リーマン曲率テンソル

数学の分野である微分幾何学において、リーマン曲率テンソルあるいはリーマン・クリストッフェルテンソル（ベルンハルト・リーマンとエルヴィン・ブルーノ・クリストッフェルに由来）は、リーマン多様体の曲率を表現する最も一般的な方法です。これは、リーマン多様体の各点にテンソルを割り当てます（つまり、テンソル場です）。これは、2番目の共変微分が可換でないことを測るリーマン計量の局所不変量です。リーマン多様体は平坦である場合、つまりユークリッド空間に局所的に等長である場合に限り、曲率がゼロになります。^{[1]曲率テンソルは、任意の}擬リーマン多様体、またはアフィン接続を備えた任意の多様体に対して定義することもできます。

これは、一般相対性理論、現代の重力理論における中心的な数学的ツールです。時空の曲率は、原理的には測地線偏差方程式によって観測可能です。曲率テンソルは、ヤコビ方程式によって明確にされた意味で、測地線に沿って移動する剛体が受ける潮汐力を表します。

をリーマン多様体または擬リーマン多様体とし、を上のすべてのベクトル場の空間とします。リーマン曲率テンソルを次の式^[2]の写像として定義します。ここで はレヴィ-チヴィタ接続です。 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

または同等

${\displaystyle R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}}$

ここで、はベクトル場のリー括弧であり、 は微分演算子の交換子です。 右辺は実際には与えられた点におけるベクトル場の値にのみ依存することがわかります。これは、ベクトル場の共変微分もその点の近傍の場の値に依存するため、注目に値します。 したがって、は -テンソル場です。 が固定されている場合、線形変換は曲率変換または自己準同型とも呼ばれます。 曲率テンソルが反対の符号で定義されることもあります。 ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [\nabla _{X},\nabla _{Y}]}$${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (1,3)}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z\mapsto R(X,Y)Z}$

曲率テンソルは共変微分の非可換性を測定するものであり、ユークリッド空間（この文脈では平坦空間 と呼ばれる）との等長変換の存在に対する積分可能性の障害となる。

レヴィ・チヴィタ接続はねじれがないので、その曲率は2次共変微分で表現することもできる^[3]

${\textstyle \nabla _{X,Y}^{2}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{\nabla _{X}Y}Z}$

これはある点に おける の値のみに依存します。曲率は次のように表すことができます。${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\nabla _{X,Y}^{2}-\nabla _{Y,X}^{2}}$

このように、曲率テンソルは2番目の共変微分の非可換性を測定する。抽象指数表記では、リーマン曲率テンソルは任意の共ベクトルのそれ自身との共変微分の交換子でもある: ^{[4] [5]}$${\displaystyle R^{d}{}_{cab}Z^{c}=\nabla _{a}\nabla _{b}Z^{d}-\nabla _{b}\nabla _{a}Z^{d}.}$$${\displaystyle A_{\nu }}$

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }.}$

この式はしばしばリッチ恒等式と呼ばれる。^[6]これはリッチとレヴィ＝チヴィタがリーマン曲率テンソルの表現を得るために使用した古典的な方法である。 ^[7]この恒等式は、次のように任意のテンソルの2つの共変微分に対する交換子を得るために一般化することができる。^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}}$

この式はテンソル密度にもそのまま適用できる。なぜならレヴィ-チヴィタ（一般化されていない）接続の場合、次の式が得られるからである。^[6]

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,}$

どこ

${\displaystyle g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.}$

曲率テンソルの純粋共変バージョンを次のように定義すると便利な場合がある。

${\displaystyle R_{\sigma \mu \nu \rho }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.}$

曲がった空間の影響は、テニスコートと地球を比較することでわかります。テニスコートの右下隅から始め、ラケットを北に向けて構えます。次に、コートの輪郭に沿って歩きながら、各ステップでテニスラケットが同じ向きに保たれ、前の位置と平行になっていることを確認します。ループが完了すると、テニスラケットは最初の開始位置と平行になります。これは、テニスコートが表面が平らになるように作られているためです。一方、地球の表面は曲がっています。地球の表面でループを完了することができます。赤道から始めて、テニスラケットを地球の表面に沿って北に向けます。ここでも、テニスラケットは、地平線のローカル面を基準にして、常に前の位置と平行に保たれます。この経路では、最初に北極まで歩き、次に横向きに歩き (つまり、向きを変えずに)、赤道まで下り、最後に開始位置まで後ろ向きに歩きます。これで、テニスラケットは西を向いていますが、旅を始めたときは北を向いていて、体を向けたことがなかったのにです。このプロセスは、パスに沿ってベクトルを平行移動させることに似ており、その違いによって、「直線」に見える線が局所的にのみ「直線」であることがわかります。ループが完了するたびに、テニスラケットは、距離と表面の曲率に応じた量だけ、初期位置からさらに偏向します。平行移動が平面空間と同じように機能する曲面に沿ったパスを識別できます。これらは、球の大円の任意のセグメントなどの空間の 測地線です。

数学における曲がった空間の概念は、会話での使用法とは異なります。たとえば、上記のプロセスを円筒で実行した場合、円筒の周りの曲率が円筒に沿った平坦さと相殺されるため、円筒全体が曲がっていないことがわかります。これは、ガウス曲率とガウスのエグレギウム定理の結果です。この身近な例は、柔らかいピザのスライスで、幅に沿って曲がっていても、長さに沿っては硬いままです。

リーマン曲率テンソルは、固有曲率の尺度を捉える方法です。これを成分で書き出すと (ベクトルの成分を書き出すのと同じように)、偏微分の合計と積の多次元配列で構成されます (これらの偏微分の一部は、曲面上を直線で歩く人に課せられる曲率を捉えることに似ていると考えることができます)。

ユークリッド空間のベクトルがループの周りを平行移動すると、元の位置に戻った後、再び最初の方向を指します。ただし、この特性は一般的な場合には当てはまりません。リーマン曲率テンソルは、一般的なリーマン多様体におけるこの特性の失敗を直接測定します。この失敗は、多様体の 非ホロノミーとして知られています。

をリーマン多様体 の曲線とする。を に沿った平行移動写像で表す。平行移動写像は共変微分と次の式 で関連付けられる。${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \tau _{x_{t}}:T_{x_{0}}M\to T_{x_{t}}M}$${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {x}}_{0}}Y=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\tau _{x_{h}}^{-1}\left(Y_{x_{h}}\right)-Y_{x_{0}}\right)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(\tau _{x_{t}}^{-1}(Y_{x_{t}})\right)\right|_{t=0}}$

曲線に沿って定義された 各ベクトル場 に対して。${\displaystyle Y}$

と が可換なベクトル場のペアであると仮定する。これらの場はそれぞれ、 の近傍に 1 パラメータの微分同相写像群を生成する。 とを、それぞれ、 との流れに沿った時間の平行移動と表記する。辺が、、の四辺形の周りのベクトルの平行移動は、次のように表される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \tau _{tX}}$${\displaystyle \tau _{tY}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle Z\in T_{x_{0}}M}$${\displaystyle tY}$${\displaystyle sX}$${\displaystyle -tY}$${\displaystyle -sX}$

${\displaystyle \tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z.}$

この と の差は、平行移動が接線空間 の元の位置に戻らないことの失敗を測定します。ループを送信して縮小すると、この偏差の微小な記述が得られます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle T_{x_{0}}M}$${\displaystyle s,t\to 0}$

${\displaystyle \left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z}$

ここで、はリーマン曲率テンソルです。 ${\displaystyle R}$

テンソル指数表記に変換すると、リーマン曲率テンソルは次のように表される。

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }\left(R\left(\partial _{\mu },\partial _{\nu }\right)\partial _{\sigma }\right)}$

ここで、座標ベクトル場です。上記の式は、クリストッフェル記号を使用して記述できます。 ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }}$

（リーマン幾何学の公式一覧も参照）。

リーマン曲率テンソルには、次の対称性および恒等式があります。

ここで、括弧は計量テンソルによって誘導される接空間上の内積を表し、インデックスの括弧と丸括弧はそれぞれ反対称化演算子と対称化演算子を表します。非ゼロのねじれ がある場合、ビアンキ恒等式にはねじれテンソルが含まれます。 ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

最初の（代数的）ビアンキ恒等式はリッチによって発見されましたが、微分ビアンキ恒等式に似ているため、最初のビアンキ恒等式または代数的ビアンキ恒等式と呼ばれることがよくあります。^[要出典]

最初の 3 つの恒等式は曲率テンソルの対称性の完全なリストを形成します。つまり、上記の恒等式を満たす任意のテンソルが与えられれば、ある時点でそのような曲率テンソルを持つリーマン多様体を見つけることができるということです。簡単な計算により、そのようなテンソルには独立した成分があることがわかります。^[9]これらから交換対称性が導かれます。代数的対称性は、R が分割 2+2 に対応するヤング対称化子の像に属すると言うことにも相当します。 ${\displaystyle n^{2}\left(n^{2}-1\right)/12}$

リーマン多様体では共変微分があり、ビアンキ恒等式（第 2 ビアンキ恒等式または微分ビアンキ恒等式と呼ばれることが多い）は表の最後の恒等式の形をとります。 ${\displaystyle \nabla _{u}R}$

リッチ曲率テンソルは、リーマンテンソルの 1 番目と 3 番目の指数の 収縮です。

${\displaystyle \underbrace {R_{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv R^{c}{}_{acb}=g^{cd}\underbrace {R_{cadb}} _{\text{Riemann}}}$

2次元表面の場合、ビアンキ恒等式はリーマンテンソルが独立成分を1つだけ持つことを意味し、これはリッチスカラーがリーマンテンソルを完全に決定することを意味します。必要な対称性に適合するリーマンテンソルの有効な表現は1つだけです。

${\displaystyle R_{abcd}=f(R)\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right)}$

そして、メトリックを2回縮約すると、明示的な形式が得られます。

${\displaystyle R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right),}$

ここで、は計量テンソル、はガウス曲率と呼ばれる関数であり、、、は1または2の値を取る。リーマンテンソルには関数的に独立した成分が1つだけある。ガウス曲率は曲面の断面曲率と一致している。また、 2次元多様体のスカラー曲率のちょうど半分であるが、曲面の リッチ曲率テンソルは単純に次のように与えられる。${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle K=R/2}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{ab}=Kg_{ab}.}$

リーマン多様体は、その断面曲率が定数に等しいとき空間形式である。空間形式のリーマンテンソルは次のように与えられる。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right).}$

逆に、次元 2 を除いて、リーマン多様体の曲率が何らかの関数 に対してこの形式を持つ場合、ビアンキ恒等式は が定数であることを意味し、したがって多様体は (局所的に) 空間形式です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

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