複素二次写像の周期点

この記事では、いくつかの複素二次写像の周期点について説明します。写像とは、変数の値をその変数自身の過去の値に基づいて計算する式のことです。二次写像とは、過去の値を1乗または2乗した値を用いる写像であり、複素写像とは、変数とパラメータが複素数である写像のことです。写像の周期点とは、一定の間隔で繰り返し現れる変数の値のことです。

これらの周期点は、ファトゥ集合論やジュリア集合論において重要な役割を果たしている。

させて

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$

複素二次写像とする。${\displaystyle z}$そして${\displaystyle c}$複素数です。

表記上、${\displaystyle f_{c}^{(k)}(z)}$は${\displaystyle k}$-折り畳み構成${\displaystyle f_{c}}$それ自体と混同しないでください${\displaystyle k}$の階微分${\displaystyle f_{c}}$）つまり、関数のk回目の反復後の値${\displaystyle f_{c}.}$したがって

${\displaystyle f_{c}^{(k)}(z)=f_{c}(f_{c}^{(k-1)}(z).}$

周期の複素二次写像の周期点${\displaystyle p}$ポイント${\displaystyle z}$動的平面の

${\displaystyle f_{c}^{(p)}(z)=z,}$

どこ${\displaystyle p}$は、そのzにおいて方程式が成り立つ最小の正の整数である。

新しい機能を導入できます。

${\displaystyle F_{p}(z,f)=f_{c}^{(p)}(z)-z,}$

周期点は関数の零点である${\displaystyle F_{p}(z,f)}$: ポイントzが満足

${\displaystyle F_{p}(z,f)=0,}$

これは次数が多項式である${\displaystyle 2^{p}.}$

多項式の次数${\displaystyle F_{p}(z,f)}$周期的な点を記述することは$d=2p$つまり、それは正確に$d=2p$重複度を考慮して数える複素根（＝周期点）。

乗数（または固有値、導関数）${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda }$合理的な地図の${\displaystyle f}$反復${\displaystyle p}$周期的なポイントでの回数${\displaystyle z_{0}}$は次のように定義されます。

${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda ={\begin{cases}f^{p\prime }(z_{0}),&{\mbox{if }}z_{0}\neq \infty \\{\frac {1}{f^{p\prime }(z_{0})}},&{\mbox{if }}z_{0}=\infty \end{cases}}}$

どこ${\displaystyle f^{p\prime }(z_{0})}$は の一次導関数です${\displaystyle f^{p}}$に関して${\displaystyle z}$で${\displaystyle z_{0}}$。

乗数は、与えられた軌道上のすべての周期点で同じであるため、周期軌道の乗数と呼ばれます。

乗数は次のとおりです。

• 複素数。
• 任意の有理写像の固定点における共役に対して不変である。^{[ 1 ]}
• 周期的な（固定された）点の安定性を安定性指数でチェックするために使用される${\displaystyle abs(\lambda ).\,}$

周期点は^{[ 2 ]}

• 引き付けるとき${\displaystyle abs(\lambda )<1;}$
  • 非常に魅力的${\displaystyle abs(\lambda )=0;}$
  • 魅力的だが、超魅力的ではないとき${\displaystyle 0<abs(\lambda )<1;}$
• 無関心なとき${\displaystyle abs(\lambda )=1;}$
  • 合理的に無関心または放物線状である場合${\displaystyle \lambda }$統一の根源である。
  • 非合理的に無関心な場合${\displaystyle abs(\lambda )=1}$しかし、乗数は1の根ではない。
• 反発するとき${\displaystyle abs(\lambda )>1.}$

周期的な点

• 魅力的なものは常にファトゥ・セットの中にあります。
• 反発するものはジュリア集合に含まれる。
• どちらにも属さない固定点は、どちらか一方に属する可能性があります。^{[ 3 ]}放物線周期点はジュリア集合に属します。

周期2のサイクルは2つの異なるポイントです${\displaystyle \beta _{1}}$そして${\displaystyle \beta _{2}}$そのため${\displaystyle f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}}$そして${\displaystyle f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1}}$、したがって

${\displaystyle f_{c}(f_{c}(\beta _{n}))=\beta _{n}}$

のために${\displaystyle n\in \{1,2\}}$:

${\displaystyle f_{c}(f_{c}(z))=(z^{2}+c)^{2}+c=z^{4}+2cz^{2}+c^{2}+c.}$

これをzと等しいとすると、

${\displaystyle z^{4}+2cz^{2}-z+c^{2}+c=0.}$

この方程式は4次多項式なので、4つの（互いに異なる可能性もある）解があります。しかし、私たちはすでに2つの解を知っています。それらは${\displaystyle \alpha _{1}}$そして${\displaystyle \alpha _{2}}$上記で計算したように、これらの点が 1 回の適用によって変化しないままである場合${\displaystyle f}$そうすれば、複数回の適用によって明らかに変化しないだろう${\displaystyle f}$。

したがって、この4次多項式は2つの方法で因数分解できます。

方程式の次数${\displaystyle f^{(n)}(z)=z}$は 2 ⁿです。したがって、例えば 3 サイクル上の点を求めるには、8 次方程式を解く必要があります。2 つの固定点を与える因数を因数分解すると、6 次方程式が得られます。

5次以上の多項式方程式には根号による一般解が存在しないため、周期が2より大きい周期上の点は一般に数値計算法を用いて求める必要がある。ただし、周期が4の特定の場合、周期上の点は根号で表すと長い式になる。^{[ 8 ]}

c = –2の場合、すべての周期の周期点に対して三角関数解が存在する。${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}-2}$これは、ロジスティック写像の場合r = 4と同等です。${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}).}$ここで等価性は次のように与えられる。${\displaystyle z=2-4x.}$ロジスティック変数xのkサイクル(これらのサイクルはすべて反発的である)の 1 つは

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{2}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{3}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\dots ,\sin ^{2}\left(2^{k-1}{\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right).}$

• 多項式の根の幾何学的性質
• アラン・F・ビアドン著『有理関数の反復』、シュプリンガー社、1991年、ISBN 0-387-95151-2
• Michael F. Barnsley (著者)、Stephen G. Demko (編集者)、『カオス力学とフラクタル』（科学と工学における数学に関するノートとレポートシリーズ）Academic Pr (1986年4月)、ISBN 0-12-079060-2
• ヴォルフ・ユング ：マンデルブロ集合の辺上の同相写像。2002年博士論文
• J・リーヒーによる二次多項式における周期点の順列

• ドナルド・D・クロスによるマンデルブロ軌道境界の代数的解法
• ロバート・P・ムナフォ著『ブラウンメソッド』
• arXiv:hep-th/0501235v2 V.Dolotin、A.Morozov:離散力学の代数幾何学。1変数の場合。