三角形の中心

幾何学において、三角形の中心または三角形の中心は、三角形の平面内の点であり、ある意味で三角形の中央にあります。たとえば、重心、外心、内心、垂心は古代ギリシャ人にはよく知られており、簡単な作図で得ることができます。

これらの古典的な中心はそれぞれ、相似変換に対して不変（より正確には同変）であるという特性を持っています。言い換えれば、任意の三角形と任意の相似変換（回転、反射、拡大、平行移動など）に対して、変換された三角形の中心は、元の三角形の変換された中心と同じ点になります。この不変性は、三角形の中心を定義する特性です。これにより、反射に対して不変ではなく三角形の中心としての資格がないブロカール点などの他のよく知られた点は除外されます。

正三角形では、すべての三角形の中心はその重心で一致します。ただし、三角形の中心は、他のすべての三角形では一般的に互いに異なる位置にあります。数千の三角形の中心の定義と特性は、三角形の中心の百科事典に集められています。

古代ギリシャ人は三角形の典型的な中心を発見しましたが、三角形の中心の定義は定式化していませんでした。古代ギリシャ人の後、フェルマー点、九点中心、ルモワーヌ点、ジェルゴンヌ点、フォイエルバッハ点など、三角形に関連するいくつかの特別な点が発見されました。

1980 年代に三角形の幾何学への関心が再燃した際、これらの特別な点がいくつかの一般的な特性を共有していることが注目され、それが三角形の中心の正式な定義の基礎となりました。^{[1] [2]} Clark KimberlingのEncyclopedia of Triangle Centersには、50,000 を超える三角形の中心の注釈付きリストが含まれています。 ^[3] Encyclopedia of Triangle Centersのすべてのエントリはまたはで示され、はエントリの位置インデックスです。たとえば、三角形の重心は2 番目のエントリであり、またはで示されます。 ${\displaystyle X(n)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X(2)}$${\displaystyle X_{2}}$

3 つの実変数a、b、cの実数値関数 fには、次の特性があります。

• 均質性:ある定数nおよびすべてのt > 0に対して。${\displaystyle f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)}$
• 2番目と3番目の変数の左右対称性:${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,c,b).}$

ゼロでないf がこれらの両方の特性を持つ場合、それは三角形の中心関数と呼ばれます。f が三角形の中心関数であり、a、b、c が基準三角形の辺の長さである場合、三線座標である点は三角形の中心と呼ばれます。 ${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$

この定義は、相似三角形の三角形の中心が上記の不変性の基準を満たすことを保証する。慣例により、三角形の中心の3つの三線座標のうち最初の座標のみが引用される。他の2つはa、b、cの巡回置換によって得られるためである。このプロセスは巡回性として知られている。^{[4] [5]}

すべての三角形の中心関数は、一意の三角形の中心に対応します。この対応は一対一ではありません。異なる関数が同じ三角形の中心を定義する場合があります。たとえば、関数と関数はどちらも重心に対応します。2 つの三角形の中心関数は、その比がa、b、cで​​対称な関数である場合に限り、同じ三角形の中心を定義します。 ${\displaystyle f_{1}(a,b,c)={\tfrac {1}{a}}}$${\displaystyle f_{2}(a,b,c)=bc}$

三角形の中心関数がどこでも明確に定義されている場合でも、それに関連付けられた三角形の中心については必ずしも同じことが言えるとは限りません。たとえば、⁠ ⁠と⁠ ⁠ が両方とも有理数の場合は 0に、それ以外の場合は 1 にします。すると、整数の辺を持つ任意の三角形について、関連付けられた三角形の中心は 0:0:0 と評価され、これは未定義です。 ${\displaystyle f(a,b,c)}$${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {a}{c}}}$

場合によっては、これらの関数は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$全体で定義されません。たとえば、三角形の中心百科事典の365 番目の項目であるX ₃₆₅の三線は、a、b、c が負になることはできません。さらに、三角形の辺を表すには、三角不等式 を満たしている必要があります。したがって、実際には、すべての関数のドメインは⁠ ⁠の領域に制限されます。 この領域Tはすべての三角形のドメインであり、すべての三角形ベースの関数のデフォルトのドメインです。 ${\displaystyle a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.}$$

分析をTよりも狭い領域に制限することが望ましい場合が数多くあります。たとえば、次のようになります。

• 中心X ₃、X ₄、X ₂₂、X ₂₄、X _40は、鋭角三角形、すなわちTの領域を指します。$${\displaystyle a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.}$$
• フェルマー点とX ₁₃を区別する場合、角度が 2π/3 を超える三角形の領域が重要です。言い換えると、次のいずれかが当てはまる三角形です。

$${\displaystyle a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.}$$

• Tに稠密でありながら、すべての自明な三角形 (つまり点) と退化した三角形 (つまり線) を除外するため、非常に実用的な価値を持つ領域が、すべての不等辺三角形の集合です。これは、 Tから平面b = c、c = a、a = b を除去することによって得られます。

D ⊆ T のすべての部分集合が実行可能な領域であるとは限りません。双対称性テストをサポートするには、D は平面b = c、c = a、a = bに関して対称でなければなりません。循環性をサポートするには、直線a = b = c の周りの 2π/3 回転に対して不変でなければなりません。最も単純な領域は直線( t、t、t )で、これはすべての正三角形の集合に対応します。

三角形△ ABCの辺の垂直二等分線の交わる点が外心である。外心の三線座標は

$${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}$$

f は同次であることが示され、 また左右対称であること が示されます。 したがって、fは三角形の中心関数です。対応する三角形の中心は外心と同じ三線を持つため、外心は三角形の中心であることがわかります。 ${\displaystyle f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}}$$

△ A'BC を、底辺BCと頂点A' がBCの負の側にある正三角形とし、△ AB'C と △ ABC' を三角形 △ ABC の他の 2 辺に基づいて同様に構築された正三角形とします。この場合、線AA ' 、BB'、CC'は一致し、一致点は第 1 等角中心です。その三線座標は、

${\displaystyle \csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).}$

これらの座標をa、b、cで​​表すと、三角形の中心の座標の定義特性を実際に満たしていることを確認できます。したがって、第 1 等角中心も三角形の中心です。

させて

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{if }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ または }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{if }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ または }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{otherwise }}&\iff A,B,C>2\pi /3\end{ケース}}}$$

すると、 f は左右対称かつ同次なので、三角形の中心関数になります。さらに、対応する三角形の中心は、頂点角が 2π/3 を超える場合は鈍角の頂点と一致し、それ以外の場合は第 1 等角中心と一致します。したがって、この三角形の中心はフェルマー点に他なりません。

最初のブロカール点の三線座標は次のようになります 。これらの座標は、同次性と巡回性の特性を満たしますが、双対称性は満たしません。したがって、最初のブロカール点は (一般に) 三角形の中心ではありません。2 番目のブロカール点の三線座標は次のようになります。 同様の注釈が適用されます。 $${\displaystyle {\frac {c}{b}}\ :\ {\frac {a}{c}}\ :\ {\frac {b}{a}}}$$$${\displaystyle {\frac {b}{c}}\ :\ {\frac {c}{a}}\ :\ {\frac {a}{b}}}$$

第一ブロカール点と第二ブロカール点は、多くの双心点対^[6]のうちの1つであり、三角形から定義される点対で、三角形の相似性の下では点対（個々の点ではない）が保存されるという性質を持つ。中点や三線積などのいくつかの二項演算を2つのブロカール点に適用すると、他の双心点対と同様に三角形の中心が生成される。

より最近の三角形の中心を示す次の表では、さまざまな点について特定の表記は示されていません。また、各中心については、最初の三線座標 f(a,b,c) のみが指定されています。他の座標は、三線座標の循環性特性を使用して簡単に導出できます。

32,000以上の三角形の中心を収録したオンライン百科事典を作成したクラーク・キンバーリングに敬意を表して、百科事典に掲載されている三角形の中心は総称してキンバーリング中心と呼ばれています。^[8]

三角形の中心 P は、 Pの三線座標が a、b、cの多項式として表せる場合、多項式三角形の中心と呼ばれます。

三角形の中心 P は、 Pの三線座標が △、a、b、cの多項式として表すことができる場合、正三角形の点と呼ばれます。ここで、△は三角形の面積です。

三角形の中心Pは、Pの三線座標が、 ⁠ ⁠ が角度Xのみの関数であり、他の角度や辺の長さに依存しない形式で表せる場合、三角形の主要中心と呼ばれます。 ^[9]${\displaystyle f(A):f(B):f(C)}$${\displaystyle f(X)}$

三角形の中心 P が、代数関数 a、b、c のみを使用して三線表現を持たない場合、その三角形の中心 Pは超越三角形 の中心と呼ばれます。

f を三角形の中心関数とします。三角形の 2 辺が等しい場合 ( a = bとします)、 関連する三角形の中心の 2 つの要素は常に等しくなります。したがって、二等辺三角形のすべての三角形の中心は、その対称線上になければなりません。正三角形の場合、3 つの要素はすべて等しいため、すべての中心が重心と一致します。したがって、円と同様に、正三角形には一意の中心があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}}$$

させて $${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

これは三角形の中心関数であることがすぐにわかり、（三角形が不等辺三角形である場合）対応する三角形の中心は、最大頂点角の反対側にある外心です。他の 2 つの外心も同様の関数で選択できます。ただし、上で示したように、二等辺三角形の外心は 1 つだけであり、正三角形の外心はどれも三角形の中心になることはできません。

関数fが双反対称関数である場合、 そのような関数が非ゼロかつ同次である場合、マッピングが 三角形の中心関数であることが容易にわかります。対応する三角形の中心は、 このため、三角形の中心関数の定義には、非ゼロの同次双反対称関数が含まれると見なされることがあります。 $${\displaystyle f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.}$$$${\displaystyle (a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)}$$$${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).}$$

三角形の中心関数f は、対称関数a、b、cを掛けてn = 0となるように正規化できます。正規化された三角形の中心関数は、元の三角形の中心と同じ三角形の中心を持ち、 ゼロ関数と一緒に、正規化された三角形の中心関数は加算、減算、乗算の下で代数を形成します。これにより、新しい三角形の中心を簡単に作成できます。ただし、異なる正規化された三角形の中心関数が同じ三角形の中心を定義することがよくあります。たとえば、fと$${\displaystyle f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).}$$${\displaystyle (abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.}$

a、b、cを実変数とし、 α、β、γを任意の3つの実定数とする。

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}}$$

すると、f は三角形の中心関数となり、α  : β  : γは、基準三角形の辺がa < b < cとラベル付けされているときはいつでも、対応する三角形の中心となります。したがって、すべての点は潜在的に三角形の中心となります。ただし、ほとんどの連続関数があまり重要でないのと同様に、三角形の中心の大部分はあまり重要ではありません。

f が三角形の中心関数であれば、 afも関数であり、対応する三角形の中心は、 これらはまさにfに対応する三角形の中心の重心座標 であるため、三角形の中心は三線ではなく重心で定義することも同様に可能であるということになります。実際には、ある座標系から別の座標系に切り替えることは難しくありません。 $${\displaystyle a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).}$$

フェルマー点と第 1 等角中心以外にも中心ペアは存在します。別のシステムは、X ₃と接線三角形の内心によって形成されます。次式で与えられる三角形の中心関数を考えてみましょう。

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$$

対応する三角形の中心には 4 つの異なる可能性があります。 最初の中心は外心でもあることに注意してください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\ :\,\cos B\ :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle B{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle C{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}}$$

通常の計算では、どの場合でもこれらの三線は接線三角形の内心を表すことがわかります。したがって、この点は外心の近くにある三角形の中心です。

三角形を鏡映すると、辺の順序が逆になります。図では、座標は( c , b , a )三角形を参照しており、(区切り文字として「|」を使用) 任意の点の鏡映 は、fが三角形の中心関数である場合、その三角形の中心の鏡映は、これは、双対称性により、と同じになります。 これは、( c , b , a )三角形を基準としたfに対応する三角形の中心でもあるため、双対称性により、すべての三角形の中心が鏡映に対して不変であることが保証されます。回転と平行移動は二重鏡映と見なすことができるため、これらも三角形の中心を保存する必要があります。これらの不変性により、定義が正当化されます。 ${\displaystyle \gamma :\beta :\alpha }$${\displaystyle \gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .}$${\displaystyle f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),}$${\displaystyle f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).}$

膨張の他の名前には、均一スケーリング、等方性スケーリング、相似性、相似性などがあります。

三角形の中心の研究は​​伝統的にユークリッド幾何学に関係しているが、三角形の中心は非ユークリッド幾何学でも研究することができる。^{[10]ユークリッド幾何学と}双曲幾何学 の両方で同じ形を持つ三角形の中心は、ジャイロ三角法を使用して表現することができる。^{[11] [12] [13]}非ユークリッド幾何学では、三角形の内角の合計が180度であるという仮定を捨てなければならない。

2次元の三角形と同様に、四面体や高次元単体の中心も定義できます。 ^[13]

いくつかの中心は3辺以上の多角形に拡張することができます。例えば、重心は任意の多角形で見つけることができます。3辺以上の多角形の中心に関する研究もいくつか行われています。^{[14] [15]}

• マンフレッド・エヴァース「楕円平面上の三角形の中心と中心線について」
• マンフレッド・エヴァース「楕円面と拡張双曲面における三角形の幾何学について」
• クラーク・キンバリング、エバンズビル大学のトライアングルセンター
• Ed Pegg、 Wolfram Researchの 2D、3D、球面、双曲面の三角形の中心。
• Paul Yiu、フロリダ アトランティック大学の三角形幾何学ツアー。