ラグランジアン（場の理論）

ラグランジュ場の理論は、古典場の理論における形式主義です。これは、ラグランジュ力学の場の理論的類似物です。ラグランジュ力学は、それぞれが有限個の自由度を持つ離散粒子のシステムの運動を解析するために使用されます。ラグランジュ場の理論は、無限個の自由度を持つ 連続体と場に適用されます。

場のラグランジアン形式論、より一般的には古典場の理論の開発の動機の 1 つは、数学理論としては受け入れられないほど形式的な困難に悩まされていることで悪名高い量子場の理論に、明確な数学的基礎を提供することです。ここで提示されたラグランジアンはその量子的な同等物と同一ですが、場を量子化するのではなく古典場として扱うことで、偏微分方程式の数学に対する従来の形式的アプローチと互換性のある定義を提供し、特性を持つ解を得ることができます。これにより、ソボレフ空間などの特性がよく特徴付けられた空間上の解の定式化が可能になります。これにより、存在の証明から形式級数の均一収束、ポテンシャル理論の一般的な設定に至るまで、さまざまな定理を提供できます。さらに、リーマン多様体とファイバーバンドルへの一般化によって洞察と明快さが得られ、幾何学的構造を明確に識別し、対応する運動方程式から切り離すことができます。幾何学的構造をより明確に捉えることで、チャーン・ガウス・ボネの定理やリーマン・ロッホの定理からアティヤ・シンガーの指数定理やチャーン・サイモンズ理論に至るまで、幾何学の高度に抽象的な定理を活用して洞察を深めることができるようになりました。

場の理論では、独立変数は時空 ( x , y , z , t )内のイベント、またはより一般的にはリーマン多様体上の点sに置き換えられます。従属変数は時空内のその点における場の値に置き換えられ、次のように記述される作用原理によって運動方程式が得られます。 ここで、作用、は従属変数、その導関数、およびs自体 の関数です。${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}$$

ここで、括弧は を表し、s = { s ^α } は、時間変数を含むシステムのn 個の独立変数の集合を表し、 α = 1, 2, 3, ..., nでインデックス付けされます。カリグラフィ書体 は密度を表すために使用され、は場の関数の体積形式、つまり場の関数の定義域の尺度 です。${\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}$

数学的定式化では、ラグランジアン をファイバー束上の関数として表現するのが一般的であり、ここでオイラー・ラグランジュ方程式はファイバー束上の測地線を指定するものとして解釈することができる。アブラハムとマースデンの教科書^{[1]は、現代の幾何学的アイデア、すなわち}接線多様体、シンプレクティック多様体、接触幾何学の観点から古典力学を初めて包括的に説明した。ブリーカーの教科書^[2]は、ゲージ不変ファイバー束の観点から物理学における場の理論を包括的に提示した。このような定式化は、はるか以前から知られていたか、または疑われていた。ジョスト^{[3] は幾何}学的提示を続け、ハミルトン形式とラグランジアン形式の関係を明らかにし、第一原理からスピン多様体を記述するなどしている。現在の研究は、ベクトル空間の発生をテンソル代数に置き換える非剛体アフィン構造（「量子構造」と呼ばれることもある）に焦点を当てている。この研究は、量子群をアフィン リー代数として理解するという画期的な成果に基づいています(リー群は、リー代数によって決定されるため、ある意味では「固定」です。テンソル代数で再定式化すると、無限の自由度を持つ「柔軟な」ものになります。たとえば、ヴィラソロ代数を参照してください)。

ラグランジアン場理論では、一般化座標の関数としてのラグランジアンは、ラグランジアン密度、システム内の場とその導関数、および場合によっては空間と時間の座標自体の関数に置き換えられます。場の理論では、独立変数tは時空( x、y、z、t )内のイベント、またはより一般的には多様体上の 点sに置き換えられます。

多くの場合、「ラグランジアン密度」は単に「ラグランジアン」と呼ばれます。

1つのスカラー場に対して、ラグランジアン密度は次の形を取る: ^{[nb 1] [4]}${\displaystyle \varphi}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

多くのスカラー場に対して $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\ varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\部分 t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$$

数学的定式化では、スカラー場はファイバー束上の座標であると理解され、場の導関数はジェット束のセクションであると理解されます。

上記はベクトル場、テンソル場、スピノル場に一般化できます。物理学では、フェルミオンはスピノル場によって記述されます。ボソンはテンソル場によって記述され、テンソル場には特殊なケースとしてスカラー場とベクトル場が含まれます。

たとえば、実数値のスカラー場、がある場合、体多様体は です。 体が実ベクトル場の場合、体多様体はと同型です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ラグランジアンの時間積分は S で表される作用と呼ばれます。場の理論では、時間積分が作用である ラグランジアンLと、全時空にわたって積分して作用を得る ラグランジアン密度とを区別することがあります。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

ラグランジアン密度の空間体積積分はラグランジアンである。3Dでは、 $${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

アクションは、フィールド（およびその導関数）の関数であるため、 「アクション関数」と呼ばれることがよくあります。

重力が存在する場合、または一般曲線座標を使用する場合、ラグランジアン密度には の係数が含まれます。これにより、作用は一般座標変換に対して不変であることが保証されます。数学文献では、時空はリーマン多様体とみなされ、積分は体積形式になります。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\textstyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

ここで、 はくさび積で、 は上の計量テンソルの行列式の平方根です。平坦な時空（例えば、ミンコフスキー時空）の場合、単位体積は 1、つまり であり、したがって平坦な時空での場の理論について議論するときには、通常省略されます。同様に、くさび積記号の使用は、多変数微分積分における体積の通常の概念を超える洞察を何も提供しないため、これらも同様に省略されます。一部の古い教科書、例えば、Landau と Lifschitz では、負の符号は (+−−−) または (−+++) の符号を持つ計量テンソルに適切であるため、体積形式を記述しています（どちらの場合も、行列式が負であるため）。一般のリーマン多様体上の場の理論について議論する場合、体積形式は通常、 という省略表記で記述されます。ここで、 はホッジスターです。つまり、 であり、したがって ${\displaystyle \wedge}$${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$${\textstyle {\sqrt {-g}}}$${\displaystyle *(1)}$${\displaystyle *}$$${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

上記の表記法は完全に不必要であると考えられており、 頻繁に見かけられます。誤解しないでください。体積形式は、明示的に書かれていなくても、上記の積分に暗黙的に存在します。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$

オイラー・ラグランジュ方程式は、時間の関数として場の測地線の流れを記述する。について変化させると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$$${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

境界条件に関して解くと、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

多種多様な物理システムが、場のラグランジアンを使って定式化されてきました。以下は、場の理論に関する物理学の教科書に載っている最も一般的なものの一部です。

ニュートン重力のラグランジアン密度は次のとおりです。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}- \rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ ここで、Φは重力ポテンシャル、ρは質量密度、G (m ³ ·kg ⁻¹ ·s ^{−2単位) は}重力定数です。密度の単位は J·m ⁻³です。ここで、相互作用項には連続質量密度ρ ( kg·m ⁻³単位) が含まれます。これは、場に対して点源を使用すると数学的に困難になるため必要です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

このラグランジアン は の形式で記述することができ、 は運動項、相互作用 はポテンシャル項を提供します。また、これを時間経過に伴う変化に対処するためにどのように修正できるかについては、ノルドストロームの重力理論を参照してください。この形式は、スカラー場理論の次の例でも再度使用されています。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$${\displaystyle V=\rho \Phi }$

Φに関する積分の変化は次のようになります。 $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

部分積分し、全積分を破棄し、 δ Φで割ると、式は次のようになります。 これは次の式と同等であり、 ガウスの重力の法則 が得られます。 $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$$${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

ポテンシャル内を移動するスカラー場のラグランジアンは、 と書くことができます 。スカラー理論が、と書かれた自由点粒子の運動項の 学部生の教科書のラグランジアンに似ているのは決して偶然ではありません。スカラー理論は、ポテンシャル内を移動する粒子の場の理論の一般化です。 がメキシカンハットポテンシャルのとき、結果として生じる場はヒッグス場と呼ばれます。 ${\displaystyle V(\phi )}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$${\displaystyle L=T-V}$${\displaystyle T=mv^{2}/2}$${\displaystyle V(\phi )}$

シグマモデルは、円や球などの リーマン多様体上を動くように制約されたスカラー点粒子の運動を記述します。これは、スカラー場とベクトル場、つまり平坦な多様体上を動くように制約された場の場合を一般化します。ラグランジアン は、通常、次の 3 つの同値な形式のいずれかで記述されます。 ここで、 は微分です。同値な表現は、 体の多様体上のリーマン計量を 使用したものです。つまり、場は多様体の 座標チャート上のローカル座標にすぎません。3 つ目の一般的な形式は 、 と を使用したもので 、リー群SU(N)です。この群は、任意のリー群、またはより一般的には対称空間に置き換えることができます。トレースは、隠れたキリング形式にすぎません。キリング形式は体多様体上の 2 次形式を提供し、ラグランジアンはこの形式の引き戻しにすぎません。あるいは、ラグランジアンは、マウラー・カルタン形式を基本時空に引き戻すものとして見ることもできます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$${\displaystyle \mathrm {d} }$$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \phi _{i}}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$$${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$

一般的に、シグマモデルは位相ソリトン解を示します。これらの中で最も有名でよく研究されているのは、時の試練に耐えてきた 核子のモデルとして機能するスキルミオンです。

点粒子、つまり荷電粒子が電磁場と相互作用する場合を考えます。相互作用項は、 A·s·m ⁻³の連続電荷密度 ρとA·m ⁻²の電流密度 を含む項に置き換えられます。結果として得られる電磁場のラグランジアン密度は次のようになります。 $${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$${\displaystyle \mathbf {j} }$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

これをϕに関して変化させると、 ガウスの法則 が得られます。 $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$

代わりに を に関して変化させると、 アンペールの法則 が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$

テンソル表記を使用すると、これをすべてより簡潔に記述できます。 項は、実際には 2 つの4 次元ベクトルの内積です。 電荷密度を電流 4 次元ベクトルに、電位を電位 4 次元ベクトルにパッケージ化します。 これら 2 つの新しいベクトルは 次のようになります。 相互作用項は 次のように なります。 さらに、E フィールドと B フィールドを、いわゆる電磁テンソルにパッケージ化できます。 このテンソルを 次のようになります。 探している項は次のようになります。 ミンコフスキー計量 を使用して、EMF テンソルのインデックスを上げました。 この表記法では、マクスウェル方程式は次のようになります。 ここで、ε はレヴィ-チヴィタ テンソルです。 したがって、特殊相対性理論における電磁気学のラグランジュ密度は、ローレンツ ベクトルとテンソルで記述すると 次のようになります。 この表記法では、古典電磁気学がローレンツ不変理論であることは明らかです。等価原理により、電磁気学の概念を曲がった時空に拡張することが簡単になります。^{[5] [6]}${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$$${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$$${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$$${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$$${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$

微分形式を使用すると、真空中の (擬似) リーマン多様体に対する電磁作用S は、 (自然単位、c = ε ₀ = 1を使用) 次のように 記述できます。 ここで、A は電磁ポテンシャル 1 形式、Jは電流 1 形式、Fは場の強度 2 形式、星印はホッジ スター演算子を表します。これは、ここでの扱いが座標フリーである点を除いて、上のセクションとまったく同じラグランジアンです。被積分関数を基底に展開すると、同一の長い式が得られます。形式の場合、形式には座標微分が組み込まれているため、追加の積分測定は不要であることに注意してください。作用を変化させると、次の式が得られます。 これらは電磁ポテンシャルのマクスウェル方程式です。F は正確な形式である ため、F = d A を代入すると、場の方程式が直ちに得られます 。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$$${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

A場はU(1)ファイバー束上のアフィン接続として理解できる。つまり、古典電磁力学とその効果と方程式のすべては、ミンコフスキー時空上の円束の観点から完全に理解できる。

ヤン＝ミルズ方程式は、電磁気学のリー群 U(1)を任意のリー群に置き換えることで、上記とまったく同じ形式で記述できます。標準モデルでは、一般の場合が一般的ですが、慣例的に とみなされます。すべての場合において、量子化を実行する必要はありません。ヤン＝ミルズ方程式は歴史的に量子場理論に根ざしていますが、上記の方程式は純粋に古典的なものです。^{[2] [3]}${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$

上記と同様に、作用を1次元少ない、つまり接触幾何学の設定で考えることができます。これにより、チャーン・サイモンズ汎関数が得られます。これは次のように記述されます。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

チャーン・サイモンズ理論は、大統一理論に見られるであろう広範囲の幾何学的現象のおもちゃのモデルとして、物理学において深く研究されました。

ギンツブルグ・ランダウ理論のラグランジアン密度は、スカラー場理論のラグランジアンとヤン・ミルズ作用のラグランジアンを組み合わせたものである。次のように書くこともできる。^[7] ここで、 はファイバー を持つベクトル束の断面である。 は超伝導体の秩序パラメータに対応し、同様に、第 2 項が有名な「ソンブレロ帽子」ポテンシャルであることを考慮すると、ヒッグス場に対応します。 場 は(非アーベル) ゲージ場、すなわちヤン・ミルズ場であり、 はその場の強度である。ギンツブルグ・ランダウ汎関数のオイラー・ラグランジュ方程式は、ヤン・ミルズ方程式 および であり、 はホッジスター演算子、すなわち完全に反対称なテンソルである。これらの方程式は、ヤン・ミルズ・ヒッグス方程式 と密接に関連している 。$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$ $${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$$${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$${\displaystyle {\star }}$

ディラック場のラグランジアン密度は、 ^[8] で表されます。 ここで、はディラックスピノル、はそのディラック随伴、 は のファインマンスラッシュ表記です。古典理論では、ディラックスピノルに特に注目する必要はありません。ワイルスピノルは、より一般的な基礎を提供します。ワイルスピノルは、時空のクリフォード代数から直接構築できます。この構築は任意の次元数で機能し、^{[3]ディラックスピノルは特殊なケースとして現れます。ワイルスピノルには、リーマン多様体上の計量の}ビエルバインで使用できるという追加の利点があります。これにより、スピン構造の概念が可能になります。これは、大まかに言えば、曲がった時空でスピノルを一貫して定式化する方法 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$

QEDのラグランジアン密度は、ディラック場のラグランジアンと電磁力学のラグランジアンをゲージ不変な方法で組み合わせたものである。これは次のようになる。 ここでは電磁テンソル、Dはゲージ共変微分、は のファインマン表記で、ここでは電磁 4 元ポテンシャルである。上記に「量子」という言葉が出てくるが、これは歴史的な遺物である。ディラック場の定義は量子化をまったく必要とせず、クリフォード代数の第一原理から構築された反可換ワイルスピノルの純粋に古典的な場として記述することができる。^[3]完全なゲージ不変の古典的な定式化は Bleecker に示されている。^[2]$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$${\displaystyle F^{\mu \nu }}$${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$${\displaystyle A_{\sigma }}$

量子色力学のラグランジアン密度は、 1つ以上の質量を持つディラックスピノルのラグランジアンと、ゲージ場のダイナミクスを記述するヤン・ミルズ作用のラグランジアンを組み合わせたもので、組み合わせたラグランジアンはゲージ不変である。次のように書くことができる。^[9] ここで、DはQCDゲージ共変微分、n = 1, 2, ...6はクォークの種類を数え、はグルーオン場の強度テンソルである。上記の電気力学の場合と同様に、上記の「量子」という単語の登場は、その歴史的発展を認めているに過ぎない。ラグランジアンとそのゲージ不変性は、純粋に古典的な方法で定式化および処理することができる。^{[2] [3]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$

物質場が存在する場合の一般相対性理論のラグランジュ密度は 、宇宙定数、曲率スカラー、計量テンソルと縮約されたリッチテンソル、リッチテンソルはクロネッカーデルタと縮約されたリーマンテンソルです。 の積分は、アインシュタイン・ヒルベルト作用として知られています。 リーマンテンソルは潮汐力テンソルであり、時空上の計量接続を定義するクリストッフェル記号とクリストッフェル記号の導関数から構成されます。 重力場自体は歴​​史的に計量テンソルに帰せられてきましたが、現代の見解では、接続は「より基本的」です。 これは、非ゼロのねじれを持つ接続を記述できるという理解によるものです。 これらは、幾何学を少しも変更せずに計量を変更します。実際の「重力の方向」（たとえば、地球の表面では下向き）については、リーマン テンソルから来ています。リーマン テンソルは、移動する物体が感じて反応する「重力場」を記述するものです。（この最後の記述には制限があります。「力場」自体は存在しません。移動する物体は、接続によって記述される多様体上の測地線に従います。物体は「直線」上を移動します。） $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$

一般相対論のラグランジアンも、ヤン・ミルズ方程式に明らかに似た形で記述できる。これはアインシュタイン・ヤン・ミルズ作用原理と呼ばれる。これは、微分幾何学のほとんどがアフィン接続と任意のリー群を持つ束上で「うまく」機能することに注目することによって行われる。次に、その対称群、つまりフレームフィールドに対してSO(3,1)を代入すると、上記の方程式が得られる。^{[2] [3]}

このラグランジアン をオイラー・ラグランジュ方程式に代入し、計量テンソル を場とすると、アインシュタイン場の方程式が得られます。 はエネルギー運動量テンソルで、 によって定義されます 。 ここで、 は行列とみなされる場合の計量テンソルの行列式です。一般に、一般相対性理論では、ラグランジュ密度の作用の積分測度は です。これにより、計量行列式の根がヤコビ行列式と同等であるため、積分座標は独立になります。マイナス符号は、計量シグネチャの結果です（行列式自体は負です）。^{[5]これは、以前に議論した}体積形式が非平坦時空で顕在化する 例です。${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$${\displaystyle g}$${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

一般相対論における電磁気学のラグランジュ密度は、上からのアインシュタイン・ヒルベルト作用も含んでいる。純粋な電磁ラグランジアンはまさに物質ラグランジアンである。ラグランジアンは ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

このラグランジアンを得るには、上記の平坦なラグランジアンのミンコフスキー計量を、より一般的な（おそらく曲がった）計量 に置き換えるだけです。 このラグランジアンを使用して、電磁場が存在する場合のアインシュタイン場の方程式を生成できます。 エネルギー運動量テンソルは、 このエネルギー運動量テンソルはトレースレス、つまり であることが示せます。 アインシュタイン場の方程式の両辺のトレースをとると、 が得られます。 したがって、エネルギー運動量テンソルがトレースレスであるということは、電磁場の曲率スカラーが消えることを意味します。 アインシュタイン方程式は次のようになります。 さらに、マクスウェル方程式は 次のようになります。 ここで、 は共変微分です。 自由空間では、電流テンソルを 0 に設定できます。自由空間における球対称の質量分布の周りでアインシュタイン方程式とマクスウェル方程式の両方を解くと、定義線要素（自然単位で書かれ、電荷Qを持つ）を持つライスナー・ノルドストローム荷電ブラックホールが得られる。 ^[5]${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$$${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$$${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$$${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$$${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$$${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$${\displaystyle D_{\mu }}$${\displaystyle j^{\mu }=0}$ $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

電磁ラグランジアンおよび重力ラグランジアン（5次元を使用）を統合する1つの方法は、カルツァ＝クラインの理論によって与えられている。^[2]実質的には、前述のヤン＝ミルズ方程式と同様にアフィンバンドルを構築し、4次元部分と1次元部分への作用を別々に考える。7次元球面が4次元球面と3次元球面の積として表されるという事実や、11次元球面が4次元球面と7次元球面の積であるという事実などのこのような因数分解は、万物の理論が発見されたという初期の興奮の大部分を説明するものであった。残念ながら、7次元球面は標準モデル全体を囲むほど大きくないことが判明し、これらの希望は打ち砕かれた。

• BFモデルラグランジアン (「背景場」の略) は、平坦な時空多様体上に記述された場合、自明なダイナミクスを持つシステムを記述します。位相的に非自明な時空では、システムは非自明な古典的解を持ち、ソリトンまたはインスタントンとして解釈できます。さまざまな拡張が存在し、位相場理論の基礎を形成しています。