ピタゴラスは

数学において、3つの古典的なピタゴラス平均は、算術平均（AM）、幾何平均（GM）、調和平均（HM）です。これらの平均は、幾何学と音楽において重要であるため、 ピタゴラス学派とその後の世代のギリシャの数学者によって比率とともに研究されました^{[1] 。}

それらは次のように定義されます:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}}{n}}\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}}$$

各平均値には次の特性があります。 ${\textstyle \operatorname {M} }$

一次同次性

${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

交換に対する不変性

${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )}$

任意のおよびに対して。${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

単調性

${\displaystyle a\leq b\rightarrow \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\leq \operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$

冪等性

${\displaystyle \forall x,\;M(x,x,\ldots x)=x}$

単調性と冪等性は、集合の平均が常に集合の両端の間にあることを意味します。 $${\displaystyle \min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}).}$$

調和平均と算術平均は、正の議論では互いに逆双対である。 $${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}},}$$

一方、幾何平均はそれ自身の逆数双対です。 $${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}.}$$

これらの平均値には順序があり (すべてが正の場合) 、すべてが等しい 場合にのみ等式が成立します。 ${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }$$${\displaystyle x_{i}}$

これは、算術平均と幾何平均の不等式の一般化であり、一般平均の不等式の特殊なケースです。証明は、算術平均と幾何平均の不等式、、および逆数双対性（およびは互いに逆数双対でもある） から得られます。${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$${\displaystyle \min }$${\displaystyle \max }$

ピタゴラス平均の研究は、マジョライゼーションとシューア凸関数の研究と密接に関連しています。調和平均と幾何平均は引数の凹対称関数であるためシューア凹ですが、算術平均は引数の線形関数であるため凹と凸の両方です。

ピタゴラスの算数について私たちが知っていることのほとんどすべては、1世紀と2世紀に書かれた算数のハンドブックから来ています。ゲラサのニコマコスは、それらは「ピタゴラス、プラトン、アリストテレスなどすべての古代人によって認められていた」と述べています。^{[2]それらの最も古い使用は、ピタゴラスの哲学者}タレントゥムのアルキタスの断片です。

音楽には3つの平均がある。1つは算術、2番目は幾何、3番目は準対比で、これを調和的と呼ぶ。3つの項が比例していて、最初の項が2番目を超える超過分が、2番目が3番目を超える超過分と同じである場合、平均は算術的である。この比例では、大きい項の間隔は小さく、小さい項の間隔は大きいことがわかる。最初の項が2番目に対してであるように、2番目が3番目に対してであるとき、平均は幾何的である。これらの項のうち、大きい項と小さい項の間の間隔は等しい。準対比で、これを調和的と呼ぶが、最初の項が2番目を超える部分があれば、中間の項が3番目を超えるとき、平均である。この比例では、大きい項間の間隔は大きく、小さい項間の間隔は小さくなることがわかる。

— タレントゥムのアルキタス、^[3]

イアンブリコスによれば、「調和的中庸」という名前は、アルキタスとヒッパソスによって造られた。ピタゴラスの中庸はプラトンの『ティマイオス』にも登場する。それらが初期に使用されていたことを示すもう一つの証拠は、パップスの注釈である。

長さが通約可能な力と通約不可能な力を区別し、より一般的に知られている無理数線を異なる手段に従って分類し、中線を幾何学に、二項式を算術に、そしてアポトームを調和に割り当てたのは [...] テアイテトスであり、逍遥学者エウデモスが述べているように。 [ 4 ^]

「平均」（古代ギリシャ語 μεσότης, mesótēs）という用語は、新ピタゴラスの算術ハンドブックに「割合」（古代ギリシャ語 ἀναλογία, analogía）という用語に関連して登場します。 ^{[出典が必要]}

a < bとなる( a , b )の形式の異なる自然数のすべてのペアのうち、算術平均、幾何平均、調和平均がすべて自然数となる最小の数 ( a + bの最小値として定義) は (5, 45) と (10, 40) である。^[5]

• 算術幾何平均
• 平均
• 黄金比
• ケプラーの三角形

• Cantrell, David W. 「ピタゴラスの平均」。MathWorld。