ミドルレンジ

統計学では、中間値または中間極値は、データセットの最大値と最小値の算術平均として定義される標本の中心傾向の尺度です。^{[ 1 ]}

${\displaystyle M={\frac {\max x+\min x}{2}}.}$

中間値は、最大値と最小値の差として定義される統計的ばらつきの尺度である範囲と密接に関連しています。この2つの尺度は、中間値と範囲が分かれば標本の最大値と最小値を求めることができるという意味で、互いに補完的な関係にあります。

中間値は、ほとんどの分布の推定値として効率が悪く、中間点をすべて無視してしまうため、実用的な統計分析ではほとんど使用されません。また、外れ値によって大きく変化するため、頑健性にも欠けます。実際、多くの分布において、中間値は最も効率が悪く、頑健性も低い統計量の1つです。しかし、特殊なケースでは有用です。例えば、一様分布の中心値に対して最も効率的な推定値であり、トリミングされた中間値は頑健性の問題に対処し、L推定値として理解しやすく計算も容易です。

中間値は外れ値に非常に敏感で、2つのデータポイント以外はすべて無視されます。そのため、非常に頑健性の低い統計量であり、ブレークダウンポイントは0です。つまり、1つの観測値によって中間値が任意に変化する可能性があります。さらに、外れ値の影響を強く受けます。サンプル最大値をxだけ増加させるか、サンプル最小値をxだけ減少させると、中間値はxだけ変化します。${\displaystyle x/2,}$標本平均も変化しますが、その標本平均のブレークダウンポイントは0で、${\displaystyle x/n.}$したがって、外れ値が既に処理されていない限り、実用的な統計学においてはほとんど役に立たない。

トリムされたミッドレンジは、中間要約–nn% と (100−n)% パーセンタイルの平均でありnのブレークダウンポイント。これらの中間には、25% 中間要約である中間ヒンジが中央値は、完全にトリミングされた (50%) 中間範囲として解釈できます。これは、偶数個のポイントの中央値は、中央の 2 つのポイントの平均であるという慣例に一致します。

これらのトリミングされた中間値は、記述統計量として、または中心位置や歪度のL推定量としても興味深いものです。中間値の差、例えば中間値から中央値を引いた値は、裾野の異なる点における歪度の尺度となります。^{[ 2 ]}

欠点はあるものの、場合によっては有用である。例えば、十分に尖度が低い分布の小さなサンプルが与えられた場合、中間値はμの非常に効率的な推定値となるが、正規分布のような中尖度分布に対しては非効率的である。

例えば、最大値と最小値が未知の連続一様分布の場合、中間値は平均値の一様最小分散不偏推定量（UMVU）推定量となります。標本最大値と標本最小値は、標本サイズとともに、母集団の最大値と最小値に対する十分統計量となります。与えられた最大値と最小値を条件とした他の標本の分布は、最大値と最小値の間の一様分布に過ぎず、したがって何の情報も追加しません。詳細については、ドイツ戦車問題を参照してください。したがって、母集団平均の不偏かつ十分推定量である中間値は、実際にはUMVUであり、標本平均を使用すると、この範囲内の点の情報のない分布に基づくノイズが加わるだけです。

逆に、正規分布の場合、標本平均は平均の UMVU 推定値です。したがって、一様分布と正規分布の中間とみなされることが多い平坦な分布では、中央の標本点と極値の情報量は、正規分布では「同等」、一様分布では「情報なし」と変化し、分布によって、どちらか一方（またはそれらの組み合わせ）が最も効率的になる場合があります。頑健な類似例として、中央値 (中央範囲の 25% をトリミングしたもの) と中央値を平均したトリミーンがあります。

標準正規分布からのサイズnのサンプルでは、​​中間範囲Mは不偏であり、分散は次のように与えられます。^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{24\ln(n)}}.}$

標準ラプラス分布からのサイズnのサンプルでは、​​中間範囲Mは不偏であり、分散は次のように与えられます。^{[ 6 ]}

$\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

そして特に、サンプルサイズが大きくなっても分散はゼロにはならない。

ゼロ中心の一様分布からのサイズnのサンプルでは、​​中間値Mは不偏であり、nM は漸近分布がラプラス分布になります。^{[ 7 ]}

一連の値の平均は偏差の二乗和を最小化し、中央値は平均絶対偏差を最小化するが、中間値は最大偏差（次のように定義される）を最小化する。${\displaystyle \max \left|x_{i}-m\right|}$これは変分問題の解です。

• 範囲（統計）
• ミッドヒンジ