ハインツは

数学において、2つの非負の実数AとBのハインツ平均（E.ハインツ^{[1]にちなんで名付けられた）は、バティア}^[2]によって次のように定義されました。

\operatorname {H} _{x}(A,B)={\frac {A^{x}B^{1-x}+A^{1-x}B^{x}}{2}},

ただし0 ≤ x ≤ ⁠1/2⁠ .

xの異なる値に対して、このハインツ平均は算術平均（x = 0）と幾何平均（x = 1/2）の間を補間し、0 < x < ⁠1/2⁠ :

{\sqrt {AB}}=\operatorname {H} _{\frac {1}{2}}(A,B)<\operatorname {H} _{x}(A,B)<\operatorname {H} _{0}(A,B)={\frac {A+B}{2}}.

ハインツ平均は、 -発散を対称化すると自然に現れる。^[3] ${\textstyle \alpha }$

これは半正定値行列に対しても同様に定義することができ、同様の補間式を満たす。^[4]^[5]

参照

^ E. Heinz (1951)、「Beiträge zur Störungstheorie der Spektralzerlegung」、 Math.アン。、123、415–438ページ。
^ Bhatia, R. (2006)、「算術幾何平均不等式の補間とその演算子バージョン」、線形代数とその応用、413 (2–3): 355–363、doi : 10.1016/j.laa.2005.03.005。
^ ニールセン、フランク; ノック、リチャード; 天利、俊一 (2014)、「混合αダイバージェンスを用いたk平均法によるヒストグラムのクラスタリングについて」、エントロピー、16 (6): 3273–3301、Bibcode :2014Entrp..16.3273N、doi : 10.3390/e16063273、hdl : 1885/98885 。
^ Bhatia, R.; Davis, C. (1993)、「算術幾何平均不等式のその他の行列形式」、SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications、14 (1): 132–136、doi :10.1137/0614012。
^ Audenaert、Koenraad MR (2007)、「ハインツ平均の特異値不等式」、線形代数とその応用、422 (1): 279–283、arXiv : math/0609130、doi :10.1016/j.laa.2006.10。 006、S2CID 15032884。