中位数（数学）

数学において、 2つの分数の中間値。通常、4つの正の整数で構成される。

${\displaystyle {\frac {a}{c}}\quad }$と定義される。${\displaystyle \quad {\frac {b}{d}}\quad }$${\displaystyle \quad {\frac {a+b}{c+d}}.}$

つまり、中数の分子と分母は、それぞれ与えられた分数の分子と分母の合計です。これは、分数の加算を学習する初期段階でよくある間違いであるため、初級者の合計と呼ばれることもあります。

技術的には、これは、分数の同値類としての有理数の観点を事前に無視し、適切な整数の順序付きペアとして考慮される、有効な分数（非ゼロの分母）に対する二項演算です。たとえば、分数 1/1 と 1/2 の中分数は 2/3 です。ただし、分数 1/1 を、同じ有理数 1 を表す同値分数である分数 2/2 に置き換えると、分数 2/2 と 1/2 の中分数は 3/4 になります。有理数との結びつきを強めるには、分数を最小の項に縮小して、それぞれの同値類から一意の代表値を選択する必要がある場合があります。

シュテルン・ブロコット木は、単純なアルゴリズムに従って純粋に中数の反復計算によって得られる、最低の項での中数を介してすべての正の有理数の列挙を提供します。

• 中点不等式:中点の重要な性質(名前の由来でもある)は、それが中点である2つの分数の中間にあるということである: と ならば、この性質は2つの関係と から導かれる。${\displaystyle a/c<b/d}$${\displaystyle c\cdot d>0}$$${\displaystyle {\frac {a}{c}}}<{\frac {a+b}{c+d}}}$$$${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).}$$
• 加減定理と除算定理：およびならば、^[1]${\displaystyle a/c=b/d}$${\displaystyle c\neq 0,\ d\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {a+b}{c+d}}}$$

• 構成要素: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}}$$

• 配当: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {ac}{c}}={\frac {bd}{d}}}$$

• 分数a / cとb / dのペアが行列式関係 を満たすと仮定します。すると、中分数は、最小の分母を持つ分数という意味で、区間 ( a / c , b / d ) 内の最も単純な分数であるという特性を持ちます。より正確には、正の分母 c' を持つ分数が (厳密に) a / cとb / dの間にある場合、その分子と分母はと書き表され、2 つの正の実数 (実際には有理数)を持ちます。 が正でなければならない理由を理解するには、と が正でなければならないことに注意してください。行列式関係は、 について線形方程式の連立方程式を解くと、両方とも整数でなければならないことを意味します。したがって、${\displaystyle bc-ad=1}$${\displaystyle a'/c'}$${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$$${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}$$$${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}$$$${\displaystyle bc-ad=1\,}$$${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$$${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$$ $${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$${\displaystyle c'\geq c+d.}$
• 逆もまた真です。すなわち、約分数 a / c  <  b / dのペアが、最小の分母が区間 ( a / c、  b / d ) 内にある約分数が2 つの分数の中分数に等しいという特性を持つと仮定します。すると、行列式関係bc − ad = 1が成り立ちます。この事実は、例えばピックの定理を利用して演繹することができます。ピックの定理は、頂点が整数座標を持つ平面三角形の面積を、三角形内部の格子点の数 v _interior (厳密には) と三角形の境界上の格子点の数 v _boundaryで表します。3つの頂点v ₁ = (0, 0)、v ₂ = ( a、  c )、v ₃ = ( b、  d ) を持つ三角形を考えます。その面積は に等しい。三角形の内側の点は、次のようにパラメータ化できる。ピックの公式は、 bc − ad > 1ならば、三角形の内側に 3 つの頂点とは異なる格子点q = ( q ₁ , q ₂ )が存在することを示唆している(三角形の面積は)。対応する分数q ₁ / q ₂は(厳密に) 与えられた分数 (仮定により簡約) の間にあり、分母は次のようになる。${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$$${\displaystyle {\text{area}}(\Delta )={{bc-ad} \over 2}\,.}$$${\displaystyle p=(p_{1},p_{2})}$$${\displaystyle p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,}$$$${\displaystyle \lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$$${\displaystyle {\text{エリア}}(\Delta )=v_{\mathrm {内部} }+{v_{\mathrm {境界} } \over 2}-1}$$${\displaystyle \geq 1}$$${\displaystyle q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d}$$$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$
• 関連して、p / qとr / sが単位区間上の約分数で、| ps  −  rq | = 1 （つまり、それらがファレイ数列の行の隣接要素である） である場合、 ?はミンコフスキーの疑問符関数です。$${\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\right)}$$
  実際、中分数は連分数、特にファレイ分数の研究ではよく登場します。n番目のファレイ数列 F _{n は}、 b  ≤  nとなるような、（大きさの順序で）約分数a / b（互いに素な a、b）の列として定義されます。 2 つの分数a / c  <  b / dが F _nの区間で隣接する（近隣の）分数である場合、上記の行列式関係は一般に有効であり、したがって中分数は、最小の分母を持つ分数という意味で、区間（a / c、  b / d ）で最も単純な分数です。したがって、中分数は（最初に）（ c  +  d ）番目のファレイ数列に現れ、任意のファレイ数列でa / cとb / dの間に挿入される「次の」分数です。これにより、 n の増加に伴ってファレイ数列F _nが連続的に構築される方法が示されます。${\displaystyle bc-ad=1}$

正の有理数は の形の数であり、 は正の自然数です。つまり です。したがって、正の有理数の集合は自身の直積です。つまり です。座標 の点は有理数 を表し、座標の原点とこの点を結ぶ線分の傾きは です。は互いに素である必要はないので、点はただ 1 つの有理数を表しますが、有理数は複数の点によって表されます。例えば、はすべて有理数 の表現です。これは、有理数の正式な定義を少し変更したもので、正の値に制限し、線分の傾きが有理数と等しくなるように、 順序付きペアの項の順序を反転させています。${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}}$${\displaystyle (b,a)}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle (4,2),(60,30),(48,24)}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle (b,a)}$

2 つの点、 は(おそらく同値な) 有理数およびの 2 つの表現です。座標の原点を および に接続する線分は、平行四辺形の 2 つの隣接する辺を形成します。座標の原点の反対側にある平行四辺形の頂点は点 で、これはおよびの中線です。 ${\displaystyle (b,a)\neq (d,c)}$${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$${\displaystyle (b,a)}$${\displaystyle (d,c)}$${\displaystyle (b+d,a+c)}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$

平行四辺形の面積は であり、これはベクトル と の外積の大きさでもある。有理数同値性の正式な定義から、と が同値である場合、面積は 0 になる。この場合、傾きが等しいため、一方の線分は他方の線分と一致している。シュテルン・ブロコット木において連続する 2 つの有理数によって形成される平行四辺形の面積は常に 1 である。^[2]${\displaystyle bc-ad}$${\displaystyle \langle b,a\rangle }$${\displaystyle \langle d,c\rangle }$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$

中度の概念はn個の分数に一般化することができ、一般化された中度不等式が成り立ちます。^[3]この事実はコーシーによって最初に注目されたようです。より正確には、n個の分数の加重中度は( )によって定義されます。 は、の中で最小の分数と最大の分数の間のどこかにあることが示されます。 ${\displaystyle m_{w}}$${\displaystyle a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}}$${\displaystyle {\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}}$${\displaystyle w_{i}>0}$${\displaystyle m_{w}}$${\displaystyle a_{i}/b_{i}}$

• 中位数
• フェアリー数列
• シュテルン・ブロコット木

• 結び目を切るときの中分数
• MATHPAGES、ケビン・ブラウン：一般化メディアン