正四面体

A disphenoid is a tetrahedron with four congruent triangles as faces; the triangles necessarily have all angles acute. The regular tetrahedron is a special case of a disphenoid. Other names for the same shape include bisphenoid, isosceles tetrahedron and equifacial tetrahedron.

A 3-orthoscheme is a tetrahedron where all four faces are right triangles. A 3-orthoscheme is not a disphenoid, because its opposite edges are not of equal length. It is not possible to construct a disphenoid with right triangle or obtuse triangle faces.

An orthoscheme is an irregular simplex that is the convex hull of a tree in which all edges are mutually perpendicular. In a 3-dimensional orthoscheme, the tree consists of three perpendicular edges connecting all four vertices in a linear path that makes two right-angled turns. The 3-orthoscheme is a tetrahedron having two right angles at each of two vertices, so another name for it is birectangular tetrahedron. It is also called a quadrirectangular tetrahedron because it contains four right angles.^[5]

Coxeter also calls quadrirectangular tetrahedra "characteristic tetrahedra", because of their integral relationship to the regular polytopes and their symmetry groups.^[6] For example, the special case of a 3-orthoscheme with equal-length perpendicular edges is characteristic of the cube, which means that the cube can be subdivided into instances of this orthoscheme. If its three perpendicular edges are of unit length, its remaining edges are two of length √2 and one of length √3, so all its edges are edges or diagonals of the cube. The cube can be dissected into six such 3-orthoschemes four different ways, with all six surrounding the same √3 cube diagonal. The cube can also be dissected into 48 smaller instances of this same characteristic 3-orthoscheme (just one way, by all of its symmetry planes at once). The characteristic tetrahedron of the cube is an example of a Heronian tetrahedron.

正四面体を含むすべての正多面体には、それぞれ固有の直交図式が存在する。正四面体の「固有四面体」は、3-直交図式と呼ばれる。正四面体は、対称面によって24個の固有四面体に分割される。正四面体の24個の固有四面体は、それぞれ12個ずつ、2つの鏡像形式で存在する。

正四面体の辺の長さが 𝒍 = 2 の場合、その特徴的な四面体の 6 つの辺の長さは${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$、${\displaystyle 1}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$その外側の直角三角形面（特徴的な角度𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺）の周囲に、^{[ a ]}プラス${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$（正四面体の特性半径である辺）。直交スキームの直交辺に沿った3辺パスは${\displaystyle 1}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$まず正四面体の頂点から正四面体の辺の中心へ、次に90°回転して正四面体の面の中心へ、そしてさらに90°回転して正四面体の中心へと進みます。直交図には4つの異なる直角三角形の面があります。外側の面は60-90-30の直角三角形で、正四面体の面の6分の1です。正四面体の内部にある3つの面は、辺を持つ直角三角形です。${\displaystyle 1}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$辺が 1 の直角三角形${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$、そして辺を持つ直角三角形${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$。

空間充填四面体は、空間を埋め尽くすために、自身と直接合同な、または鏡像関係にあるコピーを詰め込む。^{[ 8 ]}立方体は、6つの3-直交図（左手系3つ、右手系3つ、各立方体の面にそれぞれ1つずつ）に分割でき、立方体は空間を埋め尽くすことができるため、立方体の特徴的な3-直交図はこの意味で空間充填四面体である。（立方体の特徴的な直交図は、空間充填四面体の族であるヒル四面体の1つである。すべての空間充填四面体は立方体とハサミ合同である。）

二面体は、二面体四面体ハニカムのように、直接合同な意味で空間充填四面体となることができる。しかし、正四面体はそれ自体では空間を充填することはできない（さらに、空間を充填できる他のどの多面体ともハサミ合同ではない。ヒルベルトの第3問題を参照）。四面体-正八面体ハニカムは、正四面体セルと正八面体セルを2:1の比率で交互に配置して空間を充填する。

対称群の基本領域^{[ 9 ]}である不規則な四面体は、グールサ四面体の一例である。グールサ四面体は、鏡面反射によってすべての正多面体（および他の多くの均一な多面体）を生成する。このプロセスは、ウィトフの万華鏡的構成と呼ばれている。

多面体の場合、ウィトホフの構成では、万華鏡のように3枚の鏡が互いに角度をなして配置されます。円筒形の万華鏡とは異なり、ウィトホフの鏡はグールサット四面体の3つの面に配置され、3枚の鏡すべてが一点で交わります。（生成された多面体のコクセター・ディンキン図には、3枚の鏡を表す3つのノードが含まれています。各鏡のペア間の二面角と、多面体の頂点に鏡像反射によって乗算される単一の生成点の位置が、この図に符号化されています。）

3 次元ハニカムを生成する Goursat 四面体の中には、正四面体 (立方体の特性四面体)、二重正四面体 (立方体の特性四面体が鏡像と面結合したもの)、および上に示した空間充填二面体があります。^{[ 6 ]}二面体は、二重正四面体が鏡像 (四重正四面体) と面結合したものです。したがって、これら 3 つの Goursat 四面体と、それらが反射によって生成するすべての多面体は、立方体の特性四面体に分解できます。

正四面体の体積は次の式で表されます。 $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah.}$$ どこ${\displaystyle A}$は基地の面積であり、${\displaystyle h}$は底面から頂点までの高さです。これは底面の 4 つの選択肢すべてに当てはまるため、頂点から反対側の面までの距離は、これらの面の面積に反比例します。別の方法として、三角柱を 3 つの部分に分割する方法があります。^{[ 14 ]}

その他のアプローチ

させて${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$は一点で交わる３つの辺の長さとし、${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$対向する辺の体積である。正四面体の体積${\displaystyle V}$は：^{[ 16 ]}$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$$ 上記の式は6つの辺の長さを使用し、次の式は3つの辺の長さと3つの角度を使用します。^{[ 16 ]}$${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$$

正四面体の体積はヘロンの公式を用いて求めることができる。${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$、${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$、 そして${\displaystyle w}$次の図に示すように、 は正四面体の辺の長さです。ここでは、最初の 3 つが三角形を形成し、${\displaystyle u}$反対${\displaystyle U}$、${\displaystyle v}$反対${\displaystyle V}$、 そして${\displaystyle w}$反対${\displaystyle W}$。 それから、 $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$$

どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$$ そして $${\displaystyle {\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$$

正四面体の二中線（対向する辺の中点を結ぶ線）を含む平面は、正四面体の体積を二等分する。 ^{[ 17 ]}

For tetrahedra in hyperbolic space or in three-dimensional elliptic geometry, the dihedral angles of the tetrahedron determine its shape and hence its volume. In these cases, the volume is given by the Murakami–Yano formula, after Jun Murakami and Masakazu Yano.^[18] However, in Euclidean space, scaling a tetrahedron changes its volume but not its dihedral angles, so no such formula can exist.

Any two opposite edges of a tetrahedron lie on two skew lines, and the distance between the edges is defined as the distance between the two skew lines. Let ${\displaystyle d}$ be the distance between the skew lines formed by opposite edges ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }$ as calculated here. Then another formula for the volume of a tetrahedron ${\displaystyle V}$ is given by $${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$$

The tetrahedron has many properties analogous to those of a triangle, including an insphere, circumsphere, medial tetrahedron, and exspheres. It has respective centers such as incenter, circumcenter, excenters, Spieker center and points such as a centroid. However, there is generally no orthocenter in the sense of intersecting altitudes.^[19]

Gaspard Monge found a center that exists in every tetrahedron, now known as the Monge point: the point where the six midplanes of a tetrahedron intersect. A midplane is defined as a plane that is orthogonal to an edge joining any two vertices that also contains the centroid of an opposite edge formed by joining the other two vertices.^[20] An orthogonal line dropped from the Monge point to any face meets that face at the midpoint of the line segment between that face's orthocenter and the foot of the altitude dropped from the opposite vertex. If the tetrahedron's altitudes do intersect, then the Monge point and the orthocenter coincide to give the class of orthocentric tetrahedron.

正四面体の頂点と反対側の面の重心を結ぶ線分を正中線といい、反対側の2つの辺の中点を結ぶ線分を正四面体の二中線といいます。したがって、正四面体には4つの正中線と3つの二中線があります。これら7つの線分はすべて、正四面体の重心と呼ばれる点で交わります。 ^{[ 21 ]}さらに、4つの正中線は重心によって3:1の比率で分割されます。^{[ 22 ]}正四面体の重心は、そのモンジュ点と外心の中間点です。これらの点は、三角形のオイラー線に類似した正四面体のオイラー線を定義します。

一般三角形の9点円は、正四面体の中面正四面体の外接球に類似するものが存在する。それは12点球であり、基準となる正四面体の4つの面の重心の他に、モンジュ点から4つの頂点それぞれに向かって3分の1の地点にある4つの代替オイラー点を通る。最後に、各オイラー点から、そのオイラー点を生成した頂点を含まない面に下ろした直交線の4つの基点を通る。^{[ 23 ]}

センター${\displaystyle T}$12点球の中心もオイラー線上に位置する。三角形の球の中心とは異なり、この中心はモンジュ点から3分の1の地点にある。${\displaystyle M}$外心に向かって。さらに、外心を通る直交線${\displaystyle T}$選択された面に対する直交線は、同じ面に対する他の2つの直交線と同一平面上にある。1つ目は、選択された面に対応するオイラー点を通る直交線である。2つ目は、選択された面の重心を通る直交線である。この12点中心を通る直交線は、オイラー点直交線と重心直交線の中間に位置する。さらに、どの面についても、12点中心はその面に対応するオイラー点と垂心の中点に位置する。

12点球の半径は、基準となる正四面体の外接半径の3分の1である。

^{一般的な四面体の面が作る角度の間には、 [ 24 ]}で示される関係がある。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

どこ${\displaystyle \alpha _{ij}}$面と面の間の角度${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$。

正四面体の頂点位置座標の幾何中央値とその等角中心は、三角形の場合と同様の状況下で関連付けられる。ローレンツ・リンデレーフは、任意の正四面体に対応する点が現在等角中心として知られていることを発見した。${\displaystyle O}$面がなす立体角が等しくなり、共通の値を持つ${\displaystyle \pi }$ 立体角は、 srであり、対向する辺がなす角度が等しい。^{[ 25 ]}${\displaystyle \pi }$sr は全空間の 4 分の 1 です。正四面体の頂点の立体角がすべて sr より小さい場合、${\displaystyle \pi }$sr、${\displaystyle O}$は正四面体の内部にあります。${\displaystyle O}$頂点への最小値は、${\displaystyle O}$幾何中央値と一致する${\displaystyle M}$頂点の。いずれかの頂点の立体角が${\displaystyle v}$正確に測定します${\displaystyle \pi }$sr、それから${\displaystyle O}$そして${\displaystyle M}$と一致する${\displaystyle v}$しかし、正四面体に頂点がある場合${\displaystyle v}$立体角がより大きい${\displaystyle \pi }$sr、${\displaystyle M}$依然として${\displaystyle v}$、 しかし${\displaystyle O}$正四面体の外側に位置する。

通常の正弦定理の帰結として、頂点が 4 個の正四面体では、${\displaystyle O}$、${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$は、 $${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.}$$ この恒等式の両側は、表面の時計回りと反時計回りの向きに対応していると考えることができる。4 つの頂点のいずれかを${\displaystyle O}$4 つの恒等式が得られますが、独立なのは最大で 3 つです。これら 3 つの恒等式の「時計回り」の辺を掛け合わせると、同じ 3 つの恒等式の「反時計回り」の辺の積に等しいことがわかります。したがって、両辺から共通因数が消去され、結果として 4 番目の恒等式が得られます。

3つの角が何らかの三角形の角であるのは、それらの和が180°（πラジアン）である場合に限る。12個の角が何らかの正四面体の12個の角となるために必要かつ十分な条件は何か。正四面体のどの辺の角の和も180°でなければならない。そのような三角形は4つあるので、角の和に関する制約も4つあり、自由度の数は12から8に減少する。この正弦法則によって与えられる4つの関係は、4番目の制約が最初の3つの制約と独立していないため、自由度の数を8から4ではなく5にさらに減らす。したがって、すべての正四面体の形状の空間は5次元である。^{[ 26 ]}

させて${\displaystyle P_{1}}$、${\displaystyle P_{2}}$、${\displaystyle P_{3}}$、${\displaystyle P_{4}}$を正四面体の頂点とする。${\displaystyle \Delta _{i}}$頂点の反対側の面の領域とする${\displaystyle P_{i}}$そして${\displaystyle \theta _{ij}}$は、辺に隣接する正四面体の2つの面の間の二面角とする。${\displaystyle P_{i}P_{j}}$四面体の面の面積と頂点の周りの二面角の関係を表す四面体の余弦定理は、次の関係式で与えられる。 ^{[ 27 ]}$${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$$

させて${\displaystyle P}$体積が の正四面体の任意の内部点とする${\displaystyle V}$頂点は${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、 そして${\displaystyle D}$、そしてその対向面の面積は${\displaystyle F_{a}}$、${\displaystyle F_{b}}$、${\displaystyle F_{c}}$、 そして${\displaystyle F_{d}}$.そして、^{[ 28 ]}$${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$$

頂点の場合${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、 そして${\displaystyle D}$内部点${\displaystyle P}$、そして足${\displaystyle J}$、${\displaystyle K}$、${\displaystyle L}$、 そして${\displaystyle M}$垂線から${\displaystyle P}$面に対して、面の面積が等しいと仮定すると、次のようになります。^{[ 29 ]}$${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$$

正四面体の内接半径を次のように表す。${\displaystyle r}$そしてその三角形の面の半径は${\displaystyle r_{1}}$のために${\displaystyle i=1,2,3,4}$すると：^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$$ 等号が成り立つのは、正四面体が正四面体である場合に限る。

もし${\displaystyle A_{1}}$、${\displaystyle A_{2}}$、${\displaystyle A_{3}}$そして${\displaystyle A_{4}}$各面の面積を表す値${\displaystyle r}$は $${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}.}$$

この式は、正四面体を4つの小四面体に分割することによって得られます。これらの小四面体の頂点は、元の面の1つの3つの頂点と内心です。4つの小四面体が体積を埋め尽くすので、次のようになります。 $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r.}$$

正四面体の外接半径をRとします。頂点で交わる 3 つの辺の長さをa、b、cとし、反対側の辺の長さをA、B、Cとします。正四面体の体積をVとします。すると^{[ 31 ] [ 32 ]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

正四面体の外心は、3 つの二等分平面の交点として見つけることができます。二等分平面は、正四面体の辺を中心とし、その辺に直交する平面として定義されます。この定義により、頂点がx ₀、x ₁、x ₂、x ₃である正四面体の外心C は、行列とベクトルの積として定式化できます。^{[ 33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

鈍角三角形とは異なり、外心は必ずしも鈍角四面体の外側にあるとは限りません（つまり、1 つ以上の二面角が より大きい場合）。${\displaystyle \pi /2}$また、鋭角四面体（つまり、すべての二面角が 1 未満の場合）の内部にあるとは限りません。${\displaystyle \pi /2}$） ^{[ 34 ]}