調和平均

数学において、調和平均はピタゴラス平均の一種です。

これは速度などの比率や割合に最も適した平均であり、 ^{[1] [2]}通常は肯定的な議論にのみ使用されます。^[3]

調和平均は、数の逆数の算術平均の逆数、つまり一般化されたf平均です。たとえば、1、4、4の調和平均は ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}$

正の実数の調和平均Hは^[4] ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.}$

これは逆数の 算術平均の逆数であり、逆もまた同様です。

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}}$

ここで算術平均は${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

調和平均はシュア凹関数であり、その引数の最小値以上です。引数が正の場合、です。したがって、調和平均は、一部の値をより大きな値に変更することによって任意に大きくすることはできません（少なくとも 1 つの値は変更しません）。^[要出典]${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

調和平均も正の引数に対して凹状であり、これはシューア凹状よりもさらに強い特性である。^[要出典]

等しくない値のペアを少なくとも1つ含むすべての正のデータ セットでは、調和平均は常に 3 つのピタゴラス平均のうち最小の値になりますが、 ^[5]算術平均は常に 3 つのうち最大の値になり、幾何平均は常にその中間の値になります。(空でないデータ セット内のすべての値が等しい場合、3 つの平均は常に等しくなります。)

これはべき乗平均の特別なケースM ₋₁である。 $${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$$

数値リストの調和平均はリストの最小の要素に強く傾向するため、（算術平均と比較して）大きな外れ値の影響を軽減し、小さな外れ値の影響を悪化させる傾向があります。

算術平均は、調和平均が求められるところで誤って使用されることがよくあります。^[6]たとえば、以下の速度の例では、算術平均の40は誤りであり、大きすぎます。

調和平均は、以下の式でわかるように、他のピタゴラス平均と関連しています。これは、分母を、各回 j 番目の項を省略した数値の積の算術平均として解釈することでわかります。つまり、最初の項では、最初の数値を除くすべてのn個の数値を掛け合わせ、2 番目の項では、2 番目の数値を除くすべてのn 個の数値を掛け合わせ、というように続きます。算術平均に付随する nを除いた分子は、 n乗の幾何平均です。したがって、n番目の調和平均は、 n番目の幾何平均および算術平均と関連しています。一般的な式は次のとおりです。 $${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots 、{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$$

同一でない数の集合が平均保存拡散を受ける場合、つまり、集合の2つ以上の要素が算術平均を変えずに互いに「拡散」される場合、調和平均は常に減少します。^[7]

と の2つの数値だけの特別なケースでは、調和平均は次のように表される: ^[4]${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ または ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

（の場合、調和平均は定義されないことに注意してください。） ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=0}$${\displaystyle x_{1}=-x_{2}}$

この特別なケースでは、調和平均は算術平均 および幾何平均と次のように関係している^[4]。${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

算術平均と幾何平均の不等式により、n = 2 の場合、H ≤ G であることがわかります(この特性は、実際にはすべてのnに当てはまります)。また、 となり、2 つの数値の幾何平均は、それらの算術平均と調和平均の幾何平均に等しいことを意味します。 ${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

3つの数値、、の特別なケースでは、調和平均は次のように表される。^[4]${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

3つの正の数H、G、Aがそれぞれ3つの正の数の調和平均、幾何平均、算術平均である場合、 ^{[8] ：p.74、#1834}次の不等式が成り立つ 場合のみ

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

重み のセット、...、がデータセット、...、に関連付けられている場合、加重調和平均は^[9]で定義されます。${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{n}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

重み付けされていない調和平均は、すべての重みが等しい特殊なケースと見なすことができます。

素数定理は、以下の素数の数が最初の自然数の調和平均に漸近的に等しいことを述べています。^[10]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

速度と比率が関係する多くの状況では、調和平均が正しい平均を提供します。たとえば、車両が特定の距離d を速度x (例: 60 km/h) で往復し、同じ距離を速度y (例: 20 km/h) で戻る場合、その平均速度はxとyの調和平均(30 km/h) であり、算術平均 (40 km/h) ではありません。総移動時間は、その平均速度で全距離を移動した場合と同じです。これは次のように証明できます。^[11]

全行程の平均速度 = ⁠総移動距離/各セグメントの合計時間⁠ = ⁠2日/⁠d/x⁠ + ⁠d/ええ⁠⁠ = ⁠2xy​/x + y⁠

ただし、車両が一定時間速度x で移動し、その後同じ時間速度yで移動する場合、その平均速度はxとyの算術平均となり、上記の例では 40 km/h になります。

全行程の平均速度 = ⁠総移動距離/各セグメントの合計時間⁠ = ⁠xt + yt/2トン⁠ = ⁠x + y/2⁠

同じ原則が 3 つ以上のセグメントにも適用されます。つまり、異なる速度での一連のサブトリップがある場合、各サブトリップが同じ距離を移動すると、平均速度はすべてのサブトリップの速度の調和平均になります。また、各サブトリップに同じ時間がかかる場合、平均速度はすべてのサブトリップの速度の算術平均になります。(どちらも当てはまらない場合は、加重調和平均または加重算術平均が必要です。算術平均の場合、トリップの各部分の速度はその部分の所要時間によって加重されますが、調和平均の場合、対応する重みは距離です。どちらの場合も、結果として得られる式は、合計距離を合計時間で割ることに簡略化されます。)

ただし、「距離による重み付け」の場合は、調和平均の使用を避けることができます。問題を、旅行の「遅さ」を見つけるものとし、「遅さ」(1 キロメートルあたりの時間) は速度の逆数です。旅行の遅さが見つかったら、それを逆転させて「真の」平均旅行速度を見つけます。各旅行セグメント i について、遅さ s _i = 1/速度_iです。次に、それぞれの距離で重み付けされたs _iの加重算術平均を取ります(オプションで、重みを旅行の長さで割って合計が 1 になるように正規化します)。これで、真の平均遅さ (1 キロメートルあたりの時間) が得られます。調和平均を知らなくても実行できるこの手順は、調和平均を使用してこの問題を解決するときに使用するのと同じ数学的操作に相当します。したがって、この場合に調和平均が機能する理由が説明されます。

同様に、合金の密度を、その構成元素の密度と質量分率（または、同等に、質量パーセント）から推定する場合、合金の予測密度（原子充填効果による通常の小さな体積変化を除く）は、最初に予想される加重算術平均ではなく、質量で加重された個々の密度の加重調和平均になります。加重算術平均を使用するには、密度を体積で加重する必要があります。この問題に次元解析を適用し、質量単位を元素ごとにラベル付けし、同じ質量の元素のみが打ち消されるようにすると、これが明確になります。

2 つの電気抵抗器を並列に接続し、一方の抵抗がx (たとえば 60  Ω )、もう一方の抵抗がy (たとえば 40 Ω) の場合、効果は同じ抵抗値を持つ 2 つの抵抗器を使用した場合と同じになります。両方の抵抗値はxとyの調和平均(48 Ω) に等しくなります。つまり、どちらの場合も等価抵抗は 24 Ω (調和平均の半分) です。この同じ原理は、直列のコンデンサや並列の インダクタにも適用されます。

ただし、抵抗器を直列に接続すると、平均抵抗はxとyの算術平均 (50 Ω) となり、総抵抗はxとyの合計の 2 倍 (100 Ω) になります。この原理は、並列のコンデンサや直列のインダクタにも適用されます。

前の例と同様に、2 つ以上の抵抗器、コンデンサ、またはインダクタが接続されている場合にも、すべてが並列またはすべてが直列であれば、同じ原則が適用されます。

半導体の「伝導有効質量」は、3つの結晶方向に沿った有効質量の調和平均としても定義されます。^[12]

他の光学方程式としては、薄レンズ方程式 ⁠1/ふ⁠ = ⁠1/あなた⁠ + ⁠1/ヴ⁠ は、焦点距離fがレンズからの被写体uと物体vの距離の調和平均の半分になるように書き直すことができる。 ^[13]

焦点距離f ₁とf ₂の2 つの薄いレンズを直列に接続することは、焦点距離f _{hm (それらの調和平均) の 2 つの薄いレンズを直列に接続することと同等です。}光学パワーとして表すと、光学パワーP ₁とP _{2の 2 つの薄いレンズを直列に接続することは、光学パワー}P _{am (}それらの算術平均)の 2 つの薄いレンズを直列に接続することと同等です。

加重調和平均は、株価収益率（P/E）などの倍率を平均化するのに好ましい方法です。これらの比率を加重算術平均を使用して平均すると、高いデータポイントは低いデータポイントよりも大きな重みが与えられます。一方、加重調和平均は、各データポイントに適切な重みを与えます。^[14]加重算術平均をP/Eなどの価格正規化されていない比率に適用すると、上方にバイアスがかかり、数値的に正当化できません。これは、車両の速度を往復で平均化できないのと同じです（上記を参照）。^[15]

どの三角形でも、内接円の半径は高さの調和平均の 3 分の 1 です。

正三角形ABCの​​外接円の短弧BC上の任意の点Pについて、BとCからの距離がそれぞれqとtで、PAとBCの交点が点Pからyの距離にあるとき、yはqとtの調和平均の半分である。^[16]

直角三角形の辺がaとbで、斜辺から直角までの高さが hのとき、 h ^{2 は}a ²とb ²の調和平均の半分である。^{[17] [18]}

tとs ( t > s ) を、斜辺cを持つ直角三角形の2 つの内接正方形の辺とすると、s ^{2 は}c ²とt ²の調和平均の半分に等しくなります。

台形に頂点 A、B、C、D が順にあり、平行な辺 AB と CD があるとします。E を対角線の交点とし、F を辺 DA 上に、G を辺 BC 上に置き、FEG が AB と CD に平行になるようにします。すると、FG は AB と DC の調和平均になります。(これは相似三角形を使用して証明できます。)

この台形の結果の応用例の 1 つが交差はしご問題です。この問題では、 2 つのはしごが路地を挟んで向かい合って立っており、それぞれの脚は一方の側壁の底部にあり、図に示すように、 1 つは高さAで壁に立てかけられ、もう 1 つは高さBで反対側の壁に立てかけられています。はしごは路地の床から高さhのところで交差しています。この場合、 h はAとBの調和平均の半分です。壁が斜めであっても平行である場合、この結果は依然として成り立ち、 "高さ" A、B、およびh は、壁に平行な線に沿った床からの距離として測定されます。これは、台形の面積の公式と面積の加算公式を使用して簡単に証明できます。

楕円の場合、短軸と平行な線に沿った焦点から楕円までの距離（短軸と平行な線に沿った距離）は、焦点からの楕円の最大距離と最小距離の調和平均です。

コンピュータサイエンス、特に情報検索と機械学習では、適合率（予測された陽性数あたりの真陽性数）と再現率（実際の陽性数あたりの真陽性数）の調和平均が、アルゴリズムとシステムの評価のための集計されたパフォーマンススコアとしてよく使用されます：Fスコア（またはF尺度）。これが情報検索で使われるのは、陽性クラスだけが関連性があり、陰性の数は一般に大きくて未知であるためです。^[19]したがって、正しい陽性予測を予測された陽性の数と実際の陽性の数のどちらで測定するかはトレードオフであり、2つの可能な分母の算術平均である推定陽性数に対して測定されます。

人々やシステムが連携して働く問題では、基本的な代数から帰結が生まれます。例えば、ガス駆動のポンプがプールを4時間で排水でき、電池駆動のポンプが同じプールを6時間で排水できる場合、両方のポンプで6·4/6 + 4⁠、つまり2.4時間でプールを一斉に排水します。これは6と4の調和平均の半分です: ⁠2·6·4/6 + 4⁠ = 4.8。つまり、2 種類のポンプの適切な平均は調和平均であり、1 組のポンプ (2 つのポンプ) ではこの調和平均時間の半分かかり、2 組のポンプ (4 つのポンプ) ではこの調和平均時間の 4 分の 1 かかります。

水文学では、同様に調和平均が層（地質や土壌など）に垂直な流れの水力伝導率の平均化に使用され、層に平行な流れには算術平均が使用されます。平均化におけるこの明らかな違いは、水文学では抵抗率の逆数である伝導率を使用するという事実によって説明されます。

セイバーメトリクスでは、野球選手のパワースピード数値は、本塁打と盗塁の合計の調和平均です。

集団遺伝学では、調和平均は、国勢調査の集団規模の変動が実効的な集団規模に与える影響を計算するときに使用されます。調和平均では、集団ボトルネックなどのイベントによって遺伝的浮動の速度が上昇し、集団内の遺伝的変異の量が減少するという事実が考慮されています。これは、ボトルネックの後、遺伝子プールに寄与する個体が極めて少なくなり、今後何世代にもわたって集団内に存在する遺伝的変異が制限されるという事実の結果です。

自動車の燃費を考える場合、一般的に2つの基準、1ガロンあたりのマイル数（mpg）と100 kmあたりのリットル数が使用されます。これらの量の次元は互いに逆であるため（1つは距離/体積、もう1つは距離あたりの体積）、さまざまな車の燃費の平均値を取ると、一方の基準からもう一方の基準の調和平均が生成されます。つまり、100 kmあたりのリットルで表される燃費の平均値を1ガロンあたりのマイル数に変換すると、1ガロンあたりのマイルで表される燃費の調和平均が生成されます。個々の燃料消費量から車両群の平均燃料消費量を計算する場合、車両群が1ガロンあたりのマイル数を使用する場合は調和平均を使用し、車両群が100 kmあたりのリットル数を使用する場合は算術平均を使用する必要があります。米国では、CAFE基準（連邦自動車燃料消費基準）で調和平均が使用されます。

化学および原子核物理学では、異なる種（分子や同位体など）からなる混合物の粒子あたりの平均質量は、個々の種の質量をそれぞれの質量分率で重み付けした調和平均によって与えられます。

形状パラメータαとβを持つベータ分布の調和平均は次のようになります。

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

α < 1の調和平均は、その定義式が [0, 1] で制限されていないため、未定義です。

α = βとする

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

α = βの場合、調和平均は 0 ( α = β = 1) から 1/2 ( α = β → ∞) の範囲であることを示しています。

以下は、1 つのパラメータが有限 (ゼロ以外) で、他のパラメータがこれらの制限に近づく場合の制限です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

幾何平均とともに、調和平均は 4 つのパラメータの場合の最大尤度推定に役立つ場合があります。

この分布には 第2調和平均（H _{1 − X ）も存在する。}

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

β < 1のこの調和平均は、定義式が [ 0, 1 ] で制限されていないため、未定義です。

上記の式で α = βとすると

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

α = βの場合、調和平均は 0 ( α = β = 1) から 1/2 ( α = β → ∞) の範囲にあることを示しています。

以下は、1 つのパラメータが有限 (ゼロ以外) で、他のパラメータがこれらの制限に近づいている場合の制限です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

両方の調和平均は非対称ですが、α = βの場合、 2 つの平均は等しくなります。

ランダム変数Xの対数正規分布の調和平均（H）は^[20]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

ここで、μとσ2^は分布のパラメータ、つまりXの自然対数の分布の平均と分散です。

分布の調和平均と算術平均は次のように関係している。

${\displaystyle {\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,}$

ここで、C _vとμ ^{* はそれぞれ}変動係数と分布の平均 です。

分布の幾何平均（G ）、算術平均、調和平均は^{[21]で関連付けられる。}

${\displaystyle H\mu ^{*}=G^{2}.}$

タイプ1パレート分布の調和平均は^[22]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

ここで、kはスケールパラメータ、α は形状パラメータです。

ランダム サンプルの場合、調和平均は上記のように計算されます。平均と分散は両方とも無限大になる場合があります(1/0 形式の項が少なくとも 1 つ含まれている場合)。

サンプルmの平均は、分散s ²で漸近的に正規分布します。

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

平均値自体の分散は^[23]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

ここで、mは逆数の算術平均、xは変量、nは母集団のサイズ、E は期待値演算子です。

分散が無限大ではなく、中心極限定理が標本に適用されると仮定すると、デルタ法を用いると、分散は

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

ここでHは調和平均、mは逆数の算術平均である。

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s ^{2 は}データの逆数の分散である

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

n はサンプル内のデータ ポイントの数です。

平均値が分かっている場合、分散を推定するジャックナイフ法が可能である。[ 24 ^]この方法は、「mを削除」バージョンではなく、通常の「1を削除」バージョンである。

この方法では、まずサンプルの平均（m） を計算する必要がある。

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

ここで、x はサンプル値です。

次に 一連の値w _{iが計算され、}

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

w _iの平均 ( h ) は次のようになります。

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

平均の分散は

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

有意性検定と平均値の信頼区間はt 検定で推定できます。

ランダム変量の分布がf ( x ) であると仮定します。また、変量が選択される可能性はその値に比例すると仮定します。これは、長さベースまたはサイズ バイアス サンプリングとして知られています。

μを母集団の平均とすると、サイズバイアスのある母集団の 確率密度関数 f *( x )は

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

この長さに偏りのある分布E ^* ( x )の期待値は^[23]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

ここでσ2^は分散です。

調和平均の期待値は長さバイアスのないバージョンE( x ) と同じである。

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

^{長さによる偏りのあるサンプリングの問題は、繊維製造[25]、}家系分析^[26]、生存分析^[27]など、多くの分野で発生する。

Akmanらはサンプルの長さに基づくバイアスを検出するためのテストを開発した。^[28]

Xが正の確率変数でq > 0の場合、すべてのε > 0に対して^[29]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

XとE( X ) > 0であると仮定すると^[29]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

これはジェンセンの不等式から導かれます。

ガーランドは^[30]、正の値のみをとる分布に対して、任意のn > 0 に対して

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

ある条件下では^[31]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

ここで、~ はほぼ等しいことを意味します。

変量( x )が対数正規分布から抽出されると仮定すると、 Hの推定値はいくつか考えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

これらのうちH3_はおそらく25以上のサンプルに対して最も優れた推定値である。^[32]

H1_のバイアスと分散の一次近似は^[33]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

ここで、C _{v は}変動係数です。

同様にH3_のバイアスと分散の一次近似は^[33]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

数値実験では、H _{3は一般に}H ₁よりも調和平均の優れた推定値である。^[33] H _2はH ₁とほぼ同様の推定値を生成する。

環境保護庁は、水中の毒素の最大レベルを設定する際に調和平均を使用することを推奨している。^[34]

地球物理学的貯留層工学研究では調和平均が広く使用されている。^[35]

• 反調和平均
• 一般化平均
• 調和数
• レート（数学）
• 加重平均
• 並列合計
• 幾何平均
• 加重幾何平均
• HM-GM-AM-QM不等式
• 調和平均p値

• Weisstein、Eric W.「調和平均」。MathWorld。
• 平均、算術平均、調和平均（カット・ザ・ノット）