中心（幾何学）

幾何学において、物体の中心（イギリス英語）または中心（アメリカ英語）（古代ギリシャ語の κέντρον ( kéntron )  「尖った物体」に由来）は、ある意味で物体の中央にある点である。中心の特定の定義を考慮すると、物体には中心がない可能性がある。幾何学を等長変換群の研究と見なすと、中心は物体をそれ自体の上に動かすすべての等長変換の不動点となる。

円の中心は、端の点から等距離にある点です。同様に、球の中心は表面の点から等距離にある点であり、線分の中心は両端の 中点です。

複数の対称性を持つオブジェクトの場合、対称の中心は対称動作によって変化しない点です。したがって、正方形、長方形、菱形、平行四辺形の中心は対角線が交差する点であり、これは（他の特性の中でも特に）回転対称性の不動点です。同様に、楕円や双曲線の中心は軸が交差する点です。

三角形のいくつかの特別な点は、三角形の中心として説明されることがよくあります。

• 外心、つまり3つの頂点すべてを通る円の中心。
• 重心または質量の中心。三角形の密度が均一であれば、その上で三角形がバランスをとる点。
• 内心、つまり三角形の 3 辺すべてに内部接する円の中心。
• 垂心、すなわち三角形の3つの高さの交点。
• 九点中心、つまり三角形の 9 つの主要な点を通る円の中心。

正三角形の場合、これらは同じ点であり、三角形の 3 つの対称軸の交点にあり、底辺から頂点までの距離の 3 分の 1 にあります。

三角形の中心の厳密な定義は、三線座標がf ( a、b、c ) : f ( b、c、a ) : f ( c、a、b )となる点です。ここで、 fは三角形の 3 辺の長さa、b、cの関数で、次の式が成り立ちます。

1. f はa、b、cに関して同次です。つまり、ある実数べきhに対してf ( ta、tb、tc ) = t ^h f ( a、b、c ) です。したがって、中心の位置はスケールに依存しません。
2. fは最後の2つの引数において対称である。つまり、f ( a , b , c )= f ( a , c , b )である。したがって、鏡像三角形の中心の位置は、元の三角形の中心の位置の鏡像となる。^[1]

この厳密な定義では、ブロカール点（鏡像反射によって交換される）などの双心点のペアは除外されます。2020年現在、三角形の中心百科事典には39,000を超える異なる三角形の中心が記載されています。^[2]

接線多角形は、各辺が内接円または内接円と呼ばれる特定の円に接しています。内接円の中心は内心と呼ばれ、多角形の中心とみなすことができます。

環状多角形は、それぞれの頂点が外接円または外接円と呼ばれる特定の円上にあります。外接円の中心は外心と呼ばれ、多角形の中心と考えることができます。

多角形が接線と環状の両方の性質を持つ場合、その多角形は双心多角形と呼ばれます。(たとえば、すべての三角形は双心多角形です。) 双心多角形の内心と外心は、一般に同じ点ではありません。

一般的な多角形の中心は、いくつかの異なる方法で定義できます。「頂点の重心」は、多角形が空であるが、頂点の質量が等しいと見なすことで決まります。「辺の重心」は、辺の単位長さあたりの質量が一定であると見なすことで決まります。通常の中心は、単に重心(領域の中心) と呼ばれ、多角形の表面の密度が一定であると見なすことで決まります。これらの 3 つのポイントは、一般にすべて同じポイントではありません。

射影幾何学では、すべての直線は無限遠点、つまり「比喩的な点」を持ち、その直線は直線に平行なすべての直線と交差する。ユークリッド幾何学の楕円、放物線、双曲線は射影幾何学では円錐曲線と呼ばれ、透視投影ではない射影からシュタイナー円錐曲線として構築できる。与えられた円錐曲線との射影平面の対称性は、すべての点または極をその極と呼ばれる直線に関連付ける。射影幾何学の中心の概念はこの関係を使用する。以下の主張はGB Halstedによるものである。^[3]

• 有限セクトの端点に対する無限遠点の調和共役は、そのセクトの「中心」です。

• ある円錐曲線に対する無限遠直線の極は、その円錐曲線の「中心」です。

• 比喩的な点の極は円錐の中心にあり、「直径」と呼ばれます。

• 楕円の中心は曲線の中にあります。楕円の極は曲線と交わらないため、曲線への接線はありません。放物線の中心は、比喩的な直線との接点です。

• 双曲線の中心は曲線の外にあります。比喩的な直線が曲線と交差しているからです。中心から双曲線への接線は「漸近線」と呼ばれます。それらの接点は曲線上の無限遠にある 2 つの点です。

• センターポイント
• チェビシェフセンター
• ユークリッド空間における等長群の不動点
• 瞬間回転中心