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数学解析において、領域またはドメインとは、位相空間における空でない連結な開集合のことである。特に、実座標空間R nまたは複素座標空間C nの空でない連結な開部分集合を指す。座標空間の連結な開部分集合は、関数の定義域としてよく用いられる。[ 1 ]
空間の連結部分集合の基本的な考え方は19世紀に遡りますが、概念が発展し、ドイツ語、フランス語、英語の著作間で用語が翻訳されるにつれて、正確な定義は世代ごと、著者ごと、版ごとにわずかに異なります。英語では、ドメインという用語を使用する著者もいれば、[2] 領域という用語を使用する著者もおり、[ 3 ]両方の用語を互換的に使用する著者もおり、[ 4 ] 2つの用語をわずかに異なる方法で定義する著者もいます。[ 5 ]中には、空でない連結開部分集合のようなフレーズに固執することで曖昧さを避ける著者もいます。[ 6 ]
一般的な慣習として、ドメインは連結した開集合として定義され、領域はドメインとその極限点のなし、一部、またはすべての和集合として定義される。[ 7 ]閉領域または閉ドメインは、ドメインとそのすべての極限点の和集合である。
領域上で定義された関数の様々な性質（積分定理（グリーンの定理、ストークスの定理など）、ソボレフ空間の性質、境界上の測度やトレース空間（境界上で定義された一般化関数）の定義など）が成り立つためには、領域の境界の滑らかさの程度が様々に異なる必要がある。一般的に考慮される領域の種類としては、連続境界を持つ領域、リプシッツ境界を持つ領域、C 1境界を持つ領域などがある。
有界領域とは、境界を持つ領域、すなわち何らかの球に含まれる領域のことです。 有界領域も同様に定義されます。外部領域とは、その補集合が有界である領域のことです。場合によっては、その境界に滑らかさの条件が課されます。
複素解析において、複素領域（または単に領域）とは、複素平面Cの任意の連結な開部分集合のことです。例えば、複素平面全体、開単位円盤、開上半平面などは領域です。多くの場合、複素領域は正則関数の定義域として用いられます。多変数複素解析においては、領域の定義はC nの任意の連結な開部分集合を含むように拡張されます。
ユークリッド空間では、1次元、2次元、3次元の領域は曲線、曲面、立体であり、その広がりはそれぞれ長さ、面積、体積と呼ばれる。
定義：開集合は、2つの開集合の和として表せない場合に連結しているという。連結した開集合を定義域と呼ぶ。
ドイツ語: Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann。 Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet。
—コンスタンティン・カラテオドリ（カラテオドリ 1918、p. 222）
ハンス・ハーンによれば、[ 8 ]ドメインを連結した開集合として捉える概念は、コンスタンティン・カラテオドリが有名な著書（カラテオドリ 1918 ）で導入した。この定義において、カラテオドリは明らかに空でない互いに素な集合を考察している。ハーンはまた、「 Gebiet」（「ドメイン」）という言葉が以前は開集合の同義語として使われていたことがあるとも指摘している。[ 9 ] 大まかな概念はもっと古い。19世紀から20世紀初頭にかけて、ドメインと領域という用語は明示的な定義なしに非公式に（時には互換的に）使われることが多かった。[ 10 ]
しかし、「ドメイン」という用語は、密接に関連しているがわずかに異なる概念を識別するために時折使用されました。たとえば、楕円型偏微分方程式に関する影響力のあるモノグラフの中で、カルロ・ミランダは、開いた連結集合を識別するために「領域」という用語を使用し、[ 11 ] [ 12 ] 、内部的に連結された[ 13 ]完全集合を識別するために「ドメイン」という用語を留保しています。その各点は、内部点の集積点です[ 11 ]。これは、彼の師であるマウロ・ピコーネ[ 14 ]に倣ったものです。この慣例によれば、集合Aが領域であれば、その閉包Aはドメインです。[ 11 ]
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