ガウスの法則

ガウスの法則の積分形式は次のとおりです。

${\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$${\displaystyle ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

電荷Qを含む任意の閉曲面Sに対して、発散定理により、この方程式は以下と同等である。

$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

電荷Qを含む任意の体積Vについて。電荷と電荷密度の関係から、この式は以下と同等である。 $${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V}$$ 任意の体積Vに対して。この方程式がすべての可能な体積Vに対して同時に成り立つためには、被積分関数がどこでも等しくなければならない（かつ十分である）。したがって、この方程式は以下と同等である。

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$ したがって、積分形式と微分形式は等価である。

クーロンの法則によれば、静止した点電荷による電場は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$$ どこ

• e _rは動径単位ベクトルです。
• rは半径、| r |、
• ε ₀は電気定数です。
• qは粒子の電荷であり、粒子は原点に位置すると仮定される。

クーロンの法則の式を用いると、空間内の 他の各点sにおける微小電荷によるrにおける電場を積分して合計することで、 rにおける全電場が得られます。$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$ ここでρは電荷密度である。この方程式の両辺をrに関して発散させ、既知の定理^{[ 9 ]を用いると、}

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$ ここでδ ( r )はディラックのデルタ関数であり、結果は次のようになる。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

ディラックのデルタ関数の 「ふるい分け特性」を用いると、次のようになる。$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$ これは、まさに求めていたガウスの法則の微分形式である。

させて$\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}$有界な開集合であり、 $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}d^{3}r'\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )d^{3}r'}$$電場は、${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$連続関数（電荷密度）。

それはすべての人に当てはまる${\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$それ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$。

コンパクト集合を考えてみましょう${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$区分的に滑らかな境界を持つ${\displaystyle \partial V}$そのため${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }$したがって、${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$したがって、発散定理については次のようになります。

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}$$

しかし、${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$、

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}$$ 上記の議論のために（${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$その後${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$）

したがって、閉曲面の外側にある電荷密度によって生成される閉曲面を通過する磁束はゼロである。

次に考えてみましょう${\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }$、 そして${\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }$ 球の中心は${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$持っている${\displaystyle R}$半径として存在する（なぜなら${\displaystyle \Omega }$（開集合）

させて${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}$そして${\displaystyle \mathbf {E} _{C}}$それぞれ球の内部と外部に生成される電場とする。すると、

${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$、 ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$そして${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }$$

最後の等式は、次のことを観察することによって導かれる。${\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }$そして、上記の議論。

右辺は帯電した球によって生成される電気束であり、したがって次のようになる。

$${\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}$$と${\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}$

ここで最後の等式は積分の平均値の定理から導かれる。スクイーズ定理と連続性を用いると、${\displaystyle \rho }$すると、次のようになる。

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}$$

ガウスの法則の積分形式において、 Sを点電荷Qを中心とする半径rの球面とすると、次のようになる。

$${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

球対称の仮定により、被積分関数は定数であり、積分の外に出すことができる。結果は次のようになる。 $${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$ ここで、r̂は電荷から放射状に離れる方向を指す単位ベクトルである。球対称性により、 Eは放射方向を指し、したがって次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$ これは本質的にクーロンの法則と同等である。したがって、クーロンの法則における電場の逆二乗法則はガウスの法則から導かれる。