区間の分割

数学において、実数直線上の区間[ a , b ]の分割と_は、実数の有限列x0 , x1 , x2 ,…, _xnであって _、

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < … < x _n = b。

言い換えれば、コンパクトな区間Iの分割は、区間Iの開始点から始まり、区間Iの終了点に到達する、厳密に増加する数列（区間I自体に属する）です。

[ x _i , x _{i + 1} ]という形式の各区間は、パーティションxのサブ区間と呼ばれます。

与えられた区間 [a, b] の別の分割Q は、Q がPのすべての点と、場合によっては他のいくつかの点も含む場合、分割 Pの細分化として定義されます。分割QはPよりも「細かい」と言われます。2つの分割PとQが与えられた場合、常にそれらの共通の細分化P  ∨  Qを形成できます。これは、 PとQのすべての点を昇順に並べたものです。^[1]

分割の ノルム（またはメッシュ）

x ₀ < x ₁ < x ₂ < … < x _n

これらの部分区間のうち最も長い区間の長さである^{[2] [3]}

max{| x _i − x _{i −1} | : i = 1, … , n }。

分割はリーマン積分、リーマン・スティルチェス積分、規制積分の理論で用いられる。具体的には、与えられた区間をより細かく分割すると、メッシュはゼロに近づき、与えられた分割に基づくリーマン和はリーマン積分に近づく。^[4]

タグ付き分割[ ^5]またはペロン分割は、与えられた区間と有限の数値列t ₀ , …, t _{n − 1}を、各iに対して、

x _i ≤ t _i ≤ x _{i + 1}です。

言い換えれば、タグ付きパーティションは、各サブ区間の区別された点を伴うパーティションです。そのメッシュは通常のパーティションと同じ方法で定義されます。タグ付きパーティションの集合に対して、大きい方のパーティションが小さい方のパーティションの改良である場合に、あるタグ付きパーティションが別のタグ付きパーティションよりも大きいとすることで、半順序を定義することができます。[^{引用が必要]}

x ₀ , …, x _nとt ₀ , …, t _{n − 1}が[ a , b ]のタグ付きパーティションであり、y ₀ , …, y _mとs ₀ , …, s _{m − 1}が[ a , b ]の別のタグ付きパーティションであるとします。₀ ≤ i ≤ n となる各整数_iに対して、 x _i = y r ( _i )となる整数 r ( _i )が存在し、 r ( i ) ≤ j ≤ r ( _i + 1 ) − ₁となる jに対してt _i = s _jとなる場合、y ₀ , …, y m と s 0 , … , _s m − 1_がタグ付きパーティション_x 0 , … _, x _nとt 0 , … , t n ₋ 1の改良版であるということになります。もっと簡単に言えば、タグ付きパーティションの改良では、開始パーティションを取得してタグを追加しますが、タグは削除しません。

• 規制積分
• リーマン積分
• リーマン・スティルチェス積分
• ヘンストック・カーツワイル積分

• ゴードン、ラッセル A. (1994)。ルベーグ、デンジョイ、ペロン、ヘンストックの積分。数学大学院研究、4。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3805-9。