$ $i$ $]と表記される。$ ピタゴラスの定理の右辺はガウス整数で因数分解できる。

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).

原始ピタゴラス数列は、 $a$ と $b$ が互いに素である数列です。つまり、整数において素因数を共有しません。このような数列では、 $a$ または $b の$ どちらかが偶数で、もう一方が奇数です。したがって、 $c$ も奇数になります。

原始ピタゴラス数列の2つの因数 $z := a + bi$ と $z* := a - bi$ は、それぞれガウス整数の2乗に等しい。これは、すべてのガウス整数は単位までのガウス素数に一意に因数分解できるという性質を使って証明できる。^{[32] （この一意の因数分解は、大まかに言えば、}ユークリッドの互除法のバージョンをそれらに対して定義できるという事実から導かれる。）証明には3つのステップがある。まず、 $a$ と $bが$ 整数の中で素因数を共有しない場合は、ガウス整数の中で素因数を共有しない。（ $a$ $=$ $gu$ 、 $b$ $=$ $gv$ で、ガウス整数 $g$ 、 $u$ 、 $v$ であり、 $g が$ 単位ではないと仮定します。すると、 $u$ と $v は$ 原点を通る同一直線上にあります。このような直線上にあるすべてのガウス整数は、あるガウス整数 $h$ の整数倍です。しかし、整数gh ≠ ±1 は、 $a$ と $b の$ 両方を割り切ります。）次に、 $z$ と $z* も$ 同様にガウス整数において素因数を共有しないことになります。もし素因数を共有していたとしたら、それらの公約数 $δ は、$ $z$ $+$ $z*$ $= 2$ $a$ と $z$ $-$ $z*$ $= 2$ $ib$ も割り切ることになります。 $a$ と $b は$ 互いに素なので、 $δ は$ $2 = (1 + i)(1 - i) = i(1 - i)$ $2$ を割り切ることになります。式 $c$ $2$ $=$ $zz*から、$ $c は$ 偶数であることが示唆されますが、これは原始ピタゴラス数列の仮説に反しています。 3 番目に、 $c$ $2 は$ 平方数なので、その因数分解におけるすべてのガウス素数は 2 倍、つまり偶数回出現します。zと $z* は$ $素因数$ を共有しないので、この 2 倍化はこれらにも当てはまります。したがって、 $z$ と $z*$ は平方数です。

したがって、最初の因子は次のように書ける。

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

この式の実数部と虚数部から次の 2 つの式が得られます。

{\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right).\end{cases}}

$あらゆる原始ピタゴラス数列に対して、これら 2 つの方程式を満たす整数m$ と $n が$ 存在する必要があります。したがって、あらゆるピタゴラス数列は、これらの整数のいくつかの選択から生成できます。

完全な平方ガウス整数として

ガウス整数の二乗を考えると、ユークリッドの公式はガウス整数の完全な二乗を表すものとして次のように直接解釈できます。

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.

ガウス整数はユークリッド領域であり、ガウス整数 p は常に平方であるという事実を利用すると、斜辺が素数である場合、ピタゴラス数列は素数のガウス整数の平方に対応することを示すことができます。 $|p|^{2}$

ガウス整数が素数でない場合は、2 つのガウス整数 p と q の積で、それぞれとです。ガウス整数では絶対値が乗算されるため、積はでなければなりません。これを 2 乗してピタゴラスの三つ組を求めると、合成数になります。逆正答で証明が完了します。 $|p|^{2}$ $|q|^{2}$ $|p||q|$

トリプルの分布

ピタゴラス数列の分布に関する結果は数多くあります。散布図では、すでにいくつかの明らかなパターンが明らかになっています。基本数列の $(a 、 b)の辺がプロットに表示されるときはいつでも、$ $(a 、 b)$ のすべての整数倍もプロットに表示される必要があり、この特性により、図では原点から放射状に伸びる線が表示されます。

散布図には、点の密度が高く、すべての焦点が原点にあり、4 方向すべてに開いている放物線パターンのセットがあります。さまざまな放物線が軸で交差し、45 度の入射角で軸から反射しているように見えます。3 番目の放物線が垂直に入射します。この象限内では、原点を中心とする各弧は、放物線の先端と半直腸との交差点の間にある部分を示しています。

これらのパターンは次のように説明できます。が整数の場合、 ( $a$ , , ) はピタゴラス数列です。(実際、すべてのピタゴラス数列 $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)は、整数$ $n$ でこのように記述できます。 $a$ と $b を$ 入れ替えた後でも可能です。これは、 $a$ と $b が$ 両方とも奇数になることはできないためです。) したがって、ピタゴラス数列は、によって与えられる曲線、つまり、 $a$ 軸で反射された放物線上、および $a$ と $b を$ 入れ替えた対応する曲線上にあります。 $a$ が与えられた $n$ に対して変化すると(つまり、与えられた放物線上)、 $nが正方形または正方形の小さな倍数である場合、$ $b$ の整数値は比較的頻繁に発生します。そのような値がいくつかたまたま近くにあれば、対応する放物線はほぼ一致し、数列は狭い放物線の帯状に集まります。たとえば、 $38$ $2$ $= 1444、2$ × $27$ $2$ $= 1458、3$ $\times 22$ 2 $=$ 1452、5 $\times$ $17$ $2$ $= 1445、10$ × $12$ $2$ $= 1440です。n$ $\approx$ $1450$ 付近の対応する放物線が散布図で明確に確認できます。 $a^{2}/4n$ $|n-a^{2}/4n|$ $n+a^{2}/4n$ $n=(b+c)/2$ $b=|n-a^{2}/4n|$

上で説明した角度特性は、放物線の関数形式から直接導かれます。放物線は $a$ 軸で $a = 2 n$ に反射され、この点での $bの$ $a$ に関する導関数は –1 です。したがって、入射角は 45° です。クラスターは、すべての 3 つ組と同様に、整数倍で繰り返されるため、値 $2 n$ もクラスターに対応します。対応する放物線は $b$ $= 2$ $nで$ $b$ 軸と直角に交差するため、 $a$ と $b を$ 入れ替えると、その反射は $a$ $= 2$ $nで$ $a$ 軸と直角に交差します。これは、 $n$ の放物線が $a$ 軸で反射されるのとまったく同じです。(もちろん、 $a$ と $b を$ 入れ替えた場合も同じです。)

アルバート・フェスラーらは、等角写像の文脈におけるこれらの放物線の重要性についての洞察を提供している。^[33]^[34]

特殊なケースと関連する方程式

プラトンの連鎖

$ピタゴラス数列のより一般的な構成におけるn = 1$ のケースは、古くから知られています。プロクロスは、ユークリッドの 『原論』第 1 巻の第47 命題の解説で、次のように説明しています。

この種の三角形を発見するための特定の方法が伝承されており、1つはプラトン、もう1つはピタゴラスに伝えられている。（後者は）奇数から始める。というのは、奇数を直角の周りの辺のうち小さい方とする。次にその数を2乗し、1を引き、その差の半分を直角の周りの辺のうち大きい方とする。最後にこれに1を加えて残りの辺、つまり斜辺を形成する。
…プラトンの方法論は偶数から議論するからである。与えられた偶数を直角の周りの辺の1つとする。次に、この数を2等分し、半分を2乗し、その2乗に1を加えて斜辺を形成し、その2乗から1を引き、直角の周りのもう1つの辺を形成する。…こうして、他の方法で得られたものと同じ三角形が形成される。

これを方程式にすると次のようになります。

$a は$ 奇数である (ピタゴラス、紀元前 540 年頃)。

{\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.

$a は$ 偶数である (プラトン、紀元前 380 年頃)。

{\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1

適切な再スケーリングにより、基本的なプラトン数列 ( $a$ 、 $(a 2 - 1)/2$ 、 $(a 2 + 1)/2$ )から、 $a$ に非整数の有理数値を許可することで、すべてのピタゴラス数列が得られることが示されています。数列で $a を$ 分数 $m / n$ に置き換えると、結果は再スケーリング後の「標準」数列生成子 (2 mn、 $m 2 - n 2$ 、 $m 2 + n 2$ ) と等しくなります。したがって、すべての数列には対応する有理数 $a$ 値があり、それを使用して相似三角形 (同じ 3 つの角度と、元の三角形と同じ比率の辺を持つ三角形) を生成できます。たとえば、 $(56, 33, 65)$ のプラトン的等価数は、 $a = m / n = 7/4により、$ $(a, (a 2 -1)/2, (a 2 +1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)$ として生成されます。プラトンの数列自体は、ディオファントス II.VIIIに記載されている「正方形の分割」の手順に従うことで導き出すことができます^{[説明が必要]}。

ヤコビ・マッデン方程式

方程式は、

a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}

特別なピタゴラスの三つ組に相当する。

(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}

この方程式には無限の解があります。変数を解くには楕円曲線が関係するからです。小さな解としては、

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400

a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150

2つの平方数の等しい和

解を生成する一つの方法は、a、b、c、dを次のように整数m、n、p、q でパラメータ化することである。^[35] $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$

(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.

2つの4乗の等しい合計

ピタゴラスの三つ組の2つの集合が与えられ、

(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}

(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}

斜辺でない辺と斜辺の等しい積を求める問題、

(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})

は、次の式と同等であることが容易に分かる。

a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}

は、オイラーによってとして初めて解かれました。彼はこれが楕円曲線の有理点であることを示したので、解は無限にあります。実際、彼は 7 次の多項式パラメータ化も発見しました。 $a,b,c,d=133,59,158,134$

デカルトの円定理

すべての変数が正方形であるデカルトの円定理の場合、

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}

オイラーはこれが3つの同時ピタゴラス数列に相当することを示した。

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}

解は無限に存在するが、の特別な場合には、方程式は次のように簡略化される。 $a+b=c$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}

小さな解として、およびは2元二次形式として解くことができます。 $a,b,c,d=3,5,8,14$

ほぼ二等辺のピタゴラス数列

ピタゴラス三角比はいずれも二等辺ではありません。なぜなら、斜辺と他のいずれかの辺の比は√ 2ですが、√ 2 は2 つの整数の比として表すことができないからです。

しかし、直角三角形には、斜辺以外の辺の長さが1だけ異なる整数辺を持つものもある。

3^{2}+4^{2}=5^{2}

20^{2}+21^{2}=29^{2}

他にも無数に存在する。これらは次のように完全にパラメータ化できる。

\left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}

ここで、{ x,y }はペル方程式の解です。 $x^{2}-2y^{2}=-1$

$a$ 、 $b$ 、 $c$ がこのタイプの原始ピタゴラス数列の辺である場合、ペル方程式の解は再帰式で与えられる。

a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2

と

a_{1}=3

a_{2}=20

b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2

と

b_{1}=4

b_{2}=21

c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}

およびと。^[36]

c_{1}=5

c_{2}=29

この原始ピタゴラス数列は、原始ピタゴラス数列の根付き三分木の中央幹 (幹) を形成します。

斜辺と非斜辺の長い方の辺が1だけ異なる場合、例えば

5^{2}+12^{2}=13^{2}

7^{2}+24^{2}=25^{2}

すると、原始ピタゴラス数列 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の完全な解は

a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1

そして

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}

ここで、整数は生成パラメータです。 $m>0$

これは、ほぼ二等辺の原始ピタゴラス数列にすべての奇数(1 より大きい) が現れることを示しています。この原始ピタゴラス数列は、原始ピタゴラス数列の根付き三分木の右側の外側の幹を形成します。

このタイプのほぼ二等辺三角形の原始ピタゴラス三辺形のもう一つの特性は、辺が次のように関係していることである。

a^{b}+b^{a}=Kc

ある整数に対してはが割り切れる。言い換えれば、はのように割り切れる。 $K$ $a^{b}+b^{a}$ $c$

(5^{12}+12^{5})/13=18799189

. ^[37]

ピタゴラス数列のフィボナッチ数列

5から始めて、2番目のフィボナッチ数は、整数の辺を持つ直角三角形の斜辺の長さ、つまり、ピタゴラスの三つ組の最大の数であり、次の式から得られます。この式から得られるピタゴラス三角形の列は、辺の長さが $(F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.$

(3,4,5)、(5,12,13)、(16,30,34)、(39,80,89)、...

これらの三角形の中央の辺は、前の三角形の3辺の合計です。^[38]

一般化

ピタゴラスの三つ組の概念を一般化する方法がいくつかあります。

ピタゴラス $ん$ -タプル

表現

\left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}

は、任意の正の整数の組 $（$ $m$ $1$ $、...、$ $m$ $n$ $）$ に対するピタゴラスの $n組であり、$ $m$ $21 > メートル 22 + ... + メートル 2 位$ ピタゴラスの $n$ 組は、その値の最大公約数で割ることで原始組にすることができます。

さらに、任意の原始ピタゴラスの $n$ 組 $a 21 + ... + 1 つ 2 位 = c 2 は$ この方法で見つけることができます。 $(m 1, ..., m n) = (c + a 1, a 2, ..., a n)$ を使用して上記の式でピタゴラスの $n$ 組を取得し、最大公約数である $2 m 1 = 2(c + a 1)で割ります。これらの$ $(m 1, ..., m n)$ 値の最大公約数で割ると、同じ原始ピタゴラスの $n組が得られます。また、$ $m を$ 満たす互いに素な正の整数 $(m 1, ..., m n)$ の組の間には 1 対 1 の対応があります。 $21 > メートル 22 + ... + メートル 2 位$ および原始ピタゴラスの $n$ 組。

集合的に互いに素な値と原始ピタゴラスの $n$ 組の関係の例としては以下が挙げられる: ^[39] ${\vec {m}}$

{\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}

連続した正方形

$m$ $2から始まる$ $k個$ の連続する正方形の合計 $F (k, m)$ は式^{[40]で与えられるので、}

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}

$F$ $($ $k$ $,$ $m$ $)$ が平方となるような値 $(k, m)$ を見つけることもできる。例えば、項の数自体が平方となるヒルシュホルンの例がある。^[41]

m={\tfrac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},\;k=v^{2},\;F(m,k)={\tfrac {v^{5}+47v}{48}}

そして $v \geq 5$ は2または3で割り切れない任意の整数である。最小の場合 $v = 5$ 、したがって $k = 25では、これは$ ルーカスのよく知られた砲弾積み上げ問題をもたらす。

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}

これはリーチ格子に関連する事実です。

さらに、ピタゴラスの $n$ 組（ $n \geq 4$ ）において、1つを除いてすべての加数が連続している場合、次の式を使用することができる。^[42]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}

$p$ の2乗は打ち消されるので、これは線形であり、 $k$ 、 $mが$ $pが$ 整数になるように選択されれば簡単に解ける。小さな例として $k$ $= 5$ 、 $m$ $= 1$ の場合には、次のようになる。 $p={\tfrac {F(k,m)-1}{2}}$

1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}

したがって、ピタゴラスの $n$ 組を生成する一つの方法は、様々な $x$ に対して、^[43]

x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

ここでq = n –2であり、

p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.

フェルマーの最終定理

ピタゴラス定理の概念を一般化すると、 $a$ $n$ $+$ $b$ $n$ $=$ $c$ $n$ （ただし $n$ は2 より大きい）となる正の整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の定理の探索になります。ピエール・ド・フェルマーは 1637 年に、そのような定理は存在しないと主張しました。この主張は、フェルマーの他のどの予想よりも証明または反証に時間がかかったため、フェルマーの最終定理として知られるようになりました。最初の証明は、 1994 年にアンドリュー・ワイルズによって行われました。

$1 の$ または $ん$ $ん$ 累乗を足すと $ん$ 乗数

$もう 1 つの一般化は、最後の項のn乗が前の項の$ $n乗の合計となる$ $n + 1 個$ の正の整数のシーケンスを検索することです $。n$ の値がわかっている場合の最小のシーケンスは次のとおりです。

$n$ = 3: {3、4、5、6}。
$4$ : {30, 120, 272, 315; 353}
$5$ : {19、43、46、47、67、72}
$7$ : {127、258、266、413、430、439、525、568}
$8$ : {90、223、478、524、748、1088、1190、1324、1409}

$n = 3$ の場合、フェルマーの 3 次方程式と呼ばれ、すべての解を与える一般的な公式が存在します。 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},$

$少し異なる一般化により、 (k + 1)$ $n$ 乗の合計が $(n - k)$ $n$ 乗の合計に等しくなります。例:

( $n = 3$ ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ^{3 、これはハーディが}ラマヌジャンと交わした会話の中で、1729という数字が 2 つの異なる方法で 2 つの立方数の和として表せる最小の数字であるという話を思い出したことで有名になりました。

$n - 1 個の$ 正の整数が存在し、その $n$ 乗を足すと $n$ 乗になる（ただし、フェルマーの最終定理により、 $n = 3 の場合にはそうならない）。これらは$ オイラーの累乗の和予想に対する反例である。最も小さい既知の反例は^[44]^[45]^{[15]である。}

$4 : ( 95800$ , 217519, 414560; 422481)
$5$ : (27, 84, 110, 133; 144 $)$

ヘロンの三角形の3倍

ヘロン三角形は、一般的に、辺が整数で面積も整数である三角形として定義されます。このような三角形の辺の長さは、 $a$ $\leq$ $b$ $\leq$ $c$ に対してヘロン三角定理 $(a, b, c)を形成します。すべてのピタゴラス三角定理はヘロン三角定理です。ピタゴラス三角定理では、辺$ $a$ 、 $b$ の少なくとも 1 つは偶数でなければならないため、面積ab /2 は整数です。ただし、面積 24 の例 $(4, 13, 15)が示すように、すべてのヘロン三角定理がピタゴラス三角定理であるわけではありません。$

$(a, b, c)$ がヘロン三組であれば、 $(ka, kb, kc)$ もヘロン三組です。ここで $k は$ $任意の正の整数です。その面積は、 ($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ 三角形の整数面積の $k 2$ 倍の整数になります。ヘロン三組 $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)は、$ a、b、cが互いに素である場合に原始的です。(原始ピタゴラス三組では、それらが互いに素であるというより強い主張も適用されますが、原始ヘロン三角形では、より強い主張は常に真であるとは限りません。たとえば、 $(7, 15, 20)$ の場合などです。) ピタゴラス三組ではない最も単純な原始ヘロン三組をいくつか示します。

（4, 13, 15）面積24

（3, 25, 26）面積36

（7, 15, 20）面積42

（6, 25, 29）面積60

（11、13、20）面積66

（13、14、15）面積84

（13, 20, 21）面積126

ヘロンの公式によれば、 $a$ $<$ $b$ $<$ $c を$ 満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ がヘロンの公式となるための追加条件は、

(a 2 + b 2 + c 2) 2 - 2(a 4 + b 4 + c 4)です。

または同等

2(a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2) - (a 4 + b 4 + c 4)

16 で割り切れる非ゼロの完全な平方数であること。

暗号への応用

原始ピタゴラス数は暗号においてランダムなシーケンスとして、また鍵の生成に使われてきました。^[46]

参照

注記

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外部リンク

クリフォード代数とユークリッドのピタゴラス数列のパラメータ化
誤ってコピーされた二次方程式の奇妙な結果
ピタゴラスの三つ組の特性、インタラクティブな計算機、パズル、問題に関する議論
等差数列を使ったピタゴラス数列の生成
「ピタゴラス数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
ピタゴラスの3乗のインタラクティブ計算機
負のペル方程式とピタゴラスの三つ組
ピタゴラス数列を多項式の単一の数列でパラメータ化する
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cut-the-knotのピタゴラスの三つ組ピタゴラスの三つ組と単位円の関係を示すインタラクティブアプレット
ピタゴラスの三つ子
三角形の注目すべき内接円
ピタゴラス数列に関連する二次互換ペアの解
ピタゴラスの三つ組の理論的性質と幾何学との関連
結び目を切る原始ピタゴラス三つ組の基礎となる三つ組の木
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[44] キム・スコット(2002 年 5 月)、「Bogglers」、ディスカバー: 82、方程式 w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ = z ⁴はより困難です。1988 年、数学者が 200 年にわたってこの不可能を証明しようと試みた後、ハーバード大学のノアム・エルキーズが反例 2,682,440 ⁴ + 15,365,639 ⁴ + 18,796,760 ⁴ = 20,615,673 ⁴を発見しました。

[45] エルキーズ、ノアム(1988)、「A4 + B4 + C4 = D4 について」、計算数学、51 (184): 825–835、doi :10.2307/2008781、JSTOR 2008781、MR 0930224

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