平均絶対偏差

データセットの平均絶対偏差（AAD）は、中心点からの絶対偏差の平均です。これは、統計的分散または変動性を示す要約統計量です。一般的に、中心点は、平均値、中央値、最頻値、またはその他の中心傾向の尺度の結果、あるいは与えられたデータセットに関連する任意の参照値になります。AADには、平均絶対偏差と中央絶対偏差（どちらもMADと略されます）が含まれます。

統計的ばらつきの尺度は、絶対偏差によって定義されるものがいくつかある。「平均絶対偏差」という用語は、統計的ばらつきの尺度を一意に特定するものではない。絶対偏差を測定するために使用できる尺度は複数あり、中心傾向を測定するために使用できる尺度も複数あるからである。したがって、絶対偏差を一意に特定するには、偏差の尺度と中心傾向の尺度の両方を指定する必要がある。統計学の文献では、平均値からの平均絶対偏差と中央値からの平均絶対偏差の両方が、文献では「MAD」という頭文字で表記されているため、標準的な表記法がまだ採用されていない。これらの値は一般的にかなり異なるため、混乱を招く可能性がある。

集合X = { x ₁ , x ₂ , …, x _n }の平均絶対偏差は次のとおりである。$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.}$$

中心傾向の尺度の選択、${\displaystyle m(X)}$は、平均偏差の値に顕著な影響を与えます。例えば、データセット{2, 2, 3, 4, 14}の場合：

原則として、平均値やその他の中心点を中央絶対偏差の中心点として用いることも可能だが、多くの場合、中央値が用いられる。

任意の点からの最大絶対偏差は、その点からの標本の絶対偏差の最大値です。厳密には中心傾向の尺度ではありませんが、最大絶対偏差は、上記の平均絶対偏差の式を使用して求めることができます。${\displaystyle m(X)=\max(X)}$、 どこ${\displaystyle \max(X)}$は標本最大値です。

絶対偏差から導出される統計的分散の尺度は、分散を最小化する中心傾向のさまざまな尺度を特徴づけます。中央値は、絶対偏差と最も関連性の高い中心傾向の尺度です。いくつかの位置パラメータは、次のように比較できます。

• L2ノルム統計：平均は平均二乗誤差^{を最小化する}
• L ¹ノルム統計: 中央値は平均絶対偏差を最小化します。
• L∞ノルム統計：中間範囲は最大絶対偏差^を最小化する
• トリミングされたL ^∞ノルム統計: 例えば、分布全体の中央絶対偏差を最小化するミッドヒンジ(第 1 四分位数と第 3 四分位数の平均) は、上位 25% と下位 25% をトリミングした後の分布の最大絶対偏差も最小化します。

標本の平均絶対偏差は、母集団の平均絶対偏差の偏りのある推定値です。絶対偏差が偏りのない推定値となるためには、すべての標本絶対偏差の期待値（平均）が母集団の絶対偏差と等しくなければなりません。しかし、実際にはそうではありません。母集団1、2、3の場合、中央値に関する母集団の絶対偏差と平均値に関する母集団の絶対偏差はどちらも2/3です。母集団から抽出できるサイズ3の標本の平均に関するすべての標本絶対偏差の平均は44/81ですが、中央値に関するすべての標本絶対偏差の平均は4/9です。したがって、絶対偏差は偏りのある推定値です。

しかし、この議論は平均値の不偏性という概念に基づいています。位置の各指標にはそれぞれ独自の不偏性があります（偏りのある推定量に関する項目を参照）。ここで関連する不偏性の形式は、中央値の不偏性です。

• 偏差（統計）
  • 中央絶対偏差
  • 平均からの偏差の二乗
  • 最小絶対偏差
• エラー
  • 平均絶対誤差
  • 平均絶対パーセント誤差
  • 誤りの可能性が高い
• 平均絶対差
• 平均整流値

• 平均絶対偏差の利点