レーマーは

数学において、デリック・ヘンリー・レーマー[ ^1]にちなんで名付けられた正の実数の組のレーマー平均は次のように定義されます。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^ {n}x_{k}^{p-1}}}.}$

正の重みの組に関する加重Lehmer 平均は次のように定義されます。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle L_{p,w}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\ sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.}$

Lehmer 平均は、算術平均と調和平均を介して最小値と最大値の間を補間する ための累乗平均の代替手段です。

の導関数は負ではない ${\displaystyle p\mapsto L_{p}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}},}$

したがってこの関数は単調であり、不等式

${\displaystyle p\leq q\Longrightarrow L_{p}(\mathbf {x} )\leq L_{q}(\mathbf {x} )}$

保持します。

加重 Lehmer 平均の導関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial L_{p,w}(\mathbf {x} )}{\partial p}}={\frac {(\sum wx^{p-1})(\sum wx^{p}\ln {x})-(\sum wx^{p})(\sum wx^{p-1}\ln {x})}{(\sum wx^{p-1})^{2}}}}$

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$は の要素の最小値です。${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle L_{0}(\mathbf {x} )}$は調和平均です。
• ${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}\left((x_{1},x_{2})\right)}$は2 つの値の幾何平均です。${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$
• ${\displaystyle L_{1}(\mathbf {x} )}$算術平均です。
• ${\displaystyle L_{2}(\mathbf {x} )}$は反調和平均です。
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$は の要素の最大値です。${\displaystyle \mathbf {x} }$
  証明の概要:一般性を失うことなく、最大値に等しい値をとします。すると、${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )=x_{1}\cdot {\frac {k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p}}{k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p-1}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p-1}}}}$

べき乗平均と同様に、Lehmer 平均は、 が小さい場合は小さな信号値に向かってシフトし、 が大きい場合は大きな信号値を強調する非線形移動平均として機能します。と呼ばれる移動算術平均の効率的な実装があれば、次のHaskellコードに従って移動 Lehmer 平均を実装できます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$smooth

lehmerSmooth ::フローティングa => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] lehmerSmoothスムーズp xs = zipWith ( / ) (スムーズ( map ( ** p ) xs )) (スムーズ( map ( ** ( p - 1 )) xs ))             
    
     
               
               

• 大規模な場合、整流された信号に対してエンベロープ検出器として機能します。${\displaystyle p}$
• 小型なので、質量スペクトルのベースライン検出器として使用できます。${\displaystyle p}$

ゴンザレスとウッズはこれを、 pのさまざまな値について記述された「反調和平均フィルタ」と呼んでいます(ただし、上記のように、反調和平均は特定のケースを指すことがあります)。彼らの慣例では、 p をフィルタQの次数で置き換えます。 ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q+1}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q}}}.}$

Q =0は算術平均です。正のQはペッパーノイズを低減し、負のQはソルトノイズを低減します。^[2]

• 平均
• パワー平均

• MathWorld での Lehmer Mean