軌道ポートレート

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数学において、軌道ポートレートは、1 複素次元の二次写像の挙動を理解するために複素力学で使用される組み合わせツールです。

簡単に言えば、次のようになります。

• 光線がその軌道上の点に到達する外角のリスト
• 上記のリストを示すグラフ

二次写像が与えられると

${\displaystyle f_{c}:z\mapsto z^{2}+c.}$

複素平面からそれ自身へ

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {\mathbb {C} } \to \mathbb {\mathbb {C} } }$

およびの反発または放物線周期軌道 があり、 （下付き文字は 1 + を法として取られる）となるように、 は対応する外部光線がに到達する角度の集合とします。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{z_{1},\ldots z_{n}\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(z_{j})=z_{j+1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle z_{j}}$

そして、この集合は周期軌道の軌道図と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

すべてのセットには同じ数の要素が含まれている必要があり、これは肖像画の 価数と呼ばれます。${\displaystyle A_{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {3}{7}},{\frac {4}{7}}\right),\left({\frac {6}{7}},{\frac {1}{7}}\right),\left({\frac {5}{7}},{\frac {2}{7}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {4}{9}},{\frac {5}{9}}\right),\left({\frac {8}{9}},{\frac {1}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {2}{9}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {11}{31}},{\frac {12}{31}}\right),\left({\frac {22}{31}},{\frac {24}{31}}\right),\left({\frac {13}{31}},{\frac {17}{31}}\right),\left({\frac {26}{31}},{\frac {3}{31}}\right),\left({\frac {21}{31}},{\frac {6}{31}}\right)\right\rbrace }$

原子価は 3 なので、光線は各軌道点に着地します。

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}}\right)\right\rbrace }$

c= -0.03111+0.79111*iの複素二次多項式の場合、放物線周期3の軌道の図は次のようになる：^[1]

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {74}{511}},{\frac {81}{511}},{\frac {137}{511}}\right),\left({\frac {148}{511}},{\frac {162}{511}},{\frac {274}{511}}\right),\left({\frac {296}{511}},{\frac {324}{511}},{\frac {37}{511}}\right)\right\rbrace }$

上記の角度の光線はその軌道上の点に到達します。パラメータ c はマンデルブロ集合の周期 9 の双曲成分の中心です。

放物線ジュリア集合の場合、c = -1.125 + 0.21650635094611*i となる。これはマンデルブロ集合の周期 2 と周期 6 の成分間のルート ポイントである。価数 3 の周期 2 軌道の軌道図は次のようになる: ^[2]

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {22}{63}},{\frac {25}{63}},{\frac {37}{63}}\right),\left({\frac {11}{63}},{\frac {44}{63}},{\frac {50}{63}}\right)\right\rbrace }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {1}{15}},{\frac {2}{15}},{\frac {4}{15}},{\frac {8}{15}}\right)\right\rbrace }$

すべての軌道ポートレートには次のプロパティがあります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

• それぞれは有限のサブセットである${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$
• 円上の倍加写像はからへの一対一写像を与え、角度の巡回順序を保存します。^[3]${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle A_{j+1}}$
• すべてのセットのすべての角度は、円の倍数写像の下で周期的であり、すべての角度の周期は正確に同じです。この周期は の倍数でなければならないため、周期は の形式になります。ここで は回帰光線周期と呼ばれます。${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle rn}$${\displaystyle r}$
• セットはペアごとにリンクされていません。つまり、セットの任意のペアが与えられた場合、2 つの互いに交わらない区間があり、各区間にセットの 1 つが含まれます。${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }}$

上記の 4 つの特性を満たす円の部分集合の任意のコレクションは、形式的軌道ポートレートと呼ばれます。ジョン ミルナーの定理によれば、すべての形式的軌道ポートレートは、ある 2 次 1 次元複素マップの周期軌道の実際の軌道ポートレートによって実現されます。軌道ポートレートには、外部光線とその着地点が平面にどのようにマップされるかに関する動的情報が含まれますが、形式的軌道ポートレートは単なる組み合わせオブジェクトです。ミルナーの定理は、実際には両者の間に違いはないと述べています。 ${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$

すべての集合が単一の要素のみを持つ軌道ポートレートは、軌道ポートレート を除いて、自明と呼ばれます。別の定義では、軌道ポートレートが最大である場合に自明ではないとされ、この場合、それはそれを厳密に含む軌道ポートレートが存在しない（つまり、となるような軌道ポートレートが存在しない）ことを意味します。すべての自明な形式的軌道ポートレートは、マップ の何らかの軌道の軌道ポートレートとして実現されることは容易にわかります。これは、このマップのすべての外部光線が着陸し、それらはすべてジュリア集合の異なる点に着陸するためです。自明な軌道ポートレートはいくつかの点で病的であるため、以下では非自明な軌道ポートレートについてのみ説明します。 ${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle {0}}$${\displaystyle \{A_{1}^{\prime },\ldots ,A_{n}^{\prime }\}}$${\displaystyle A_{j}\subsetneq A_{j}^{\prime }}$${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$

軌道図では、それぞれが円の有限部分集合であるため、それぞれが円を、点 を基準とした補完弧と呼ばれるいくつかの互いに素な区間に分割します。各区間の長さは、その角度幅と呼ばれます。それぞれには、その点を基準とした固有の最大弧があり、これを臨界弧と呼びます。臨界弧の長さは常に よりも長くなります。${\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

これらの弧は、臨界弧を除いて を基点とするすべての弧が を基点とする弧に微分同相写像されるという性質を持ち、臨界弧は を基点とするすべての弧を一度にカバーします。ただし、1 つの弧だけは 2 回カバーされます。 を 2 回カバーする弧は、 の臨界値弧と呼ばれます。これは、必ずしも臨界弧と区別されるわけではありません。 ${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle z_{j+1}}$${\displaystyle z_{j+1}}$${\displaystyle z_{j+1}}$

の反復処理によって が無限大に脱出するとき、または がジュリア集合内にあるとき、 は明確に定義された外角を持ちます。この角を と呼びます。 はすべての臨界値弧に存在します。また、倍加写像 (および) によるの 2 つの逆像は、どちらもすべての臨界弧に存在します。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \theta _{c}}$${\displaystyle \theta _{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\frac {\theta _{c}}{2}}}$${\displaystyle {\frac {\theta _{c}+1}{2}}}$

すべての の臨界値弧の中で、固有弧と呼ばれる最小の臨界値弧が 1 つだけ存在します。固有弧は、他のすべての臨界値弧に厳密に含まれます。固有弧は、軌道図の完全な不変量です。つまり、2 つの軌道図は、同じ固有弧を持つ場合にのみ同一です。 ${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}}$

軌道に入射する光線が円を分割するのと同様に、光線は複素平面を分割します。軌道上のすべての点について、に入射する外部光線は、平面をを基準とするセクターと呼ばれる開集合に分割します。セクターは、同じ点を基準とする補完的な弧として自然に識別されます。セクターの角度幅は、対応する補完的な弧の長さとして定義されます。対応する弧がそれぞれ臨界弧と臨界値弧である場合、セクターは臨界セクターまたは 臨界値セクターと呼ばれます。^[4]${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle z_{j}}$

セクターには、 があらゆる点の臨界セクター内にあり、の臨界値である が臨界値セクター内にあるという 興味深い特性もあります。${\displaystyle 0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}}$

角度 と を持つ2 つのパラメータ光線が、パラメータ空間のマンデルブロ集合の同じ点に着地するのは、間隔 をその特性弧とする軌道ポートレートが存在する場合のみです。任意の軌道ポートレートについて、を の特性弧に対応するパラメータ空間の 2 つの外角の共通着地点とします。これらの 2 つのパラメータ光線は、共通着地点とともに、パラメータ空間を 2 つの開いた成分に分割します。点を含まない成分を-wakeと呼び、 と表記します。2次多項式は、 のときとまったく同じように反発軌道で軌道ポートレートを実現します。 は 、約 の 単一の値に対してのみ放物線軌道で実現されます。${\displaystyle t_{-}}$${\displaystyle t_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle [t_{-},t_{+}]}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle c\in {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle c=r_{\mathcal {P}}}$

ゼロ ポートレートの他に、プリミティブ ポートレートとサテライト ポートレートの 2 種類の軌道ポートレートがあります。 が 軌道ポートレートの価数で、が回帰光線周期である場合、これら 2 つのタイプは次のように特徴付けられます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r}$

• 原始軌道ポートレートには、およびがあります。ポートレート内のすべての光線は、 によってそれ自体にマッピングされます。それぞれは角度のペアであり、それぞれが倍加マップの異なる軌道にあります。この場合、 は、パラメータ空間内のベビーマンデルブロ集合の基点です。${\displaystyle r=1}$${\displaystyle v=2}$${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$
• 衛星軌道図には があります。この場合、すべての角度は倍加マップの下で単一の軌道を構成します。さらに、 はパラメータ空間における放物線分岐の基点です。${\displaystyle r=v\geq 2}$${\displaystyle r_{\mathcal {P}}}$

軌道ポートレートは、他の写像族のダイナミクスとパラメータ空間の関係を研究する上でも有用な組み合わせオブジェクトであることが判明している。特に、それらは、単臨界反正則多項式の周期サイクルに到達するすべての周期的力学光線のパターンを研究するために使用されてきた。^[5]

• ラミネーション