マンデルブロ集合

主心臓形は周期1大陸である。^{[ 35 ]}これはパラメータの領域である。${\displaystyle c}$その地図は${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$吸引固定点を持つ。^{[ 36 ]}この集合は、次の形式のすべてのパラメータを含む。${\displaystyle c(\mu ):={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)}$どこ${\displaystyle \mu }$開放ユニットディスク内に位置する。^{[ 37 ]}

主心臓形の左側の点に取り付けられている${\displaystyle c=-3/4}$周期2の電球が見える。^{[ 37 ]}この領域は、${\displaystyle c}$そのために${\displaystyle f_{c}}$周期2の吸引サイクルを持つ。それは−1を中心とする半径1/4の塗りつぶされた円である。^{[ 37 ]}

より一般的には、すべての正の整数に対して${\displaystyle q>2}$、 がある${\displaystyle \phi (q)}$主心臓形に接する円形球は周期q球と呼ばれます（${\displaystyle \phi }$はオイラーのφ関数を表し、パラメータから構成されます。${\displaystyle c}$そのために${\displaystyle f_{c}}$魅力的な周期がある${\displaystyle q}$より具体的には、各プリミティブ${\displaystyle q}$1の根${\displaystyle r=e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$（どこ${\displaystyle 0<{\frac {p}{q}}<1}$) 周期 q の電球が 1 つあり、${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$バルブは、パラメータで主心臓形に接している${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}:=c(r)={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right),}$パラメータを含む${\displaystyle q}$組み合わせ回転数を持つサイクル${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$[ ^{38 ]​}​${\displaystyle q}$周期的なファトゥ成分は、吸引サイクルを含み、${\displaystyle \alpha }$-固定点。これらが反時計回りにラベル付けされている場合${\displaystyle U_{0},\dots ,U_{q-1}}$コンポーネント${\displaystyle U_{j}}$マッピングされる${\displaystyle f_{c}}$コンポーネントへ${\displaystyle U_{j+p\,(\operatorname {mod} q)}}$[ ^{37 ]​}

マンデルブロ集合の内部構成要素である球状部分では、${\displaystyle f_{c}}$引きつける周期的なサイクルを持つものは双曲成分と呼ばれる。^{[ 39 ]}

これらは、 ​${\displaystyle M}$そしてそれらは密集している${\displaystyle M}$この問題は双曲性の密度として知られており、複素力学における最も重要な未解決問題の一つである。^{[ 40 ]}マンデルブロ集合の仮説上の非双曲成分は、「奇妙な」成分またはゴースト成分と呼ばれることが多い。^{[ 41 ] [ 42 ]}実二次多項式については、この問題は1990年代にLyubichとGraczykおよびŚwiątekによって独立に証明された。 （実軸と交差する双曲成分は、 Feigenbaum図の周期的な窓に正確に対応することに注意。したがって、この結果は、図のすべてのパラメータの近くにそのような窓が存在することを示している。）

すべての双曲成分が、マンデルブロ集合の主心臓形からの直接分岐の連続によって到達できるとは限りません。そのような成分は、小さなマンデルブロ集合の主心臓形からの直接分岐の連続によって到達できます（下記参照）。

双曲成分のそれぞれには中心があり、それは、内側のファトゥ領域がとなるような点cである。${\displaystyle f_{c}(z)}$超吸引サイクルを持つ、つまり吸引力が無限である。これは、サイクルが臨界点 0 を含み、0 が数回の反復後に自身に戻ることを意味する。したがって、${\displaystyle f_{c}^{n}(0)=0}$あるnに対して。この多項式を${\displaystyle Q^{n}(c)}$（ zではなくcに依存するようにすると）次のようになる。${\displaystyle Q^{n+1}(c)=Q^{n}(c)^{2}+c}$そしてその程度${\displaystyle Q^{n}(c)}$は${\displaystyle 2^{n-1}}$したがって、双曲成分の中心は、方程式を順次解くことによって構築できる。${\displaystyle Q^{n}(c)=0,n=1,2,3,...}$各ステップで生成される新しいセンターの数は、スローン（OEISのシーケンスA000740）によって与えられます。

マンデルブロ集合は局所的に連結であると推測されている。この推測はMLC（マンデルブロ集合は局所的に連結である）として知られている。アドリアン・ドゥアディとジョン・H・ハバードの研究によれば、この推測はマンデルブロ集合の単純な抽象的な「ピンチディスク」モデルをもたらすことになる。特に、これは上述の重要な双曲性予想を意味する。 ^{[ 43 ]}

ジャン＝クリストフ・ヨッコズの研究により、有限個の再正規化可能なパラメータすべてにおいてマンデルブロ集合の局所連結性が確立されました。つまり、大まかに言えば、有限個の小さなマンデルブロ集合のコピーにのみ含まれるパラメータです。^{[ 44 ]}それ以来、局所連結性は他の多くの点でも証明されています。${\displaystyle M}$しかし、その推測の全容はまだ解明されていない。

マンデルブロ集合は、ミシュレヴィッチ点の近傍では拡大しても自己相似である。また、極限集合に収束するという意味で、一般化されたファイゲンバウム点(例えば、-1.401155 または -0.1528 + 1.0397 i ) の周りでも自己相似であると推測されている。 ^{[ 45 ] [ 46 ]}一般に、マンデルブロ集合は準自己相似であり、任意の小さなスケールで、それ自身のわずかに異なる小さなバージョンを見つけることができる。これらのマンデルブロ集合のコピーはすべてわずかに異なっているが、これは主に、それらを集合の本体に接続する細い糸によるものである。^{[ 47 ]}  

マンデルブロ集合の境界のハウスドルフ次元は、宍倉光弘の結果により 2 と決定されています。^{[ 48 ]}この値が位相次元である 1 より整数倍大きいという事実は、マンデルブロ集合の境界の極めてフラクタルな性質を反映しています。大まかに言えば、宍倉の結果は、マンデルブロ集合の境界が非常に「波打っている」ため、局所的に2 次元の平面領域と同じくらい効率的に空間を埋め尽くすことを示しています。ハウスドルフ次元が 2 の曲線は、(位相的には) 1 次元であるにもかかわらず、しばしばゼロでない面積 (より厳密には、ゼロでない平面ルベーグ測度) を持つことができます。これがマンデルブロ集合の境界にも当てはまるかどうかは、未解決の問題です。

高次元超複素数空間（すなわちべき乗が${\displaystyle \alpha }$反復変数の${\displaystyle z}$無限大に近づく) は単位に収束する (${\displaystyle \alpha }$−1)-球。^{[ 49 ]}

実計算のBlum–Shub–Smaleモデルでは、マンデルブロ集合は計算可能ではないが、その補集合は計算可能列挙可能である。多くの単純なオブジェクト (例えば、べき乗のグラフ) も BSS モデルでは計算不可能である。現在、マンデルブロ集合が計算可能かどうかは不明である。計算可能解析に基づく実計算モデルは、「コンピュータで集合をプロットする」という直感的な概念により近い。Hertling は、双曲性予想が真であれば、このモデルではマンデルブロ集合が計算可能であることを示した。^{[ 50 ]}

マンデルブロ集合の定義の結果として、ある点におけるマンデルブロ集合の幾何学と、対応するジュリア集合の構造との間に密接な対応関係が存在する。例えば、c の値がマンデルブロ集合に属するのは、対応するジュリア集合が連結である場合に限る。したがって、マンデルブロ集合は連結ジュリア集合の写像と見なすことができる。^{[ 51 ]}

この原理は、マンデルブロ集合に関するほぼすべての深遠な結果で利用されています。たとえば、宍倉は、マンデルブロ集合の境界にあるパラメータの密な集合に対して、ジュリア集合のハウスドルフ次元が2であることを証明し、この情報をパラメータ平面に転送しました。^{[ 48 ]}同様に、ヨッコズは、対応するパラメータでマンデルブロ集合について確立する前に、まずジュリア集合の局所連結性を証明しました。^{[ 44 ]}

マンデルブロ集合には、数の発生につながる興味深い実験がある。${\displaystyle \pi }$パラメータの場合${\displaystyle c=-{\tfrac {3}{4}}+i\varepsilon }$と${\displaystyle \varepsilon >0}$確認する${\displaystyle c}$マンデルブロ集合に含まれないということは、シーケンスを反復することを意味します${\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}$から${\displaystyle z=0}$シーケンスがディスクから離れるまで${\displaystyle 0}$任意の半径${\displaystyle R>2}$これは、実数部の垂直線が${\displaystyle -3/4}$実数直線から離れた点でマンデルブロ集合と交差する。必要な反復回数は、${\displaystyle \varepsilon }$は π に収束する。例えば、${\displaystyle \varepsilon }$= 0.0000001、${\displaystyle R=2}$反復回数は31415928で、積は3.1415928です。^{[ 53 ]}この実験は、1990年代初頭、あるいはそれ以前に、多くの人々によって独立して行われました。例えば、David Bollによるものです。

同様の観測結果は、以下のパラメータでも得られている。${\displaystyle c=-5/4}$そして${\displaystyle c=1/4}$（後者の場合、必要な修正を加える）。2001年、アーロン・クレバノフはこの現象の（概念的ではない）証明を以下に掲載した。${\displaystyle c=1/4}$^{[ 54 ]}

2023年、ポール・シーヴェルトは学士論文で、値の概念的証明も展開した。${\displaystyle c=1/4}$円周率πがなぜ出現するのか（幾何学的には単位円の円周の半分として）を説明している。^{[ 55 ]}

2025年、高校生のティース・ブロックメラー、オスカー・シェルツ、ネディム・スルカロヴィッチの3人は、理論と概念的証明をマンデルブロ集合の無限に多くの分岐点すべてに拡張した。^{[ 56 ]}

マンデルブロ集合は、多数の球状部分が直接取り付けられた基本的な心臓形を特徴としています。^{[ 57 ]}これらの球状部分の配置を理解するには、マンデルブロ集合の境界を詳細に調べる必要があります。幾何学的な視点から特定の部分を拡大すると、境界内の位置と、関連する球状部分から得られるパラメータに対応する動的挙動に関する正確な推論情報が現れます。^{[ 58 ]}

二次多項式の反復${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$、 どこ${\displaystyle c}$ は、マンデルブロ集合内の主心臓形に取り付けられた球状部分のいずれかから抽出されたパラメータであり、特定の周期の吸引サイクルを特徴とするマップを生み出す。${\displaystyle q}$ そして回転数${\displaystyle p/q}$この文脈では、吸引サイクルは 中心の固定点の周りを回転運動し、平均して${\displaystyle p/q}$ 各反復での回転数。^{[ 58 ] [ 59 ]}

マンデルブロ集合内の球状部分は、その吸引サイクルと構造の幾何学的特徴の両方によって区別されます。各球状部分は、接合点から伸びるアンテナが取り付けられており、その周期を示す一定数のスポークを備えています。例えば、${\displaystyle 2/5}$電球は回転数による吸引サイクルによって識別されます。${\displaystyle 2/5}$その特徴的なアンテナ状構造は、5本のスポークが伸びる接合点から構成されている。これらのスポークのうち、主スポークと呼ばれるものは、${\displaystyle 2/5}$電球、そして「最小」の非主スポークはおよそ${\displaystyle 2/5}$主スポークから反時計回りに回転することで、独特の識別が可能になります。${\displaystyle 2/5}$-bulb. ^{[ 60 ]}ここで疑問が生じる。これらのスポークのうちどれが「最小」であるかをどのように判別するのか？^{[ 57 ] [ 60 ]} DouadyとHubbardによって開発された外部光線の理論では、^{[ 61 ]}マンデルブロ集合の衛星双曲成分の根点に着地する外部光線は正確に2本存在する。これらの光線はそれぞれ、角度倍増写像の下で倍増する外部角を持つ。${\displaystyle \theta \mapsto }$${\displaystyle 2\theta }$この定理によれば、2本の光線が同じ点に着地する場合、それらの間の他の光線は交差しない。したがって、この領域の「大きさ」は、2つの角度間の弧の長さを決定することによって測定される。^{[ 58 ]}

主心臓形の根点が尖点である場合${\displaystyle c=1/4}$すると、主心臓形は${\displaystyle 0/1}$-バルブ。他のバルブのルートポイントは、このバルブがメインカーディオイドに取り付けられている点です。これにより、次の疑問が生じます。${\displaystyle 0/1}$そして${\displaystyle 1/2}$-電球？明らかに${\displaystyle 1/3}$-電球。そして、次の点に注意してください。${\displaystyle 1/3}$は、前の2つの分数をファレイ加算、つまり分子同士を足し、分母同士を足すことによって得られる。

${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

同様に、${\displaystyle 1/3}$そして${\displaystyle 1/2}$-電球は${\displaystyle 2/5}$-bulb、これもFareyの追加によって与えられます。

${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$

最大の球根は${\displaystyle 2/5}$そして${\displaystyle 1/2}$-電球は${\displaystyle 3/7}$-電球、一方、最大の電球は${\displaystyle 2/5}$そして${\displaystyle 1/3}$-電球は${\displaystyle 3/8}$-電球、など。^{[ 58 ] [ 62 ]}マンデルブロ集合内の電球の配置は、ファレイ木によって支配される注目すべきパターンに従います。ファレイ木は、すべての有理数を包含する構造です。${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$この順序付けにより、球状部は主心臓形の境界に沿って、単位区間内の有理数に正確に一致するように配置される。^{[ 60 ]}

まず${\displaystyle 1/3}$上部の球根から${\displaystyle 1/2}$円の中で、シーケンスは体系的に展開されます。最大の球根は${\displaystyle 1/2}$そして${\displaystyle 1/3}$は${\displaystyle 2/5}$、 間${\displaystyle 1/3}$そして${\displaystyle 2/5}$は${\displaystyle 3/8}$など。^{[ 63 ]}興味深いことに、マンデルブロ集合の連続するスケールでの円形球の周期の分母は、前の 2 つの項を足し合わせて作られる数列であるフィボナッチ数列(1、2、3、5、8、13、21...)に一致します。 ^{[ 64 ] [ 65 ]}

フィボナッチ数列は、マンデルブロ集合の特定の場所に螺旋状の腕の数として現れ、上部と下部の両方で鏡像になっています。この特徴的な場所では、 詳細なフラクタルの視覚化のために最も多くの反復が必要となり、ズームインすると複雑な詳細が繰り返されます。^{[ 66 ]}

マンデルブロ集合の境界は、画像を拡大してよく見ると、より複雑な詳細が明らかになります。以下は、選択したc値にズームインした画像シーケンスの例です。表示されている領域は「タツノオトシゴの谷」として知られており、これは点 −0.75  +  0.1 iを中心とするマンデルブロ集合の領域です。^{[ 67 ]}

最後の画像の拡大率は、最初の画像と比較して約10対10である。^一般的なコンピューターモニターに換算すると、これは直径400万キロメートルのマンデルブロ集合の一部を表している。

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  開始。連続的に色付けされた環境を持つマンデルブロ集合。
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  「頭」と「体」の間の隙間は「タツノオトシゴの谷」とも呼ばれる^{[ 68 ]。}
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  左側は二重螺旋、右側は「タツノオトシゴ」模様
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  逆さまの「タツノオトシゴ」

タツノオトシゴの「本体」は、それぞれ 12 本の「スポーク」からなる 2 つのグループ^{[ 69 ]}と、主心臓形に接続する 1 本の「スポーク」からなる 25 本の「スポーク」で構成されています。これらの 2 つのグループは、変形によってマンデルブロ集合の「上側の手」の 2 つの「指」に帰属させることができます。したがって、「スポーク」の数は、1 つの「タツノオトシゴ」から次の「タツノオトシゴ」まで 2 ずつ増加します。「ハブ」はミシュレヴィッチ点です。「本体の上部」と「尾」の間には、マンデルブロ集合の歪んだコピーがあり、「衛星」と呼ばれています。

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  「タツノオトシゴの尾」の中心端点もまた、ミシュレヴィッチ点である。
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  「尾部」の一部には、細い構造物で構成された1本の経路しかなく、それが「尾部」全体を貫いています。このジグザグの経路は、「尾部」の内側と外側の境界にある25本の「スポーク」を持つ大きな物体の「ハブ」を通過します。したがって、マンデルブロ集合は単連結集合であり、島も穴の周りのループ状の道路もありません。
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  衛星。2 つの「タツノオトシゴの尾」（樹状構造とも呼ばれる）^{[ 70 ]}は、衛星を中心とする一連の同心円状の冠の始まりです。
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  これらの冠状構造はそれぞれ、類似した「タツノオトシゴの尾」で構成されており、その数は2のべき乗で増加する。これは衛星の周囲環境における典型的な現象である。螺旋状の中心への独特な経路は、衛星を心臓形軌道の溝から「頭部」の「アンテナ」の頂上まで通過させる。
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  衛星の「アンテナ」。二次衛星は複数存在する。
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  衛星の「タツノオトシゴの谷」^{[ 68 ] 。最初からあった構造物がすべて再び現れる。}
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  二重螺旋と「タツノオトシゴ」 – 最初からの 2 番目の画像とは異なり、これらは「タツノオトシゴの尾」のような構造からなる付属物を持っています。これは、n 次衛星の環境における n + 1 種類の異なる構造の典型的な連結を示しており、ここでは最も単純なケースn = 1 を示しています。
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  二次衛星を持つ二重螺旋 ― 「タツノオトシゴ」に類似。二重螺旋は「アンテナ」の変形と解釈できる。
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  付属器の外側部分には、構造の島々が認められる。それらはジュリア集合J _cのような形をしており、その中で最大のものは右側の「二重フック」の中央にある。
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  「ダブルフック​​」の一部
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  島々
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  ある島の詳細
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  螺旋の詳細

最後から3番目のステップの島々は、対応するジュリア集合の場合と同様に、無限に多くの部分から構成されているように見える。${\displaystyle J_{c}}$それらは微小な構造でつながっており、全体としては単連結集合を形成している。微小な構造は、この拡大率では小さすぎて認識できない中央の衛星で互いに接している。${\displaystyle c}$対応する${\displaystyle J_{c}}$は画像の中心ではありませんが、マンデルブロ集合の本体に対して、6番目のステップで示された衛星に対するこの画像の中心と同じ位置にあります。

マンデルブロ集合は通常、境界の外側の詳細を表示してレンダリングされますが、境界内の構造も明らかにすることができます。^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}例えば、与えられた c 値が境界内にあるか境界外にあるかを計算する際に、境界内にある限り、この数値が到達する最大値をその位置の c 値と比較することができます。二乗和法を使用する場合、計算された数値は max:(実数^2 + 虚数^2) − c:(実数^2 + 虚数^2) となります。この計算の大きさは、グラデーション上の値としてレンダリングできます。

これにより、以下のような結果が得られます。境界に近づくにつれて、明確なエッジと輪郭を持つグラデーションが形成されます。アニメーションは、グラデーションの境界を強調する役割を果たします。

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  マンデルブロ集合内部のアニメーション化されたグラデーション構造
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  マンデルブロ集合内部のアニメーション化されたグラデーション構造の詳細
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  285から約200,000までの段階的な反復処理を、対応する境界付き勾配とともにアニメーションでレンダリングします。
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  段階的な反復におけるグラデーションのサムネイル

マルチブロ集合は、一般的な単変数多項式族の再帰の要素に対して複素平面上に見出される有界集合である。

${\displaystyle z\mapsto z^{d}+c}$[ ^{74 ]​}

整数dに対して、これらの集合は同じ式から構築されたジュリア集合の連結性軌跡です。完全な三次連結性軌跡も研究されています。ここでは、2 パラメータの漸化式を検討します。${\displaystyle z\mapsto z^{3}+3kz+c}$2 つの臨界点は、パラメータkの複素平方根である。両方の臨界点が安定している場合、パラメータは 3 次連結性軌跡にある。^{[ 75 ]}一般的な正則関数の族の場合、マンデルブロ集合の境界は分岐軌跡に一般化される。

マルチブロ集合は、指数dの値を変化させることによって得られます。記事には、 d = 0から 7 までの変化を示すビデオがあり、その時点で 6 個のマルチブロ集合が存在します。${\displaystyle (d-1)}$周囲にローブがある。一般に、d が正の整数の場合、これらの各集合の中心領域は常にエピサイクロイドである。${\displaystyle (d-1)}$尖点。負の整数指数を用いた同様の展開は、${\displaystyle (1-d)}$リングの内側に裂け目があり、セットの中央の主要領域はハイポサイクロイドである。${\displaystyle (1-d)}$尖点。

マンデルブロ集合を3次元に完全に拡張することはできません。なぜなら、反復処理の対象となる複素数の3次元版が存在しないからです。複素数を4次元に拡張した四元数があり、これによってマンデルブロ集合とジュリア集合を4次元に完全に拡張することができます。^{[ 76 ]}これらは、断面化したり、 3次元構造に投影したりすることができます。四元数（4次元）マンデルブロ集合は、 2次元マンデルブロ集合（jk平面内）の回転体であるため、興味深いものではありません。^{[ 76 ]} 3次元断面をと${\displaystyle d=0\ (q=a+bi+cj+dk)}$その結果、2次元マンデルブロ集合が実軸を中心に回転する立体が得られる。

トリコーンフラクタル（マンデルバー集合とも呼ばれる）は、反正則族の連結性軌跡である。${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c}$[ ^{77 ] [ 78 ]}これは、ミルナーが実数三次多項式のパラメータスライスを研究した際に遭遇したものです。局所的に連結ではありません。^{[ 77 ]この性質は、}実数三次多項式の連結性軌跡に受け継がれています。

もう一つの非解析的な一般化は、バーニングシップ・フラクタルであり、これは以下の手順を繰り返すことによって得られます。

${\displaystyle z\mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^{2}+c}$。

上記アルゴリズムをPythonで実装したコードは以下のとおりです。^{[ 84 ]}

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt# パラメータの設定（これらの値は変更可能）x_domain 、y_domain = np . linspace ( - 2 、2 、500 )、np . linspace ( - 2 、2 、500 ) bound = 2 max_iterations = 50 # 任意の正の整数colormap = "nipy_spectral" # matplotlib で有効な任意のカラーマップに設定func = lambda z , p , c : z ** p + c# マンデルブロ集合を表す 2D 配列を計算iteration_array = [] for y in y_domain : row = [] for x in x_domain : z = 0 p = 2 c = complex ( x , y ) for iteration_number in range ( max_iterations ): if abs ( z ) >= bound : row . append ( iteration_number ) break else : try : z = func ( z , p , c ) except ( ValueError , ZeroDivisionError ): z = c else : row . append ( 0 )iteration_array.append ( row )​​#データのプロットax = plt.axes ( ) ax.set_aspect ( " equal " ) graph = ax.pcolormesh ( x_domain , y_domain , iteration_array , cmap = colormap ) plt.colorbar ( graph ) plt.xlabel ( "実軸" ) plt.ylabel ( "虚軸" ) plt.show ( )​

変数の値を変更することで、同等のマルチブロッツ集合powerの画像を生成することができます（${\displaystyle z=z^{\text{power}}+c}$) 例えば、設定すると、p = 2関連付けられた画像が生成されます。