予約注文

数学、特に順序理論において、前順序または準順序とは、反射的かつ推移的な二項関係のことである。前順序という名称は、前順序がほぼ部分順序であることを示唆しているが、必ずしも反対称ではないため、完全な部分順序ではない。

前順序の自然な例として、整数間の割り算関係「xはyを割り切る」が挙げられます。この関係は、すべての整数が自身を割り切るため反射的です。また推移的でもあります。しかし、反対称ではありません。例えば、${\displaystyle 1}$分ける${\displaystyle -1}$そして${\displaystyle -1}$分ける${\displaystyle 1}$、 しかし${\displaystyle -1}$等しくない${\displaystyle 1}$「最小公倍数」というフレーズで「最小」が指すのはこの前順序のことである（対照的に、整数の自然順序、例えば${\displaystyle 4}$そして${\displaystyle 6}$公倍数を持つ${\displaystyle 24}$、${\displaystyle 12}$、${\displaystyle 0}$、${\displaystyle -12}$、${\displaystyle -24}$、…、ただし少なくとも1つは含まれていない）。

Preorders are closely related to equivalence relations and (non-strict) partial orders. Both of these are special cases of a preorder: an antisymmetric preorder is a partial order, and a symmetric preorder is an equivalence relation. Moreover, a preorder on a set ${\displaystyle X}$ can equivalently be defined as an equivalence relation on ${\displaystyle X}$, together with a partial order on the set of equivalence class, cf. picture. Like partial orders and equivalence relations, preorders (on a nonempty set) are never asymmetric.

A preorder can be visualized as a directed graph, with elements of the set corresponding to vertices, and the order relation between pairs of elements corresponding to the directed edges between vertices. The converse is not true: most directed graphs are neither reflexive nor transitive. A preorder that is antisymmetric no longer has cycles; it is a partial order, and corresponds to a directed acyclic graph. A preorder that is symmetric is an equivalence relation; it can be thought of as having lost the direction markers on the edges of the graph. In general, a preorder's corresponding directed graph may have many disconnected components.

A preorder is often denoted ${\displaystyle \,\lesssim \,}$ or ${\displaystyle \,\leq \,}$.

A binary relation ${\displaystyle \,\lesssim \,}$ on a set${\displaystyle X}$ is called a preorder or quasiorder if it is reflexive and transitive; that is, if it satisfies:

1. Reflexivity: ${\displaystyle a\lesssim a}$ for all ${\displaystyle a\in X,}$ and
2. Transitivity: if ${\displaystyle a\lesssim b{\text{ かつ }}b\lesssim c{\text{ ならば }}a\lesssim c}$ for all ${\displaystyle a,b,c\in X.}$

A set that is equipped with a preorder is called a preordered set (or proset).^[1]

Given a preorder ${\displaystyle \,\lesssim \,}$ on ${\displaystyle X}$ one may define an equivalence relation${\displaystyle \,\sim \,}$ on ${\displaystyle X}$ by $${\displaystyle a\sim b\quad {\text{ a\lesssim b\;{\text{ かつ }}\;b\lesssim a の場合。}$$ The resulting relation ${\displaystyle \,\sim \,}$ is reflexive since the preorder ${\displaystyle \,\lesssim \,}$ is reflexive; transitive by applying the transitivity of ${\displaystyle \,\lesssim \,}$ twice; and symmetric by definition.

Using this relation, it is possible to construct a partial order on the quotient set${\displaystyle X/\sim }$ of the equivalence, by defining ${\displaystyle [x]\leq [y]}$ if ${\displaystyle x\lesssim y.}$ That this is well-defined, meaning that it does not depend on the particular choice of representatives ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$, follows from the definition of ${\displaystyle \,\sim \,}$.

Conversely, from any partial order on a partition of a set ${\displaystyle X,}$ it is possible to construct a preorder on ${\displaystyle X}$ itself. There is a one-to-one correspondence between preorders and pairs (partition, partial order).

Example: Let ${\displaystyle X}$ be the set of all (valid or invalid) sentences in some subfield of mathematics, like geometry. Define ${\displaystyle p\Leftarrow q}$ if ${\displaystyle p}$ is a logical consequence of ${\displaystyle q}$. Then ${\displaystyle \Leftarrow }$ is a preorder on ${\displaystyle X}$: every sentence ${\displaystyle p}$自身から証明できる（反射性）場合、${\displaystyle p}$証明できる${\displaystyle q}$、 そして${\displaystyle q}$から${\displaystyle r}$、 それから${\displaystyle p}$また、以下のことから証明することもできます。${\displaystyle r}$（推移性）。対応する同値関係は通常、次のように表されます。${\displaystyle p\Leftrightarrow q}$、そして次のように定義される${\displaystyle p\Leftarrow q}$そして${\displaystyle q\Leftarrow p}$; この場合${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$論理的に同値である。文の同値類${\displaystyle p}$これはすべての文の集合です${\displaystyle q\in X}$論理的に同等の${\displaystyle p}$正式には：${\displaystyle [p]=\{q\mid p\Leftrightarrow q\}}$予約注文セット${\displaystyle (X,\Leftarrow )}$は有向集合である：2つの文が与えられた場合${\displaystyle p,q\in X}$それらの論理的結合${\displaystyle p\wedge q}$、発音は「両方」${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$「、はそれらの一般的な上限です。${\displaystyle p}$は${\displaystyle p\wedge q}$、そして${\displaystyle q}$半順序集合${\displaystyle \left(X/\Leftrightarrow ,\Leftarrow \right)}$したがって、これも有向集合である。関連する例については、リンデンバウム・タルスキー代数を参照のこと。

反射律を非反射律 に置き換えると（推移律は維持したまま）、厳密な半順序の定義が得られる。${\displaystyle X}$このため、厳密な前順序という用語は、厳密な部分順序を指す場合にも用いられることがある。つまり、これは二項関係である。${\displaystyle \,<\,}$の上${\displaystyle X}$以下を満たす：

1. 非反射性または反反射性：いいえ${\displaystyle a<a}$すべての人々のために${\displaystyle a\in X;}$つまり、${\displaystyle \,a<a}$すべてにおいて偽である${\displaystyle a\in X,}$そして
2. 推移性: もし${\displaystyle a<b{\text{ and }}b<c{\text{ then }}a<c}$すべての人々のために${\displaystyle a,b,c\in X.}$

すべての二項関係${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle X}$予約注文に延長可能${\displaystyle X}$推移閉包と反射閉包を取ることにより、${\displaystyle R^{+=}.}$ 推移閉包は、パス接続を示します${\displaystyle R:xR^{+}y}$存在する場合に限り${\displaystyle R}$-パス元${\displaystyle x}$に${\displaystyle y.}$

二項関係によって誘導される左残余前順序

二項関係が与えられた場合${\displaystyle R,}$補完された構成${\displaystyle R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}}$左残余と呼ばれる前順序を形成する^[ 5 ^]ここで${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$逆の関係を表す${\displaystyle R,}$そして${\displaystyle {\overline {R}}}$補関係を表す${\displaystyle R,}$その間${\displaystyle \circ }$関係合成を表します。

前順序が反対称でもある場合、つまり、${\displaystyle a\lesssim b}$そして${\displaystyle b\lesssim a}$暗示する${\displaystyle a=b,}$するとそれは半順序になります。

一方、対称である場合、つまり、${\displaystyle a\lesssim b}$暗示する${\displaystyle b\lesssim a,}$ならばそれは同値関係である。

予約注文は合計で${\displaystyle a\lesssim b}$または${\displaystyle b\lesssim a}$すべての人々のために${\displaystyle a,b\in X.}$

予約注文クラスとは、予約注文機能を備えたクラスのことです。すべてのセットはクラスであり、したがってすべての予約注文セットは予約注文クラスです。

予約注文は、いくつかの状況において極めて重要な役割を果たします。

• すべての先行順序には、アレクサンドロフ位相という位相を与えることができ、実際、ある集合上のすべての先行順序は、その集合上のアレクサンドロフ位相と1対1に対応している。
• 前順序は内部代数を定義するために使用できる。
• 事前順序付けは、特定の種類の様相論理に対してクリプキ意味論を提供する。
• 順序関係は、集合論における強制法において、一貫性と独立性の結果を証明するために用いられる。^{[ 6 ]}

S ( n , k )は第 2 種のスターリング数を指すことに注意してください。

前述のとおり、先行順序とペア（パーティション、部分順序）の間には1対1の対応関係があります。したがって、先行順序の数は、各パーティション上の部分順序の数の合計になります。例：

のために${\displaystyle a\lesssim b,}$間隔​${\displaystyle [a,b]}$点の集合xは以下を満たしますか${\displaystyle a\lesssim x}$そして${\displaystyle x\lesssim b,}$また、次のように書かれている${\displaystyle a\lesssim x\lesssim b.}$少なくとも点aと点bを含む。定義をすべての点のペアに拡張することもできる。${\displaystyle (a,b)}$追加のインターバルはすべて空いています。

対応する厳密な関係「${\displaystyle <}$また、区間を定義することもできます。${\displaystyle (a,b)}$点xの集合が${\displaystyle a<x}$そして${\displaystyle x<b,}$また、次のように書かれている${\displaystyle a<x<b.}$開区間は空になる可能性がある。${\displaystyle a<b.}$

また${\displaystyle [a,b)}$そして${\displaystyle (a,b]}$同様に定義できる。

• 部分順序–反対称な前順序
• 同値関係–対称的な前順序
• 合計予約注文数– 合計予約注文数
• 全順序– 反対称かつ全順序の前順序
• 演出されたセット
• 予約注文セットのカテゴリー
• プレウェルオーダー
• 準秩序

• シュミット、ギュンター、「関係数学」、数学とその応用百科事典、第132巻、ケンブリッジ大学出版局、2011年、ISBN 978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd SW (2002), Ordered Sets: An Introduction , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9