幾何平均と調和平均

数学において、 2つの正の実数xとyの幾何平均M( x , y )は次のように定義されます。まず、g ₀ = xとh ₀ = yの幾何平均を求め、それをg ₁とします。つまり、g _1はxyの平方根です。次に、 xとyの調和平均を求め、それをh ₁とします。つまり、h _1はxとyの逆数の算術平均の逆数です。これらは、順不同で、または同時に行うことができます。

ここで、 xの代わりにg ₁、yの代わりにh ₁を使用して、この操作を繰り返すことができます。このようにして、相互依存する 2 つのシーケンス( g _n ) と ( h _n ) が定義されます。

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}}$

そして

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2{g_{n}}{h_{n}}}{g_{n}+h_{n}}}}$

これらの数列はどちらも同じ数に収束し、これをxとyの幾何平均M( x , y )と呼びます。幾何平均は調和幾何平均とも呼ばれます。（下記Wolfram MathWorldを参照。）   

極限の存在は、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を用いて、算術平均と幾何平均の存在の証明とほぼ同じ方法で証明することができる。

M( x , y ) は、 xとyの幾何平均と調和平均の間の数です。特に、xとyの間にあります。M( x , y ) は同次でもあり、つまりr > 0 の場合、M( rx , ry ) = r M( x , y ) となります。       

AG( x , y ) が算術平均と幾何平均である場合、次の式も成り立ちます。

${\displaystyle M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}}$

ピタゴラス平均 { H , G , A } と反復ピタゴラス平均 { HG , HA , GA } を含む以下の不等式があります。    

${\displaystyle \min(x,y)\leq H(x,y)\leq HG(x,y)\leq G(x,y)\leq GA(x,y)\leq A(x,y)\leq \max(x,y)}$

ここで、反復ピタゴラス平均は、その構成要素{ H、G、A }と順に同一視されている。  

• H ( x , y )は調和平均であり、 
• HG ( x , y )は調和幾何平均であり、 
• G ( x , y ) = HA ( x , y ) は幾何平均 (調和平均と算術平均の両方) です。   
• GA ( x , y )は幾何平均と算術平均の比です。 
• A ( x , y )は算術平均です。 

• 算術平均－幾何平均
• 算術平均と調和平均
• 平均

• ワイススタイン、エリック W. 「調和幾何平均」 . MathWorld .