外部光線

外部光線は、無限遠からジュリア集合またはマンデルブロ集合に向かって伸びる曲線です。^{[1]この曲線が}半直線（光線）に なることはめったにありませんが、光線の像であるため 光線と呼ばれます。

外部光線は複素解析、特に複素力学や幾何関数論で使用されます。

外光線はドゥアディとハバードのマンデルブロ集合の研究で導入された。

分類基準：

• 平面: パラメータまたはダイナミック
• 地図
• 動的光線の分岐
• ストレッチ
• 着陸^[2]

動的平面上の（連結された）ジュリア集合の外部光線は、しばしば動的光線と呼ばれます。

パラメータ平面上のマンデルブロ集合（および同様の1次元連結性軌跡）の外部光線はパラメータ光線 と呼ばれます。

ダイナミック レイは次のようになります。

• 二股 = 枝分かれした^[3] = 壊れた^[4]
• 滑らか = 枝分かれしていない = 途切れていない

満たされたジュリア集合が連結されて いる場合、外部光線は分岐しません。ジュリア集合が連結されていない場合、いくつかの外部光線が分岐します。^[5]

伸張光線はブランナーとハバードによって導入された：^{[6] [7]}

「伸張光線の概念は、マンデルブロ集合の外部光線の概念を高次多項式に一般化したものである。」^[8]

マンデルブロ集合の有理パラメータ光線はすべて単一のパラメータに到達する。^{[9] [10]}

外部光線は、次のように複素平面のコンパクトで完全な連結部分集合に関連付けられます。 ${\displaystyle K\,}$

• リーマン写像の補写像の下の放射線の像${\displaystyle K\,}$
• グリーン関数の勾配線${\displaystyle K\,}$
• ドゥアディ・ハバードポテンシャルのフィールドライン^[11]
• グリーン関数の勾配ベクトル場の無限近傍における積分曲線^[12]

外線はドゥアディ・ハバードポテンシャル（レベルセット）の等電位線とともに、の外部（補空間）に対する新しい極座標系を形成します。 ${\displaystyle K\,}$

言い換えれば、外部光線はポテンシャルのレベルセットによって定義される水平方向の葉理構造に直交する垂直方向の葉理構造を定義する。 ^[13]

閉じた単位円の補集合（外部）から満たされたジュリア集合 の補集合への共形同型写像を とします。 ${\displaystyle \Psi _{c}\,}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \K_{c}}$

${\displaystyle \Psi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$

ここで は拡張された複素平面を表します。はベッチャー写像を表します。^{[14] は}無限大の吸引域の均一化写像です。なぜなら、これは充填されたジュリア集合の補集合上で と単位円の補集合上で 共役だからです。${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle \Phi _{c}=\Psi _{c}^{-1}\,}$ ${\displaystyle \Phi _{c}\,}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle K_{c}}$${\displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}&\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\\z&\mapsto \lim _{n\to \infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle \Phi _{c}\circ f_{c}\circ \Phi _{c}^{-1}=f_{0}}$

値は点のベッチャー座標と呼ばれます。 ${\displaystyle w=\Phi _{c}(z)}$${\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}}$

外角の光線は次の ように記されます: ${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}}$

• 直線の下の画像${\displaystyle \Psi _{c}\,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\Psi _{c}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• 同じ外角を持つ塗りつぶされたジュリア集合の外点の集合 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{K}=\{z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K_{c}:\arg(\Phi _{c}(z))=\theta \}}$

周期角の外部光線は次を満たします。 ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle f({\mathcal {R}}_{\theta }^{K})={\mathcal {R}}_{2\theta }^{K}}$

そしてその着地点^[15]は 以下を満たす: ${\displaystyle \gamma _{f}(\theta )}$

${\displaystyle f(\gamma _{f}(\theta ))=\gamma _{f}(2\theta )}$

「パラメータ光線は、Mセットの等電位曲線に垂直に走る曲線です。」^[16]

閉じた単位円の補集合（外部）からマンデルブロ集合 の補集合への写像を とする。^[17]${\displaystyle \Psi _{M}\,}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \ M}$

${\displaystyle \Psi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

およびボッチャー写像（関数）は、マンデルブロ集合の補集合の均一化写像^{[18]であり、}マンデルブロ集合の補集合と閉単位円の補集合（外部）を共役にするためである。${\displaystyle \Phi _{M}\,}$ ${\displaystyle \ M}$

${\displaystyle \Phi _{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus M\to \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

次のように正規化できます。

${\displaystyle {\frac {\Phi _{M}(c)}{c}}\to 1\ as\ c\to \infty \,}$^[19]

どこ ：

${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$拡張複素平面を表す

Jungreis関数は均一化マップ の逆関数です。${\displaystyle \Psi _{M}\,}$

${\displaystyle \Psi _{M}=\Phi _{M}^{-1}\,}$

複素二次多項式の場合、無限大に関するローラン級数を使ってこの写像を計算することができる^{[20] [21]}

${\displaystyle c=\Psi _{M}(w)=w+\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,}$

どこ

${\displaystyle c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M}$

${\displaystyle w\in \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}$

外角の光線は次のようになります。 ${\displaystyle \theta \,}$

• 直線の下の画像${\displaystyle \Psi _{c}\,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }=\{\left(r*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\Psi _{M}({\mathcal {R}}_{\theta })}$

• マンデルブロ集合の外部の点の集合で、外角が同じもの ^[22]${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\theta }^{M}=\{c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi _{M}(c))=\theta \}}$

Douady と Hubbard は次のように定義しています。

${\displaystyle \Phi _{M}(c)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \Phi _{c}(z=c)\,}$

したがって、パラメータ平面の点の外角は、力学平面の 点の外角に等しい。${\displaystyle c\,}$${\displaystyle z=c\,}$

• 
  外側にビットを集める
• 
  展開円平面の二元分解
• 
  f(z) = z^2 の動的平面の二元分解

角度θは外角（引数）と呼ばれます。^[23]

外角の主値は1を 法として測定される。

1 回転= 360度= 2 × π ラジアン

さまざまな種類の角度を比較します。

• 外部（集合の外部の点）
• 内部（コンポーネントの内部の点）
• プレーン（複素数の引数）

• 外部引数としてのベッチャー座標の引数^[24]
  • ${\displaystyle \arg _{M}(c)=\arg(\Phi _{M}(c))}$
  • ${\displaystyle \arg _{c}(z)=\arg(\Phi _{c}(z))}$
• 外部論証の二項展開としての混練シーケンス^{[25] [26] [27]}

超越写像（例えば指数写像）の場合、無限大は不動点ではなく本質的な特異点であり 、ベッチャー同型は存在しない。^{[28] [29]}

ここで、動的光線は曲線として定義されます。

• 脱出集合内の点と無限大を結ぶ ^{[説明が必要]}
• 逃げるセットに横たわっている

• 分岐していない
• 
  反発固定点アルファに着地する2つの外部光線を持つジュリアセット${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}-1}$
• 
  ジュリア集合と固定点に着地する 3 つの外部光線${\displaystyle \alpha _{c}\,}$
• 
  反発周期3サイクルに着地する動的外部光線と固定点に着地する3つの内部光線${\displaystyle \alpha _{c}\,}$
• 
  周期 3 の軌道に着地する外部光線を持つジュリア集合
• 周期2～40の放物線固定点に着地する光線

• 分岐した
• 
  分岐ダイナミックレイ

根点のパラメータ線を持つ 複素二次多項式のマンデルブロ集合

• 
  形式の角度に対する外光線: n / ( 2 ¹ - 1) (0/1; 1/1) は、主心臓形(周期1成分)の尖点である点c= 1/4に到達します。
• 
  外接光線の形式：n / ( 2 ² - 1) (1/3, 2/3) は、周期2成分のルートポイントである点c = - 3/4に到達します。
• 
  形式の角度の外部光線: n / ( 2 ³ - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) は点 c= -1.75 = -7/4 に到達し、(5/7,6/7) は周期 3 成分のルート ポイントに到達します。
• 
  形状の角度の外部光線: n / ( 2 ⁴ - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) ルート ポイントに到達 c= -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) 周期 4 成分のルート ポイントに到達。
• 
  形状の角度の外線：n / ( 2 ⁵ - 1 ) 周期5成分のルートポイントに着地する

• 
  角度 1/3 のメイン カーディオイドの内部光線: メイン カーディオイドの中心 c=0 から始まり、周期 3 成分のルート ポイントで終わります。これは、角度 1/7 と 2/7 のパラメータ (外部) 光線の着地点です。
• 
  単位円からの等角写像によって作られた主心臓形の角度 1/3 の内部光線

• 
  周期 134 と 2 つの外部光線を持つミニ マンデルブロ集合
• 
• 
• 
• 
  周期3の島付近の航跡
• 
  メインアンテナに沿った航跡

複素指数族 f(z)=exp(z)+cのパラメータ空間。このパラメータに到達する 8 つのパラメータ光線が黒で描かれています。

• Mandel - Wolf Jung によるプログラム。Qt を使用してC++で記述され、ソース コード はGNU General Public Licenseに基づいて利用可能。
  • Evgeny Demidov による Java アプレット (Wolf Jung による mndlbrot::turn 関数のコードが Java に移植されています) 無料のソース コード付き
  • マイケル・サージェントのezfractは、ウルフ・ユングのコードを使用しています
• OTIS by Tomoki KAWAHIRA -ソースコード なしのJava アプレット
• Yuval Fisher による Spider XView プログラム
• YABMP ユージン・ザウスティンスキー教授によるDOS用(2006-06-15 にWayback Machineでアーカイブ)ソースコードなし
• DH_Drawer 2008-10-21にWayback Machineでアーカイブされました。Arnaud ChéritatによるWindows 95用ソースコードなしで作成されました。
• Linas Vepstas のLinux コンソール用 C プログラム(ソース コード付き)
• Curtis T. McMullenによるC 言語で書かれたプログラム Julia と、ソース コード 付きのC シェルコンソール用のLinux コマンド
• Matjaz Erat による mjwinq プログラムは、ソース コードなしで Delphi/Windows で記述されています(外部レイについては、Curtis T McMullen による julia.tar の quad.c のメソッドを使用します)
• Gert Buschmann による RatioField、Windows 用、 Dev-Pascal 1.9.2 用Pascalソース コード付き ( Free Pascalコンパイラ付き)
• Milan Va によるマンデルブロ プログラム (Delphi で記述、ソース コード付き)
• ロバート・ムナフォによるパワー・マンデルズーム
• クロード・ハイランド・アレンによるラフ

• ミシュレヴィッツ点の外光線
• 軌道ポートレート
• 複素二次写像の周期点
• プルーエ・テュー・モース定数
• カラテオドリの定理
• ジュリア集合のフィールドライン

• レナート・カールソンとセオドア・W・ガメリン『複雑ダイナミクス』、シュプリンガー 1993
• エイドリアン・ドゥアディとジョン・H・ハバード、「複雑なポリノムのダイナミックな練習」、オルセー数学誌プレ出版 2/4 (1984 / 1985)
• John W. Milnor、「周期軌道、外部光線、およびマンデルブロ集合: 説明的説明; 複雑幾何学および動的システム (Orsay、1995)」、Astérisque No. 261 (2000)、277–333。(1999 年に Stony Brook IMS プレプリントとして最初に登場し、arXiV:math.DS/9905169 として入手可能。)
• ジョン・ミルナー著『ダイナミクス in One Complex Variable』第 3 版、プリンストン大学出版局、2006 年、ISBN 0-691-12488-4 
• ウルフ・ユング：マンデルブロ集合の辺上の同相写像。2002年博士論文

• Hubbard Douady Potential、Inigo Quilez 著「Field Lines」^{[永久リンク切れ‍ ]}
• 有理写像のジュリア集合における絡み合った内部光線、ロバート・L・デヴァニー著
• Robert L. Devaney、Figen Cilingir、Elizabeth D. Russell 共著「有理マップの Julia 集合全体にわたる外部光線の拡張」
• ジョン・ハバードのプレゼンテーション「マンデルブロ集合の美しさと複雑さ、パート 3.1」は、2008 年 2 月 26 日にWayback Machineにアーカイブされました。
• ImpoliteFruit のビデオ
• Milan Va. 「マンデルブロ集合の描画」 。2009年 6 月 15 日閲覧。^{[永久リンク切れ‍ ]}