ネーターの定理

ネーターの定理は、保存力を持つ物理系の作用のすべての連続対称性には、対応する保存則があることを述べています。これは、1918年に数学者エミー・ネーターによって発表された2つの定理のうちの最初のものです（ネーターの第2定理を参照）。 ^[1]物理系の作用はラグランジアン関数の時間積分であり、システムの挙動は最小作用の原理によって決定できます。この定理は、物理空間の連続的で滑らかな対称性にのみ適用されます。

ネーターの定理は理論物理学と変分法で用いられている。この定理は物理系の対称性と保存則の基本的な関係を明らかにする。また、この定理によって現代の理論物理学者は物理系の対称性にさらに注目するようになった。この定理はラグランジアン力学とハミルトン力学における運動定数の定式化（それぞれ 1788 年と 1833 年に考案）を一般化したものであり、ラグランジアンだけではモデル化できない系（レイリー散逸関数を持つ系など）には適用されない。特に、連続対称性を持つ散逸系には対応する保存則は必要ない。^[要出典]

例として、物理システムが空間内でどのように配置されているかに関係なく同じように動作する（つまり不変である）場合、そのラグランジアン は連続回転に対して対称です。この対称性から、ノイマンの定理は、システムの角運動量がその運動法則の結果として保存されることを規定します。 ^{[2] : 126}物理システム自体は対称である必要はありません。宇宙で回転するギザギザの小惑星は、非対称であるにもかかわらず角運動量を保存します。対称なのは、その運動法則です。

別の例として、物理的プロセスが場所や時間に関係なく同じ結果を示す場合、そのラグランジアンはそれぞれ空間と時間の連続的な変換に対して対称です。ノイマンの定理により、これらの対称性は、それぞれこのシステム内の線形運動量とエネルギーの保存則を説明します。 ^{[3] : 23  [4] : 261}

ノイマンの定理は、保存則についての洞察を与えるという点でも、実用的な計算ツールとしても重要である。これにより、研究者は物理システムの観測された対称性から保存量（不変量）を決定することができる。逆に、研究者は与えられた不変量を持つ仮想ラグランジアンのクラス全体を検討して物理システムを記述することができる。^{[2] ：127}例として、量X を保存する物理理論が提案されていると仮定する。研究者は、連続対称性を通じてX を保存するラグランジアンのタイプを計算できる。ノイマンの定理により、これらのラグランジアンの特性は、新しい理論の意味を理解して適合性を判断するためのさらなる基準を提供する。

ノイマンの定理には、一般性の程度が異なる多数のバージョンがある。この定理の自然な量子対応物は、ウォード・高橋恒等式で表現される。ノイマンの定理の超空間への一般化も存在する。^[5]

細かい技術的な点はさておき、ノイマンの定理は非公式に述べることができます。

システムが連続対称性を持つ場合、対応する量の値は時間的に保存される。^[6]

体に関する定理のより洗練されたバージョンは、次のことを述べています。

局所的な作用によって生成されるすべての連続対称性には保存される電流が対応し、逆もまた同様です。

上記の文中の「対称性」という言葉は、より正確には、特定の技術的基準を満たす 1 次元リー変換群に関して物理法則がとる形式の共変性を指します。物理量の保存則は通常、連続方程式として表現されます。

定理の正式な証明では、不変性の条件を利用して、保存される物理量に関連付けられた電流の式を導きます。現代の用語では、保存される量はノイザ​​ー電荷と呼ばれ、その電荷を運ぶ流れはノイザー電流と呼ばれます。ノイザー電流は、ソレノイド（発散のない）ベクトル場まで定義されます。

重力の文脈では、フェリックス・クラインの作用Iに対するノイマンの定理の記述は不変量を規定している：^[7]

積分 I がρパラメータを持つ連続群G _ρの下で不変である場合、ラグランジアン表現のρ個の線形独立な組み合わせは発散になります。

ノイマンの定理の背後にある主要な考え方は、1 つの座標と連続的な対称性(図の灰色の矢印) を持つシステムによって最も簡単に説明できます。${\displaystyle q}$${\displaystyle \varphi :q\mapsto q+\delta q}$

システムの運動法則を満たす任意の軌道（図では太字）を考えてみましょう。つまり、このシステムを支配する動作はこの軌道上では静止しており、軌道のローカルな変化によって変化しません。特に、時間セグメント[ t ₀、t ₁ ]に対称フローを適用する変化によって変化せず、そのセグメントの外側では静止しています。軌道を連続的に保つために、セグメント間を徐々に遷移する 短い時間の「バッファリング」期間を使用します。${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \tau }$

作用の全変化は、作用するすべての間隔によってもたらされる変化から構成されます。変化自体が消える部分、つまり の外側はをもたらしません。中間部分も作用を変えません。その変換は対称性であり、したがってラグランジアンおよび作用 を保存するからです。残る部分は「バッファリング」部分だけです。これらの領域では、座標と速度の両方が変化しますが、によって変化します。また、バッファリングの時間範囲が小さい (0 の極限まで取られる)ため、座標の変化は比較的無視できます。したがって、領域は主に「傾斜」 を通じて寄与します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle L}$${\textstyle S=\int L}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\dot {q}}}$${\displaystyle {\dot {q}}}$${\displaystyle \delta q/\tau }$${\displaystyle \delta q}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \delta q/\tau \gg \delta q}$${\displaystyle {\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau }$

これによりラグランジアンは だけ変化し、積分すると ${\displaystyle \Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}}$$${\displaystyle \Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .}$$

これらの最後の項は、端点との周囲で評価され、軌道が解である場合に予想されるように、 作用の全変化がゼロになるように互いに打ち消し合う必要があります。 つまり、 の量は保存されることを意味し、これはノイマンの定理の結論です。 たとえば、 を定数で純粋に平行移動することが対称性である場合、保存量は、つまり正準運動量になります。 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \Delta S}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),}$$${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p}$

より一般的なケースでも同じ考え方が当てはまります。

保存則は、システムの進化の数学的記述におけるある量Xがその運動を通して一定のままであることを述べています。これは不変量です。数学的には、 Xの変化率（時間に関する微分）はゼロです。

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.}$

このような量は保存されると言われ、運動定数と呼ばれることが多い(ただし、運動そのものが関係している必要はなく、時間的な変化だけが関係している必要がある)。たとえば、システムのエネルギーが保存される場合、そのエネルギーは常に不変であり、システムの運動に制約が課せられ、それを解くのに役立つ可能性がある。このような運動定数は、システムの性質に関する洞察を与えるだけでなく、計算ツールとしても役立つ。たとえば、近似解は、適切な保存則を満たす最も近い状態を見つけることで修正できる。

最も古くから発見された運動定数は運動量と運動エネルギーで、これらは17世紀に衝突実験に基づいてルネ・デカルトとゴットフリート・ライプニッツによって提唱され、その後の研究者によって改良されました。アイザック・ニュートンは運動量保存の現代的な形で初めて宣言し、それがニュートンの運動法則の結果であることを示しました。一般相対性理論によれば、線形運動量、エネルギー、角運動量の保存則は、応力–エネルギーテンソル（非重力応力–エネルギー）とランダウ–リフシッツ応力–エネルギー–運動量擬テンソル（重力応力–エネルギー）の和で表された場合にのみ、全体的に厳密に当てはまります。自由落下基準系における非重力線形運動量とエネルギーの局所的保存は、応力–エネルギーテンソルの共変発散がゼロになることで表されます。天体の天体力学の研究で発見されたもう一つの重要な保存量は、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルです。

18世紀後半から19世紀初頭にかけて、物理学者は不変量を発見するためのより体系的な方法を開発しました。1788年にラグランジュ力学が開発され、最小作用の原理に関連する大きな進歩がありました。このアプローチでは、システムの状態は任意のタイプの一般化座標 qで記述できます。運動の法則は、ニュートン力学で慣例であった直交座標系で表現する必要はありません。作用は、ラグランジュLと呼ばれる関数の時間積分Iとして定義されます。 

${\displaystyle I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,}$

ここで、 q上の点は座標qの変化率を表し、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.}$

ハミルトンの原理は、システムが実際にたどる物理的な経路q ( t ) は、その経路の微小な変化によって少なくとも第1次まではIに変化が生じない経路であると述べています。この原理から、オイラー・ラグランジュ方程式が導かれます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.}$

したがって、座標の1つ、たとえばq _{k が}ラグランジアンに現れない場合、方程式の右辺はゼロになり、左辺は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,}$

勢いが

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

動作全体にわたって（物理的な経路上で）保存されます。

したがって、ラグランジアンに無視できる座標q _kが存在しないということは、ラグランジアンがq _kの変化や変換の影響を受けないことを意味します。ラグランジアンは不変であり、そのような変換の下で対称性を示すと言われています。これが、ノイマンの定理で一般化された基本的な考え方です。

19 世紀には、特にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって、保存量を見つけるためのいくつかの代替方法が開発されました。たとえば、彼は、上記のようにラグランジアンからいくつかの座標が消えるように座標を変更し、結果として保存された正準運動量をもたらす正準変換の理論を開発しました。保存量を見つけるための別のアプローチ、そしておそらく最も効率的なアプローチは、ハミルトン・ヤコビ方程式です。

エミー・ネーターの不変性定理に関する研究は、1915年にフェリックス・クラインとデイヴィッド・ヒルベルトのアルベルト・アインシュタインの一般相対性理論に関する研究を手伝っていたときに始まりました^{[8] : 31} 1918年3月までに、彼女はその年の後半に発表される論文の重要なアイデアのほとんどをまとめていました^{[9] : 81}

ネーターの定理の本質は、無視できる座標の概念を一般化することです。

上で定義したラグランジアンLは、時間変数tと一般化座標 qの小さな摂動（歪み）に対して不変であると仮定できる。次のように書くこともできる。

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}}$

ここで、摂動δtとδ q は両方とも小さいが、可変である。一般性のために、作用の対称変換、すなわち作用を変更しない変換が（たとえば） N個あると仮定する。これらはインデックスr  = 1, 2, 3, ...,  Nでラベル付けされる。

すると、結果として生じる摂動は、個々の摂動の線形和として表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}}$

ここで、ε _{r は}それぞれに対応する微小パラメータ係数 です。

• 時間発展のジェネレータT _r、および
• 一般化座標の生成元Q _{r 。}

平行移動の場合、Q _{r は}長さの単位を持つ定数です。回転の場合、 Q r はqの成分に線形な式であり、パラメータは角度を構成します。

これらの定義を用いて、ノイマンはN個の 量

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

保存される（運動定数）。

I. 時間不変性

例として、時間に依存しないラグランジアン、すなわち、座標qが変化しないt → t + δ tの変化に対して不変（対称）なラグランジアンを考える。この場合、N  = 1、T  = 1、Q  = 0であり、対応する保存量は全エネルギーHである^{[10] ：401}

${\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.}$

II. 並進不変性

（上記のように「無視できる」）座標q _kに依存しないラグランジアンを考えます。したがって、それはq _k → q _k + δq _kの変化に対して不変（対称）です。その場合、N  = 1、T  = 0、Q _k  = 1 です。保存量は対応する線形運動量 p _k^{です[10] : 403–404}

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.}$

特殊相対性理論と一般相対性理論では、これら 2 つの保存則は、（上記のように）グローバルに表現することも、連続方程式としてローカルに表現することもできます。グローバルなバージョンは、単一のグローバル保存則、つまりエネルギー運動量 4 ベクトルの保存に統合できます。エネルギーと運動量の保存のローカルなバージョン（時空の任意のポイント）も、時空のポイントでローカルに定義される量の保存、つまり応力エネルギー テンソル^{[11] : 592}に統合できます（これは次のセクションで導出されます）。

III. 回転不変性

角運動量 保存則L = r × pは、線型運動量の保存則と類似している。^{[10] : 404–405}ラグランジアンの対称性は回転対称性、すなわちラグランジアンが空間における物理系の絶対的な向きに依存しないものとする。具体的には、ラグランジアンが軸n の周りの角度δθの小さな回転では変化しないとする。このような回転は、直交座標を次式のように 変換する。

${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

時間は変換されないので、T = 0、N = 1である。δθをεパラメータ、直交座標rを一般化座標qとすると、対応するQ変数は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

すると、ネーターの定理は次の量が保存されることを述べています。

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .}$

言い換えれば、n軸に沿った角運動量Lの成分は保存されます。また、 nが任意の場合、つまりシステムが回転の影響を受けない場合は、Lのすべての成分が保存されます。つまり、角運動量は保存されます。

ネーターの定理はそれ自体有用ではありますが、ここで示したバージョンは 1915 年に導出された一般バージョンの特殊なケースです。一般定理の趣旨を伝えるために、4 次元時空における連続場に対するネーターの定理のバージョンを示します。現代物理学では場の理論の問題が力学の問題よりも一般的であるため、この場の理論バージョンはネーターの定理の最も一般的に使用される (または最も頻繁に実装される) バージョンです。

全ての空間と時間にわたって定義された微分可能なフィールド の集合があるとする。例えば、温度はそのようなフィールドの代表であり、あらゆる場所と時間で定義される数値である。最小作用の原理はそのようなフィールドに適用できるが、作用は空間と時間にわたる積分となる。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

（この定理は、ラグランジアン がn^次導関数まで依存する場合にさらに一般化することができ、ジェットバンドル を使って定式化することもできます）。

場の連続変換は無限小で次のように表される。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,}$

ここで、は一般に、と の両方に依存する関数です。 が物理的対称性を生成するための条件は、作用が左不変であることです。これは、ラグランジアン密度が左不変である場合に確かに当てはまりますが、ラグランジアンが発散によって変化する場合にも当てはまります。 ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle x^{\mu }}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },}$

なぜなら、発散定理によれば、発散の積分は境界項となるからである。与えられた作用によって記述される系は、この種の独立した対称性を複数持つ可能性があり、それらは でインデックス付けされるので、最も一般的な対称変換は次のように記述される。 ${\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},}$

その結果

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.}$

このようなシステムでは、ネーターの定理によれば、電流密度は保存される。${\displaystyle N}$

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}}$

(ここで、ドット積は、インデックスやインデックスではなく、フィールドインデックスを縮小するものと理解されます)。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle r}$

このような場合、保存則は4次元で表現される。

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,}$

これは、球体内の保存量は、その一部が球体から流出しない限り変化しないという考えを表しています。たとえば、電荷は保存されます。球体内の電荷量は、電荷の一部が球体から流出しない限り変化しません。

例として、上で考察したように、時間と空間の変換で同じ挙動を示す物理的な場のシステムを考えてみましょう。言い換えると、は第 3 引数で定数です。その場合、N  = 4 となり、空間と時間の各次元に 1 つずつあります。空間での微小な変換(クロネッカー デルタで表されます) は、場に として影響を及ぼします。つまり、座標のラベル付けは、場自体を変換しながら座標をそのままにしておくことと同等であり、これは、各点における場の値を、検討中の微小変位によって マッピングされる「後ろ」の点の値に置き換えることで場を変換することと同等です。これは微小であるため、この変換は次のように記述できます。${\displaystyle L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)}$${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$${\displaystyle x^{\mu }}$${\displaystyle x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }}$${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle \Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .}$

ラグランジアン密度も同様に変換されるので、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$

${\displaystyle \Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}}$

そして、ノイマンの定理は、応力エネルギーテンソル T μ ν の保存則に対応しており^、ここで_は^の代わり^にを使用している。つまり、先に示した式を使用し、4つの保存電流（ ごとに1つ）をテンソル にまとめると、ノイマンの定理は次のようになる。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}$

と

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0}$

（矛盾を避けるために、中間段階でを と再ラベルしました）。（ただし、この方法で得られた は、一般相対論でソース項として使用される対称テンソルとは異なる場合があります。「標準応力エネルギーテンソル 」を参照してください。） ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle T}$

対照的に、電荷の保存は、Ψ を微分ではなく場φに線形に考えることによって導くことができる。 ^{[11] : 593–594}量子力学では、点xに粒子が見つかる確率振幅 ψ ( x )は複素場φである。これは、空間と時間のすべての点に複素数を帰属させるためである。確率振幅自体は物理的に測定不可能であり、一連の測定から推定できるのは確率p = | ψ | ²のみである。したがって、システムは、 | ψ | 2 が変化しない^ψ場とその複素共役場ψ ^*の変換に対して不変である。たとえば、

${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,}$

複素回転。位相θ が無限小になる極限、 δθ では、パラメータεとしてとらえることができ、Ψ はそれぞれiψと − iψ *に等しい。具体的な例としては、スピンのない粒子に対するシュレーディンガー方程式の相対論的に正しいバージョンであるクライン・ゴードン方程式があり、ラグランジアン密度

${\displaystyle L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.}$

この場合、ノイマンの定理によれば、保存された（∂ ⋅  j  = 0）電流は

${\displaystyle j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,}$

これにその粒子の電荷を掛けると、その種類の粒子による電流密度に等しくなります。この「ゲージ不変性」は、ヘルマン・ワイルによって初めて指摘され、物理学のゲージ対称性の原型の一つです。

最も単純なケース、つまり独立変数が1つだけあるシステムを考えてみましょう。従属変数qは、作用積分

$${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$$

は従属変数の短時間の微小変化に対して不変である。言い換えれば、それらはオイラー・ラグランジュ方程式を満たす。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

そして、積分は連続対称性の下で不変であると仮定する。数学的には、このような対称性は、変数に次のように作用する フローφとして表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}}$

ここで、ε は流量を示す実変数であり、T は流量が時間をどれだけシフトするかを示す実定数 (ゼロの場合もある) です。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}$

作用積分は

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$

これはεの関数とみなすことができます。 ε = 0での導関数を計算し、ライプニッツの法則を使用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

オイラー・ラグランジュ方程式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

これを前の式に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

再びオイラー・ラグランジュ方程式を用いると、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

これを前の式に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

そこからわかるのは

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}}$

は運動の定数、つまり保存量である。φ[ q , 0] = qなので、保存量は次のように簡略化される。 ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.}$

式の過度な複雑化を避けるため、この導出では、流れは時間の経過とともに変化しないと仮定しました。より一般的なケースでも同じ結果が得られます。

ネーターの定理は、指数Aがさまざまなテンソル場のさまざまな成分にわたるテンソル場に対しても導出できます。これらの場の量は、4 次元空間で定義される関数で、その点には座標x ^μが付けられます。指数μは、時間 ( μ  = 0) と 3 つの空間次元 ( μ  = 1、2、3) にわたります。これらの 4 つの座標は独立変数であり、各イベントでの場の値は従属変数です。無限小変換では、座標の変化は次のように表されます。 ${\displaystyle \varphi ^{A}}$

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}$

一方、場の変数の変換は次のように表される。

${\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

この定義によれば、磁場の変化は 2つの要因から生じます。磁場自体の固有の変化と座標の変化です。変換された磁場α ^Aは変換された座標ξ ^μに依存するためです。固有の変化を分離するために、1つの点x ^μにおける磁場の変化は次のように定義できます。 ${\displaystyle \delta \varphi ^{A}}$

${\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

座標が変更されると、ラグランジアン積分が行われる時空領域の境界も変更されます。元の境界とその変換バージョンは、それぞれ Ω と Ω' として表されます。

ネーターの定理は、座標と場の変数の特定の変換が、与えられた時空領域上のラグランジアン密度の積分として定義される作用を変えないという仮定から始まります。数学的に表現すると、この仮定は次のように書くことができます。

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

ここで、カンマの下付き文字は、カンマに続く座標に対する偏微分を表します。例：

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

ξは積分のダミー変数であり、境界Ωの変化は仮定により無限小であるため、2つの積分は発散定理の4次元バージョンを使用して次の形式に 組み合わせることができる。

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

ラグランジアンの差は、無限小変化において一次式で次のように表すことができる。

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

しかし、変分は上で述べたように同じ点で定義されているため、変分と微分は逆の順序で実行することができ、それらは可換である。

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.}$

オイラー・ラグランジュ場方程式を用いる

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

ラグランジアンの差は次のように簡潔に表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}$

したがって、アクションの変化は次のように記述できます。

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

これは任意の領域Ωに当てはまるので、積分関数はゼロでなければならない。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$

様々な対称変換の任意の組み合わせに対して、摂動は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}}$

ここで、はX μ方向の^リー微分 です。がスカラーまたはのとき、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$${\displaystyle \varphi ^{A}}$${\displaystyle \varphi ^{A}}$${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

これらの式は、ある点における磁場の変化が

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.}$

上記の発散をε = 0でεに関して微分し 、符号を変えると保存則が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

ここで保存電流は

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

n次元の有向リーマン多様体Mとターゲット多様体Tがあるとします。をMからTへの滑らかな関数の配置空間とします。(より一般的には、 M上のファイバーバンドルの滑らかなセクションを持つことができます。) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

物理学におけるこのMの例には次のものがあります。

• 古典力学では、ハミルトン定式化において、M は時間を表す1 次元多様体であり、ターゲット空間は一般化された位置の空間の余接束です。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 場の理論では、Mは時空多様体であり、ターゲット空間は任意の点で場が取り得る値の集合です。たとえば、m 個の 実数値スカラー場、がある場合、ターゲット多様体は です。場 が実ベクトル場である場合、ターゲット多様体はと同型です。${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

さて、関数型

${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

作用と呼ばれます。(ではなく に値を取ります。これは物理的な理由によるもので、この証明では重要ではありません。) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

通常のノイマン定理に到達するには、作用に対する追加の制約が必要である。 は関数 Mの積分であると仮定する。${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}$

ラグランジアン密度と呼ばれるものは、 、その導関数、および位置に依存します。言い換えると、${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}$

境界条件、つまりMがコンパクトの場合の境界におけるの値の指定、またはx が∞ に近づくときのの制限が与えられているとします。この場合、の部分空間は、におけるのすべての関数導関数がゼロになる ような関数で構成されます。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0}$

与えられた境界条件を満たすものは、オンシェル解のサブスペースです。（定常作用の原理を参照） ${\displaystyle \varphi }$

さて、関数微分Qによって生成される上の無限小変換があると します。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}$

すべてのコンパクト部分多様体Nに対して、言い換えれば、

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

すべてのxに対して、

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].}$

これがシェルとオフシェルで成り立つ場合、Qはオフシェル対称性を生成すると言います。これがシェル でのみ成り立つ場合、Q はオンシェル対称性を生成すると言います。この場合、 Q は1 パラメータ 対称 リー群の生成元であると言います。

さて、任意のNに対して、オイラー・ラグランジュの定理により、シェル上（そしてシェル上のみ）では、

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}$

これは任意のNに対して成り立つので、

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.}$

しかし、これは電流の連続方程式で次のように定義されます: ^[12]${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}$

これは、対称性に関連するノイマン電流と呼ばれます。連続方程式によれば、この電流を空間的なスライス上で積分すると、ノイマン電荷と呼ばれる保存量が得られます(もちろん、Mが非コンパクトな場合は、電流は無限遠で十分に速く減少します)。

ノイマンの定理は、殻上の定理です。これは、運動方程式、つまり古典的経路の使用に依存しています。これは、境界条件と変分原理の関係を反映しています。作用に境界項がないと仮定すると、ノイマンの定理は次のことを意味します。

${\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.}$

期待値（例：）を含むノイマンの定理の量子類似体で、オフシェル量も調べるものは、ウォード・高橋恒等式です。 ${\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$

2つの対称導出Q ₁とQ ₂があるとします。すると、[ Q ₁ ,  Q ₂ ]も対称導出になります。これを明示的 に 見てみましょう。 $${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$$$${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$$

ここで、 f ₁₂  =  Q ₁ [ f ₂ ^μ ] −  Q ₂ [ f ₁ ^μ ] となる。つまり、 $${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$$$${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}$$

これは、ネーターの定理を自然な方法でより大きなリー代数に拡張できることを示しています。

これは、 QS ≈ 0 を満たす任意の局所対称性微分Qに適用され 、さらに、ラグランジアン が場の高次導関数に依存するものを含む、より一般的な局所関数微分可能作用にも適用されます。ε を、そのサポートの閉包が境界と互いに素であるような時空 (または時間) 多様体の任意の滑らかな関数とします。εはテスト関数 です。すると、変分原理 (ちなみに境界には適用されません) により、 q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] によって生成される微分分布 q は、すべてのεに対してq [ ε ] [ S ] ≈ 0を満たします。 または、より簡潔に言えば、境界上にないすべてのxに対してq ( x )[ S ] ≈ 0 を満たします (ただし、 q ( x ) は微分分布の省略形であり、一般にxによってパラメータ化された微分ではないことに注意してください)。これはネーターの定理の一般化です。

この一般化が上記のバージョンとどのように関係するかを見るために、作用がラグランジアンの時空積分であり、その一次導関数のみに依存すると仮定する。また、 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }}$

それから、

${\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}}$

すべてに対して。 ${\displaystyle \varepsilon }$

より一般的には、ラグランジアンが高次の導関数に依存する場合、

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.}$

質量m、座標xのニュートン粒子が、時間tで座標付けられたポテンシャルVの影響下で運動している特定のケースを見てみましょう。作用Sは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}$

括弧内の最初の項は粒子の運動エネルギーで、2 番目の項は位置エネルギーです。時間変換 の生成元Q = d / dtを考えます。言い換えると、です。座標x は時間に明示的に依存しますが、V は依存しません。したがって、次のようになります。 ${\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}$

${\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}}$

設定できるように

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).}$

それから、

${\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}$

右辺はエネルギーであり、ノイマンの定理は、（つまり、エネルギー保存の原理は時間変換に対する不変性の結果である）と述べています。 ${\displaystyle dj/dt=0}$

より一般的には、ラグランジアンが時間に明示的に依存しない場合、量

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L}$

(ハミルトニアンと呼ばれる) は保存されます。

1次元の時間を考えると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}}$

ニュートン粒子の場合、ポテンシャルは相対変位にのみ依存します。 ${\displaystyle N}$

については、ガリレイ変換の生成元（つまり、参照フレームの変更）を考えてみましょう。言い換えると、 ${\displaystyle {\vec {Q}}}$

${\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}$

これは次のような形式なので、設定することができます ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$

${\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.}$

それから、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}}$

ここで、 は総運動量、Mは総質量、は質量中心です。ノイマンの定理は次のように述べます。 ${\displaystyle {\vec {P}}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}$

例 1 と 2 は両方とも 1 次元多様体 (時間) 上にあります。時空を含む例としては、(3 + 1)-ミンコフスキー時空における4 次ポテンシャルを持つ質量のない実スカラー場の共形変換があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}$

Qについては、時空再スケーリングの生成元を考える。言い換えれば、

${\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}$

右辺の2番目の項は、の「共形重み」によるものです。そして ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).}$

これは次の形式になります

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}$

（ここではダミーインデックスの変更を実行しました）

${\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}}$

ネーターの定理は、（オイラー-ラグランジュ方程式を左辺に代入することで明示的に確認できる）と述べています。 ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$

この方程式のWard–Takahashi類似物を見つけようとすると、異常性のために問題に遭遇します。

ノイマンの定理を応用すると、物理学者は、関係する法則の形を不変にするさまざまな変換を分析するだけで、物理学のあらゆる一般理論に対する強力な洞察を得ることができます。例:

• 孤立系の空間的移動に対する不変性（言い換えれば、物理法則は空間内のあらゆる場所で同じである）は、線形運動量保存則（孤立系の全線形運動量は一定であるとする）を与える。
• 孤立系の時間変換に対する不変性（つまり、物理法則がすべての時点で同じであるということ）は、エネルギー保存の法則（孤立系の全エネルギーは一定であるという法則）を与える。
• 回転に関する孤立系不変性（つまり、物理法則は空間内のすべての角度方向に関して同じである）は、角運動量保存の法則（孤立系の全角運動量は一定であると述べている）を与える。
• ローレンツブーストに関する孤立システムの不変性（つまり、物理法則はすべての慣性基準系に関して同じである）は、質量中心定理（孤立システムの質量中心は一定の速度で移動すると述べている）を与えます。

量子場の理論では、ノイマンの定理の類似物であるウォード・高橋恒等式によって、荷電粒子の複素場の位相因子の変化に関する不変性と、電位とベクトルポテンシャルの関連ゲージから得られる電荷の保存則など、さらなる保存則が導かれます。

ノイマン電荷は静止したブラックホールのエントロピーの計算にも使われる。^[13]

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