対数平均

数学において、対数平均は2 つの非負数の関数であり、その差を商の対数で割った値に等しくなります。この計算は、熱や質量の移動を含む工学上の問題に適用できます。

対数平均は次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\[2pt]{\dfrac {yx}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

正の数x、y の場合。

2 つの数値の対数平均は、算術平均や指数が 1 より大きい一般化平均よりも小さくなります。ただし、それぞれ幾何平均や調和平均よりも大きくなります。両方の数値が等しくない限り、不等式は厳密です。

$${\displaystyle {\frac {2}{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leq {\sqrt {xy}}\leq {\frac {xy}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x+y}{2}}\leq \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)^{1/2}\qquad {\text{ すべての }}x>0{\text{ および }}y>0.}$$^{[1] [2] [3] [4]}トイエシュ・プラカシュ・シャルマは、整数に属する 任意のn に対する算術対数幾何平均不等式を次のように一般化している。$${\displaystyle {\sqrt {xy}}\ \left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{n-1}\left(n+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x(\ln x)^{n}-y(\ln y)^{n}}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(\ln x)^{n-1}(n+\ln x)+y(\ln y)^{n-1}(n+\ln y)}{2}}}$$

ここで、n = 0 の場合: $${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\sqrt {xy}}\left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{-1}\ln {\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {xy}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x(\ln x)^{-1}\ln x+y(\ln y)^{-1}\ln y}{2}}\\[4pt]{\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {xy}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x+y}{2}}\end{array}}}$$

これは算術対数幾何平均不等式です。同様に、以下のように nの異なる値を置くことで結果を得ることもできます。

n = 1の場合: $${\displaystyle {\sqrt {xy}}\left(1+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x\ln xy\ln y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(1+\ln x)+y(1+\ln y)}{2}}}$$

証明については参考文献を参照してください。

平均値定理より、xとyの間の区間に値ξが存在し、その場合、導関数f ′ は割線の傾きに等しくなります。

${\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

対数平均は、 fにln を代入し、同様にその対応する導関数に代入することでξの値として得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}$

ξについて解くと次のようになる。

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}$

対数平均は指数曲線の下の面積として解釈することもできます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{aligned}}}$$

面積の解釈により、対数平均のいくつかの基本的な特性を簡単に導出できます。指数関数は単調であるため、長さ 1 の区間での積分はxとyによって制限されます。積分演算子の同次性は平均演算子に転送され、つまり となります。 ${\displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)}$

他の2つの有用な積分表現は、およびである。$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}}$$$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.}$$

対数のn次導関数の差商の平均値定理を考慮すると、平均をn + 1 個の変数に一般化できます。

私たちは得る

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n+1}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}$

ここで、は対数の 差商を表します。${\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}$

n = 2の場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)(y-z)(z-x)}{2{\bigl (}(y-z)\ln x+(z-x)\ln y+(x-y)\ln z{\bigr )}}}}.}$

積分解釈はより多くの変数に一般化することもできるが、異なる結果をもたらす。単体 と、単体に体積1を割り当てる 適切な測度が与えられれば、次の式が得られる。${\textstyle S}$$${\displaystyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}}$$${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$

これは指数関数の差商を使って簡略化できる。

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}$。

例n = 2 :

${\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x(\ln y-\ln z)+y(\ln z-\ln x)+z(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)(\ln y-\ln z)(\ln z-\ln x)}}.}$

• 算術平均:${\displaystyle {\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}$

• 幾何平均:${\displaystyle {\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}}$

• 調和平均:${\displaystyle {\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$

• 対数に関連する別の平均は幾何平均です。
• 対数平均は、ストラースキー平均の特殊なケースです。
• 対数平均温度差
• ログセミリング

引用

文献

• 油田用語集: 用語「対数平均」
• Weisstein, Eric W.「算術-対数-幾何平均不等式」。MathWorld。
• Stolarsky, Kenneth B. (1975). 「対数平均の一般化」.数学雑誌. 48 (2): 87–92. doi :10.2307/2689825. ISSN  0025-570X.
• Toyesh Prakash Sharma: https://www.parabola.unsw.edu.au/files/articles/2020-2029/volume-58-2022/issue-2/vol58_no2_3.pdf 「算術平均-対数平均-幾何平均不等式の一般化」、Parabola Magazine、第58巻、第2号、2022年、pp 1–5