区間（数学）

区間とは、実数の部分集合であり、その部分集合内の任意の2つの実数の間に存在するすべての実数を含みます。例としては、${\displaystyle x}$1から2へ、${\displaystyle 1\leq x\leq 2}$数字${\displaystyle y}$10より大きい、つまり${\displaystyle y>10}$この定義では、空集合は${\displaystyle \varnothing }$そして実数全体の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$どちらも区間です。^{[ 1 ]}

区間の端点は、実数として存在する場合、その上限（最小上界）と下限（最大下界）である。[ 1 ]下限が^存在せず、かつ区間が空でない場合、対応する端点は負の無限大であるとよく言われる。${\displaystyle -\infty .}$同様に、空でない区間の上限が存在しない場合、対応する端点は正の無限大であると言い、${\displaystyle +\infty .}$

空でない区間は、その端点と各端点が区間に属するかどうかによって完全に決定されます。これは、実数の最小上界の性質の結果であり、空でない区間の要素がすべてある有限値より小さい場合、その区間には上限があることを意味します。この特徴付けは、次の方法で区間を指定するために使用されます。区間表記では、角括弧または丸括弧（丸括弧）は、端点が区間に含まれるかどうかを示します。

1開区間は終点を含まず、括弧で簡潔に示すことができます。 ^{[ 2 ]}例えば、${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$すべての実数の区間は${\displaystyle 0}$そしてそれ以下${\displaystyle 1}$（この区間は次のように表すこともできます。）${\displaystyle ]0,1[}$（下記参照）。開区間${\displaystyle (0,+\infty )}$より大きい実数で構成される${\displaystyle 0}$すなわち、正の実数。したがって、開区間は次のいずれかの形をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\\(a,a)&=\emptyset ,\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は実数で、${\displaystyle a<b.}$最後のケースでは、結果として得られる区間は空集合であり、 に依存しません。${\displaystyle a}$開区間とは、実数上の通常の位相において開集合となる区間であり開集合の基底を形成する。

A閉区間とは、両端が有限である区間のことです。 ^{[ 2 ]}閉区間は角括弧で表されます。例えば、[0, 1]01以下を含む閉区間です。閉区間は定義上空ではありません。したがって、すべての閉区間は次の形式をとります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\;[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle a<b}$1点からなる区間${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$は、退化閉区間と呼ばれることもある。 ^{[ 3 ]}

閉区間に加えて${\displaystyle [a,b]}$解析でよく見られる、有限の端点を含む非有界区間、例えば${\displaystyle [a,\infty )}$または${\displaystyle (-\infty ,b]}$これらは位相的に閉じている（つまり、境界点のすべてが実数である）が、解析学では通常「閉区間」とは呼ばれず、その用語は閉じていて有界な場合に用いられる。有界な閉区間と半無限閉区間、および区間${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$実数上の通常の位相において閉集合となる区間から構成される。

A半開区間は、 2つの異なる有限な端点を持ち、一方の端点を含みますが、もう一方の端点は含みません。除外される端点が左側にあるか右側にあるかによって、左開区間または右開区間^{と呼ばれます。これらの区間は、開区間と閉区間の表記法を混ぜて表されます。 [ 4 ]}例えば、(0, 1 ]は0より1以下、 [ 0, 1)0以上1未満。半開区間は次の形式をとります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}.\\\end{aligned}}}$

要約すると、実数の集合が区間であるのは、それが開区間、閉区間、または半開区間である場合に限る。上記の分類で2回出現する区間は、${\displaystyle \emptyset }$そして​​${\displaystyle \mathbb {R} }$開いているものと閉じているものの両方である。^{[ 5 ] [ 6 ]}

A退化区間とは、単一の実数からなる任意の集合（すなわち、 [ a , a ]の形の区間）のことである。 ^{[ 7 ]}一部の著者はこの定義に空集合を含める。空でも退化でもない実数区間は、適切であり、無限に多くの要素を持つ。

区間は、そのすべての要素よりも小さい実数または大きい実数が存在する場合、それぞれ左有界または右有界であると言われます。区間は、左有界かつ右有界である場合、有界であると言われ、そうでない場合は有界でないと言われます。片方の端のみが有界である区間は、半有界であると言われます。空集合は有界であり、すべての実数の集合は、両端が有界でない唯一の区間です。有界区間は、一般に有限区間とも呼ばれます。

有界区間は、その直径（両端点間の絶対差に等しい）が有限であるという意味で、有界集合です。直径は、区間の長さ、幅、尺度、範囲、またはサイズと呼ばれることがあります。非有界区間のサイズは通常+∞と定義され、空区間のサイズは0と定義されるか、未定義のままにされます。

端点がaとbである有界区間の中心（中点）は( a + b ) / 2 であり、その半径は| a − b | /2 の半分の長さです。これらの概念は、空区間または非有界区間では定義されません。

区間は、最小値（他のすべての要素よりも小さい要素）を含まない場合に限り左開区間、最大値を含まない場合に右開区間、どちらも含まない場合は開区間と呼ばれます。例えば、区間[ 0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1}は左閉区間かつ右開区間です。非負の実数の集合は、右開区間ではありますが左開区間ではない閉区間です。

区間は、最小値を持つか左非有界である場合に左閉区間、最大値を持つか右非有界である場合に右閉区間と呼ばれ、左閉かつ右閉である場合に単に閉区間と呼ばれる。

区間Iが区間Jの部分集合である場合、区間Iは区間Jの部分区間である。区間IがJの真部分集合である場合、区間Iは区間Jの真部分区間である。

区間Iの内部とは、 Iに含まれる最大の開区間のことです。また、 Iの端点ではない点の集合でもあります。Iの閉包とは、Iを含む最小の閉区間のことです。また、Iに有限個の端点を加えた集合でもあります。

任意の実数集合Xに対して、 Xの区間包含または区間スパンとは、 X を含み、かつXを含む他の区間を真に含まない唯一の区間のことである。

セグメントと区間という用語には矛盾する用語があり、文献では本質的に正反対の2つの方法で使用されてきたため、これらの用語が使用される際に曖昧さが生じます。数学百科事典^{[ 8 ]}では、区間（修飾語なし）は両端点を除外するもの（つまり開区間）と定義し、セグメントは両端点を含むもの（つまり閉区間）と定義しています。一方、ルーディンの数学解析の原理^{[ 9 ]}では、[ a , b ]の形の集合を区間、( a , b )の形の集合をセグメントと呼んでいます。これらの用語は古い文献によく見られますが、現代のテキストでは、両端点が含まれるかどうかに関わらず、区間（開、閉、または半開で修飾）という用語がますます好まれるようになっています。

端点のいずれかをセットから除外することを示すには、対応する角括弧を丸括弧に置き換えるか、逆順にすることができます。どちらの表記法も国際規格ISO 31-11に記載されています。したがって、セット構築表記法では、

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

各区間( a , a )、[ a , a )、および( a , a ]は空集合を表し、[ a , a ]は単一要素集合{ a }を表します。a > bの場合、通常、これら 4 つの表記はすべて空集合を表すものとみなされます。 

どちらの表記も、数学における括弧や角括弧の他の用法と重複する可能性があります。たとえば、表記( a , b )は、集合論では順序対、解析幾何学や線形代数では点やベクトルの座標、または代数では（場合によっては）複素数を表すためによく使用されます。そのため、Bourbaki は開区間を表すために表記] a , b [を導入しました。 ^{[ 10 ]}表記[ a , b ]も、特にコンピュータサイエンスでは、順序対に時々使用されます。

Yves Tillé などの著者は、区間( a , b )の補集合を表すために] a , b [を使用します。つまり、 a以下またはb以上であるすべての実数の集合です。 

場合によっては、区間は拡張実数の部分集合として定義されることがあります。拡張実数とは、すべての実数に−∞と+∞を加えた集合です。

この解釈では、表記[ −∞, b ] 、(−∞, b ] 、[ a , +∞ ] 、および[ a , +∞)はすべて意味を持ち、それぞれ異なる意味を持ちます。特に、(−∞, +∞)は通常の実数の集合を表し、[ −∞, +∞ ]は拡張実数を表します。

通常の実数においても、無限端点を用いることで、その方向に境界がないことを示すことができる。例えば、(0, +∞)は正の実数の集合であり、次のように表記される。$\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$文脈によって、上記の定義や用語の一部が変わります。例えば、区間(−∞, +∞)  = ${\displaystyle \mathbb {R} }$通常の現実の領域では閉じているが、拡張現実の領域では閉じていない。

aとbが整数の場合、⟦ a, b ⟧、[ a .. b ]、{ a .. b }、または単にa .. bという表記は、 aとbの間のすべての整数の区間を示すために使用されることがあります。表記[ a .. b ]は、一部のプログラミング言語で使用されています。たとえば、 Pascalでは、配列の有効なインデックスの下限と上限を指定するために最もよく使用される部分範囲型を正式に定義するために使用されます。

整数区間を解釈するもう一つの方法は、省略記号を用いて列挙によって定義された集合として扱うことです。

有限の下限または上限を持つ整数区間は、常にその下限または上限を含みます。したがって、下限または上限の除外は、a .. b − 1 、 a + 1 .. b 、または a + 1 .. b − 1と書くことで明示的に表すことができます。 [ a .. b )や[ a .. b [のような代替括弧表記は、整数区間にはほとんど使用されません。

二項区間は、端点が${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$そして${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$どこ${\displaystyle j}$そして${\displaystyle n}$これらは整数です。文脈によっては、いずれかの端点が区間に含まれる場合と含まれない場合があります。

二進音程には以下の性質があります。

• 二進間隔の長さは常に2の整数乗である。
• 各二進間隔は、その長さの2倍の二進間隔の中にちょうど1つ含まれる。
• 各二進音程は、その半分の長さの二進音程2つによって構成される。
• 2つの開二進区間が重なり合う場合、一方の区間は他方の区間の部分集合となる。

その結果、二進間隔は無限二分木の構造を反映した構造を持つことになる。

二進区間は、適応メッシュ細分化、マルチグリッド法、ウェーブレット解析など、数値解析のいくつかの分野に関連しています。このような構造を表現するもう1つの方法は、p進解析（p = 2の場合）です。^{[ 12 ]}

区間は数学解析において遍在しており、概念を表現するために用いられ、重要な結果にもしばしば現れる。

実関数の積分は区間上で定義されます。関係する区間の端点は通常、下付き文字と上付き文字として現れるため、積分は${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$すべてに適用されます${\displaystyle x}$区間に属する${\displaystyle [a,b]}$。

関数の連続性のイプシロンデルタ定義には、区間が暗黙のうちに含まれている。${\displaystyle f(x)}$:以下の説明ではそれらを明確にしています。${\displaystyle f}$ある点で連続であると言われている${\displaystyle a}$任意の値に対して${\displaystyle \varepsilon >0}$(ε > 0) 値が存在する${\displaystyle \delta >0}$（デルタがゼロより大きい場合）${\displaystyle f(x)}$開区間内に位置する${\displaystyle \left(f(a)-\varepsilon ,f(a)+\varepsilon \right)}$いつでも${\displaystyle x}$区間から選択されます${\displaystyle \left(a-\delta ,a+\delta \right)}$可能な値は${\displaystyle \varepsilon }$そして${\displaystyle \delta }$それ自体は無限区間に属する${\displaystyle (0,+\infty )}$ですが、通常は小さな正の増分を表すと考えられています。その考え方は、点の周りの小さな対称区間です。${\displaystyle a}$値が存在する場所${\displaystyle f(x)}$半径の開いた区間内に留まる${\displaystyle \varepsilon }$中心となるのは${\displaystyle f(a)}$。

中間値の定理は、もし${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$区間上の実数値連続関数${\displaystyle [a,b]}$そして${\displaystyle d}$値は${\displaystyle f(a)}$そして${\displaystyle f(b)}$すると、値を見つけると予想されます${\displaystyle c}$間${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$どこ${\displaystyle f(c)=d}$例えば、${\displaystyle f(x)=x^{2}}$区間上で定義される${\displaystyle [3,4]}$すると、${\displaystyle d=10}$間${\displaystyle f(3)=3^{2}=9}$そして${\displaystyle f(4)=4^{2}=16}$価値がある${\displaystyle c}$間${\displaystyle 3}$そして${\displaystyle 4}$どこ${\displaystyle f(c)=c^{2}=10}$この定理の同等の定式化は、連続関数による区間の像は区間であると主張する。

信頼区間は統計的推論において重要であり、母平均などの未知の統計パラメータの推定値の範囲を示します。他の種類の区間とは異なり、信頼区間はランダムサンプルから評価され、区間の両端は実数値の確率変数です。異なるサンプルを用いると、結果が異なる可能性があります。

サンプリングを繰り返す場合、対応する区間に未知のパラメータの真の値が含まれる確率は、信頼水準と呼ばれる事前設定された確率で決まります。例えば、選択した信頼水準が0.95で、同じサンプリング手順を何度も繰り返した場合、長期的には、得られる区間の約95%に真の値が含まれると予想されます。

正規分布は、その簡略化された例を示しています。正規分布の確率密度関数は、おなじみのベルカーブを描きます。ピークは平均値で発生します。${\displaystyle \mu }$（ギリシャ文字のミュー）とその幅は標準偏差で表すことができる${\displaystyle \sigma }$（シグマ）。これら2つのパラメータは、ベルカーブを区別しますが、いずれの場合も、平均値の両側2標準偏差以内の領域は、約0.95の確率を表します。これは次のように書くことができます。

$${\displaystyle P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.95}$$

正規分布する確率変数${\displaystyle X}$。

取る${\displaystyle {\bar {X}}}$固定サンプルサイズに対するサンプル平均であり、これは推定値である。${\displaystyle \mu }$また、独自の標準偏差を持つ正規分布に従う。${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$前述の不等式は、次のように表すことができます。${\displaystyle \mu }$与える

$${\displaystyle P({\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}})\approx 0.95.}$$

標準偏差の値が${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$が既知であれば、区間${\displaystyle [{\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}},{\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}]}$信頼区間は${\displaystyle \mu }$信頼水準は約0.95である。その端点は確率変数である。${\displaystyle {\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}}$そして${\displaystyle {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}}$その実際の値は、採取したサンプルによって異なります。

すべてのチホノフ空間は、閉単位区間の積空間に埋め込むことができる。${\displaystyle [0,1].}$実際、基底が基数であるすべてのチホノフ空間は${\displaystyle \kappa }$製品に組み込むことができます${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$の${\displaystyle \kappa }$区間のコピー。^{[ 13 ]： p.83、定理2.3.23}

凸集合と凸成分の概念は、順序位相を備えたすべての全順序集合が完全に正規であること^{[ 14 ]}、あるいはさらに単調正規であること^{[ 15 ]}の証明に使用されます。

開有限区間${\displaystyle (a,b)}$は中心がにある1 次元の開いた球です${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$そして半径は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$閉じた有限区間${\displaystyle [a,b]}$は対応する閉じた球であり、区間の2つの端点は${\displaystyle \{a,b\}}$0次元球を形成する。一般化して${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間において、球とは、中心からの距離が半径よりも小さい点の集合のことである。2次元の場合、球は円盤と呼ばれる。

半空間を（明確な中心や半径を持たない）一種の退化した球とみなすならば、半空間は、その境界平面が有限の端点に対応する（退化した）球である半有界区間に類似したものとみなすことができる。

有限区間は1次元超直方体の内部である。実座標空間に一般化すると、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$軸平行超直方体（またはボックス）は、デカルト積です。${\displaystyle n}$有限区間。${\displaystyle n=2}$これは長方形です。${\displaystyle n=3}$これは直方体（「箱」とも呼ばれる）です。

開端点、閉端点、無限端点の混合を許容する任意のデカルト積${\displaystyle n}$間隔、${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$時には${\displaystyle n}$次元区間。

このような間隔の一側面${\displaystyle I}$これは、非退化区間因子を置き換える結果です。${\displaystyle I_{k}}$有限の終点からなる退化区間によって${\displaystyle I_{k}.}$顔​​${\displaystyle I}$含む${\displaystyle I}$それ自体と、そのファセットのすべての面。${\displaystyle I}$は、単一の点で構成される面です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

任意の有限区間は、半有界区間の交点として構成でき（交点が空の場合は実数全体を意味する）、任意の数の半有界区間の交点は（空である可能性のある）区間である。一般化して${\displaystyle n}$次元アフィン空間では、半空間（任意の向き）の交差は凸多面体（の内部）であり、2次元の場合は凸多角形である。

開区間とは、実数の連結した開集合のことである。一般に位相空間に一般化すると、空でない連結した開集合は領域と呼ばれる。

複素数の区間は、複素平面上の領域として定義でき、長方形または円形のいずれかになります。^{[ 16 ]}