複素二次多項式

以来${\displaystyle f_{c}(x)}$は、2次多項式の一般形とアフィン共役であり、複雑な力学を研究したり、マンデルブロ集合、ジュリア集合、ファトゥ集合の画像を作成したりするためによく使用されます。

変化を望むとき${\displaystyle \theta }$ に${\displaystyle c}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

変化を望むとき${\displaystyle r}$に${\displaystyle c}$パラメータ変換は^{[ 5 ]です}

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

そして、変数間の変換は${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$そして${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$は

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

二進変換（倍化写像）とc = –2の二次多項式の場合の間には半共役性がある。

ここ${\displaystyle f^{n}}$は関数のn番目の反復を表します${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

それで

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

指数との混同の可能性があるため、一部の著者は次のように書いています。${\displaystyle f^{\circ n}}$n番目の反復の場合${\displaystyle f}$。

単数形で中央揃え${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$以下のようにマークすることができます。

• パラメータ${\displaystyle c}$
• 外角${\displaystyle \theta }$着地する光線について：
  • パラメータ平面上のマンデルブロ集合のcにおいて
  • 臨界値について：動的平面上のジュリア集合におけるz = c

それで ：

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

例：

• c はマンデルブロ集合の1/6外部光線の着地点であり、${\displaystyle z\to z^{2}+i}$(i^2=-1の場合)
• c は 5/14外部光線の着地点であり、${\displaystyle z\to z^{2}+c}$と${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

モニックで中心化された形式は、時にドゥアディ・ハバード二次多項式ファミリー^{[ 6 ]}と呼ばれ、通常は変数とともに使用されます。${\displaystyle z}$およびパラメータ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

離散非線形力学系の発展関数として使用されるとき、

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

これは二次写像と呼ばれています: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

マンデルブロ集合とは、初期条件z ₀ = 0 によって反復計算が無限大に発散しないようなパラメータcの値の集合である。

臨界値${\displaystyle z_{cv}}$の${\displaystyle f_{c}}$これは臨界点のイメージです。

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

以来

${\displaystyle z_{cr}=0}$

我々は持っています

${\displaystyle z_{cv}=c}$

したがって、パラメータ${\displaystyle c}$臨界値は${\displaystyle f_{c}(z)}$。

臨界レベル曲線とは、臨界点を含むレベル曲線のことである。これは、動的平面の骨格^{[ 10 ]のような役割を果たす。}

例：等高線は鞍点で交差する。鞍点は特殊なタイプの臨界点である。

• 
  引き付ける
• 
  引き付ける
• 
  引き付ける
• 
  放物線状
• 内部光線0に沿ったcのビデオ

臨界限界集合は、すべての臨界点の順方向軌道の集合である。

臨界点の順方向軌道は臨界軌道と呼ばれます。臨界軌道は、すべての吸引周期軌道が臨界点を引き付けるため、非常に重要です。したがって、臨界軌道を研究することで、ファトゥ集合のダイナミクスを理解するのに役立ちます。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

この軌道は、もし周期的な引力サイクルが存在するならば、そのサイクルに収束する。

臨界領域とは、力学平面上で臨界点を含む領域のことである。

臨界点集合とは、臨界点の集合のことである。

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

それで

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

これらの多項式は、以下の目的で使用されます。

• 周期nのマンデルブロ集合の成分の中心を見つける。中心はn番目の臨界多項式の根である。

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• 周期nのマンデルブロ集合の成分の根を見つける(局所最小値${\displaystyle P_{n}(c)}$）
• ミシウレヴィッチの指摘

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

臨界多項式の図は臨界曲線と呼ばれる。^{[ 14 ]}

これらの曲線は分岐図の骨格（暗い線）を形成します。^{[ 15 ] [ 16 ]}

この力学系の全体的な解析には、ジュリア・マンデルブロ4次元（4D）空間を用いることができる。 ^{[ 17 ]}

この空間には、2つの基本的な2次元平面が存在する。

• 動的（動的）平面、${\displaystyle f_{c}}$-平面または c平面
• パラメータ平面またはz平面

このような力学系を解析するために用いられる別の平面、w平面も存在する 。

• 共役平面^{[ 18 ]}
• 模型飛行機^{[ 19 ]}

2Dパラメータ平面

• パラメータ平面タイプ
• 
  rパラメータ平面（ロジスティックマップ）
• 
  cパラメータ平面

二次写像の位相空間は、そのパラメータ平面と呼ばれます。以下では、

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$は定数であり、${\displaystyle c}$可変です。

パラメータ平面上には、力学も軌道も存在しない。しかし、パラメータ値の集合は存在する。

パラメータ平面は以下から構成される。

• マンデルブロ集合
  • 分岐軌跡＝根点を持つマンデルブロ集合の境界
  • マンデルブロ集合の有界双曲成分 =内部光線を持つマンデルブロ集合の内部^{[ 20 ]}
• マンデルブロ集合の外側
  • 外部光線
  • 等電位線

前述のセット以外にも、パラメータ平面にはさまざまなサブタイプが存在する。^{[ 21 ] [ 22 ]}

参照 ：

• マンデルブロ集合の外側を単位円盤の外側にマッピングするボエッチャーマップ
• マンデルブロ集合の双曲成分の内部を単位円盤の内部にマッピングする乗数マップ

拡張された複素平面と無限遠点

• リーマン球面

パラメータ平面上で：

• ${\displaystyle c}$変数です
• ${\displaystyle z_{0}=0}$一定である

の一次導関数${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$cに関して​

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

この導関数は、以下の式から始めて反復計算することで求めることができます。

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

そして、各ステップごとに交換する

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

これは、導関数の連鎖律を用いることで容易に検証できる。

この導関数は、マンデルブロ集合を描画するための距離推定法で使用されます。

力学的な平面において：

• ${\displaystyle z}$変数です。
• ${\displaystyle c}$定数です。

固定点において${\displaystyle z_{0}}$、

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

周期pの周期点z ₀における関数の 1 階微分

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

はしばしば次のように表現される${\displaystyle \lambda }$これは乗数またはリアプノフ特性数と呼ばれます。その対数はリアプノフ指数として知られています。乗数の絶対値は、周期点（固定点）の安定性を確認するために使用されます。

非周期点では、導関数は、${\displaystyle z'_{n}}$は、から始まる反復によって見つけることができます。

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

そして、

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

この導関数は、ジュリア集合までの外部距離を計算するために使用されます。

fのシュワルツ微分(略して SD)は次のとおりです。^{[ 26 ]}

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$