平均の法則

平均の法則とは、特定の結果またはイベントが、一定期間内に、その確率と同様の頻度で発生するという一般に信じられていることです。^{[1] [2]}文脈や用途によっては、妥当な常識的な観察と見なされることもあれば、確率の誤解と見なされることもあります。この概念は、特定の結果が最近発生していないという理由だけで、すぐに発生するに違いないと確信してしまうギャンブラーの誤謬につながる可能性があります（たとえば、コインを3回連続で投げて表が出たので、次のコイン投げはほぼ確実に裏になるはずだと信じることなど）。

日常生活で引き合いに出される「法則」は、数学的原理ではなく、希望的観測や統計の理解不足を反映していることが多い。ランダム変数は、非常に大きなサンプルに対してその根底にある確率を反映するという定理は実際に存在するが、平均の法則は、通常、不自然な短期的な「バランス」が発生すると想定している。^{[3]典型的な適用では、根底にある確率分布に}偏りがないことも一般的に想定されているが、これは経験的証拠としばしば矛盾する。^[4]

ギャンブラーの誤謬は、ギャンブラーが特定の結果が最近起こっていないのでその可能性が高くなると信じたり、逆に特定の結果が最近起こったので近い将来にその可能性が低くなると信じたりする、平均法則の特定の誤用である。^[5]

例として、3 回連続で赤が出たルーレットを考えてみましょう。傍観者は平均法則を適用して、次のスピンでは黒が出ることが保証されている (または少なくともその可能性がずっと高い) と結論付けるかもしれません。もちろん、ルーレットには記憶がなく、その確率は過去の結果によって変化しません。したがって、10 回または 100 回連続で赤が出たとしても、次のスピンで黒が出る確率は 48.6% 以下です (緑のゼロが 1 つしかない公正なヨーロッパのルーレットを想定。緑のゼロがなく公正なルーレットであれば 50% になり、緑の「0」と緑の「00」が 1 つずつある公正なアメリカのルーレットであれば 47.4% になります)。同様に、最近出ていない宝くじの番号がもうすぐ出るという確信には統計的根拠がありません。 (一般的に他の番号よりも人気のない宝くじ番号を選ぶことには、ある程度の価値があります。それは、その番号が出る確率が高いからとか低いからではなく、通常、最も高額な賞金が当選番号を選んだ人全員で分け合うからです。人気のない番号が出る確率は、人気の番号と同じくらいで、大当たりした場合は、おそらくそれをより少ない人数で分け合うことになります。パリミュチュエル方式の賭博を参照してください。)

平均の法則のもう 1 つの応用は、標本の挙動が母集団統計に基づく期待値と一致するはずだという信念です。たとえば、公平なコインを 100 回投げるとします。平均の法則を使用すると、表が 50 回、裏が 50 回出ると予測できます。これは最も可能性の高い結果ですが、二項分布によれば、これが発生する確率は 8% しかありません。標本が母集団を反映していない場合、平均の法則に基づく予測はさらに役に立ちません。 ${\displaystyle P(X=50\mid n=100,p=0.5)}$

この例では、より多くの試行を行うことで、まれなイベントが少なくとも 1 回発生する確率を高めようとします。たとえば、求職者は、「履歴書を十分な数の場所に送れば、平均法則によれば、最終的には誰かが私を雇ってくれる」と主張するかもしれません。確率がゼロではないと仮定すると、より多くの試行を行うことで、望ましい結果の全体的な可能性が高まるのは事実です。ただし、その結果を保証する特定の試行回数はありません。むしろ、それがすでに発生している確率は100%に近づきますが、決して100% には達しません。

スティーブ・グッドマンの曲「瀕死のカブスファンの最後の願い」では、シカゴ・カブスが優勝経験がないことを平均法則に例えて言及している。グッドマンが1981年にこの曲を録音した当時、カブスは1945年以来ナショナルリーグで優勝しておらず、1908年以来ワールドシリーズで優勝していなかった。この無益さは、カブスが2016年に最終的に両シリーズで優勝するまで続いた。

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