特別単一グループ

物理学の文献では、リー代数をトレースゼロのエルミート行列（歪エルミート行列ではなく）の空間と同一視するのが一般的です。つまり、物理学者のリー代数は係数だけ異なります。${\displaystyle i}$数学者たちの慣例によれば、トレースレスなエルミート複素n × n行列 である生成元T _{a を選択することができる。ここで、}$${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$ ここで、fは構造定数であり、すべての指数に関して反対称である一方、d係数はすべての指数に関して対称である。

その結果、整流子は次のようになる。 $${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$ そして対応する反交換子は次のようになります。 $${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

交換関係における因子iは物理学の慣例に由来するものであり、数学者の慣例を用いる場合には存在しない。

従来の正規化条件は $${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

生成子はヤコビ恒等式を満たす：^{[ 5 ]}$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

慣例として、物理学の文献では、ジェネレーターは${\displaystyle T_{a}}$は、 1/2因子を持つトレースレスエルミート複素行列として定義されます。SU (2)の場合、生成子は次のように選択されます。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}}$⁠、${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{3}}$どこ$\displaystyle \sigma _{a}}$はパウリ行列であり、 SU(3)の場合は次のように定義される。${\displaystyle T_{a}={\tfrac {1}{2}}\lambda _{a}}$どこ$\displaystyle \lambda _{a}}$これらはゲルマン行列である。^{[ 6 ]}これらの定義により、生成子は次の正規化条件を満たす。 $$\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

( n ² − 1)次元随伴表現では、生成子は( n ² − 1) × ( n ² − 1)行列で表され、その要素は構造定数自体によって定義されます。 $${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

考えてみると${\displaystyle \alpha ,\beta }$ペアとして${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$どこ${\displaystyle \alpha =a+bi}$そして​${\displaystyle \beta =c+di}$⁠、すると方程式${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$になる $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

これは3次元球面S3の式です。これ^は埋め込みを使用しても見ることができます。マップ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$は 2 × 2 の複素行列の集合を表し、 は単射実線形写像である（${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$微分同相$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$そして${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$微分同相${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$したがって、 φを3 次元球面に制限したもの(モジュラスが1であるため)、 S ³と表記すると、3 次元球面を のコンパクト部分多様体へ埋め込むことになる。${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$すなわち、 φ ( S ³ ) = SU(2)である。

したがって、多様体として、S ³はSU(2)と微分同相であり、これは SU(2)が単連結であり、S ^{3 が}コンパクト連結リー群の構造を持つことができることを示している。

ノルム1の四元数は、回転群SO(3)を生成するため、バーソルと呼ばれます。SU (2)行列： $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$ 四元数にマッピングできる $${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

この写像は実際には群同型写像です。さらに、行列の行列式は対応する四元数のノルムの二乗です。明らかに、SU(2)の任意の行列はこの形式であり、行列式が1であるため、対応する四元数のノルムは1です。したがって、SU(2)はバーソル群と同型です。^{[ 8 ]} 

すべてのバーソルは自然に 3 次元の空間回転と関連付けられ、バーソルの積は関連する回転の合成と関連付けられます。さらに、すべての回転はこのようにしてちょうど 2 つのバーソルから生じます。要するに、SU(2)からSO(3)への2:1 の全射準同型が存在し、その結果、SO(3)は商群SU(2)/{±I}と同型であり、 SO(3)の基礎となる多様体は3 次元球面S ³の対蹠点を同一視することによって得られ、SU(2)はSO(3)の普遍被覆です。

SU(2)のリー代数は、トレースがゼロの2×2歪エルミート行列から構成される。 ^{[ 9 ]}具体的には、これは $${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

リー代数は、以下の行列によって生成される。 $${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$ これらは、上記で指定した一般要素の形式を有する。

これは次のように書くこともできます。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$パウリ行列を使用する。

これらは四元数関係を満たす${\displaystyle u_{2}u_{3}=-u_{3}u_{2}=u_{1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle u_{3}u_{1}=-u_{1}u_{3}=u_{2}}$⁠、そして⁠${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}u_{1}=u_{3}}$⁠。したがって、 整流子ブラケットは次のように指定されます。$${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

上記の生成子は、パウリ行列と次のような関係にある。${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1},u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$そして​${\displaystyle mu_{3}=+i\ \sigma _{3}}$この表現は、量子力学において電子などの素粒子のスピンを表すために日常的に使用されています。また、ループ量子重力における3次元空間の記述のための単位ベクトルとしても機能します。さらに、ブロッホ球の軸を中心とした3次元回転に対応する、単一量子ビットゲートの標準的な生成器であるパウリのX、Y、Zゲートにも対応しています。 

リー代数はSU(2)の表現を解明するのに役立つ。

群SU(3)は単連結コンパクトリー群である。^{[ 10 ]} SU(3)が単位球面上に推移的に作用することに注目すれば、その位相構造を理解できる。${\displaystyle S^{5}}$で⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$球面内の任意の点の安定化群は、位相的に3次元球面であるSU(2)と同型である。したがって、 SU(3)は、ファイバーS3を持つ基底S5上のファイバー束であることがわかる。ファイバーと基底^は単連結であるため、 SU(3)^の単連結性は、標準的な位相的結果（ファイバー束のホモトピー群の長完全列）によって導かれる^{。 [ 11 ]}

S ⁵上のSU (2)バンドルは次のように分類されます。${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$なぜなら、そのような束は、両半球上の自明な束を調べることによって構築できるからである。${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$そしてそれらの交点上の遷移関数を見ると、それはS4のコピーな^ので、 $${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

そして、そのような遷移関数はすべて、写像のホモトピー類によって分類される。 $${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$ そして${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$むしろ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$SU(3) は自明な束SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ^{5にはなり得ないため、唯一の非自明な（ねじれた）束でなければなりません。これは}、ホモトピー群上の誘導長完全列を調べることで示すことができます。

SU(3)の表現論はよく理解されている。^{[ 12 ]}これらの表現の記述は、その複素化リー代数の観点から、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$⁠ は、リー代数表現またはSU(3)のクレブシュ・ゴルダン係数に関する記事で見つけることができます。

リー代数の生成子Tは${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$定義（素粒子物理学、エルミート）表現における SU(3)は、$${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$ ここで、λ _aはゲルマン行列であり、SU(2)のパウリ行列のSU(3)版である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

これらのλaは、要求どおり、リー代数のすべてのトレースレスエルミート行列Hを張る。λ2 、λ5 _、λ7は反対称行列で_あることに注意。

彼らは関係に従う $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$ または同等に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

f はリー代数の 構造定数であり、次のように表される。$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$ 一方、これらと置換によって関連付けられていない他のすべてのf _{abc は}ゼロです。一般に、それらは集合{2, 5, 7}からの奇数個のインデックスを含まない限り消滅します。^{[ c ]}

対称係数dは次の値をとる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

集合{2, 5, 7}からのインデックスの数が奇数の場合、それらは消滅します。

トレースレス3 × 3エルミート行列Hによって生成される一般的なSU(3)群要素は、tr( H ² ) = 2として正規化され、 Hに関する2 次行列多項式として表現できます。^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$ どこ $${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

この種の群の重要な例として、ピカールモジュラー群が挙げられる。${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$これは、2次元の複素双曲空間に（射影的に）作用し、${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$2 次元の実双曲空間に（射影的に）作用する。2005 年に、Gábor Francsics とPeter Lax は、HC ²に対するこの群の作用の明示的な基本領域を計算した。^{[ 18 ]}

さらに別の例としては、${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$⁠ は ⁠と同型である${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$⁠ .